Después del éxito del artículo que publiqué con la solución al Examen de Dibujo Técnico de las PAU de Madrid, he decidido traerte un nuevo artículo, en este caso con las PAU de Asturias. Se trata de un artículo completísimo, que contiene 8 ejercicios correspondientes a ambas opciones y dan una buena perspectiva del temario de 2º de Bachillerato. Te explico 5 de los ejercicios mediante vídeos. Suscríbete a mi canal de Youtube para recibir una notificación de cada nuevo vídeo inmediatamente.

A nivel global me parece un examen accesible. Frente a los ejercicios de Sistema Diédrico, que me han parecido muy sencillos, se encuentra el primer ejercicio de tangencias, a un nivel muy alto para lo que me esperaba. Sinceramente he tenido que investigar un poco para poder explicártelo lo más claramente posible.

Un libro fantástico para ello es el de Dibujo Técnico II, Bachillerato 2, de  Lluis Villanueva, Jordi Mestres y Mercé Llabot. En mi página de Recursos puedes encontrar más recomendaciones sobre Dibujo Técnico y Arquitectura.

Espero que te guste el artículo y te resulte de utilidad.

Descargar el examen en PDF

Opción A

Ejercicio 1.1: Tangencias (2 puntos)

Traza las dos circunferencias tangentes a otra de centro O y que pasen por los puntos A y B

Puedes ver la explicación a través del vídeo en Youtube
Resolveremos este ejercicio por medio de Potencias.

Consideramos el resultado final compuesto por 3 circunferencias, 2 de las cuales (la solución) son tangentes a otra (el enunciado). Existe un punto cuya potencia respecto a las 3 circunferencias es la misma. Si conseguimos encontrar este punto, podremos encontrar todas las circunferencias respecto a las que el punto tiene igual potencia. Y de estas sólo tendremos que quedarnos con las 2 que son tangentes a la circunferencia del enunciado.

Así que vamos a encontrar el Centro Radical de las 3 circunferencias mencionadas.

Las 2 circunferencias de la solución pasan por los puntos A y B, así que su Eje Radical será la recta que dichos puntos.

Para encontrar otro eje radical usaremos una circunferencia auxiliar que pase también por A y B. Para ello, dibujamos la mediatriz del segmento A-B y sobre ella marcamos un centro aleatorio O1. Si son secantes, encontrar el Eje Radical es tan sencillo como unir los puntos de corte.

El punto de corte de los dos Ejes Radicales obtenidos es el Centro Radical.

Por último buscamos los puntos de tangencia T1 y T2 de las rectas tangentes a la circunferencia dada que pasen por CR. Para ello, dibuja la mediatriz del segmento CR-O y seguidamente la circunferencia con centro en M y radio M-O.

T1 y T2 son los puntos de tangencia que buscamos. Únelos con O y obtendrás sobre la mediatriz del segmento AB los centros C1 y C2 de las circunferencias pedidas.

Si dibujas la circunferencia con centro en CR y radio CR-T1 obtendrás los puntos de tangencia de todas las circunferencias respecto a las cuales CR tiene la misma potencia.

Ejercicio 1.2: Homología (2 puntos)

Halla el homólogo del triángulo ABC dado.

Puedes ver el vídeo explicativo en Youtube

Encontrar la recta homóloga de AB es sencillo y lo hemos visto en los artículos teóricos de homología. El punto 1 tiene su homólogo en el infinito. Por tanto, si lo uno con el Centro de Homología V obtendré la dirección de la recta homóloga A’-B’.

Dibuja una paralela a V-1 por 2=2′ y obtienes la recta homóloga. Para definir A’, une A con V. Para encontrar B’, une B con V.

El punto homólogo de C (correspondiente con el Centro de Homología) coincide consigo mismo.

Para demostrarlo, buscaré las rectas homólogas de BC y AC. Tomo para ello una recta cualquiera que corta al triángulo en los puntos a y b. Busco su recta homóloga como antes, es decir, paralela a V-3 desde 4=4′ y finalmente uno a con V y b con V.

Ejercicio 2: Sistema Diédrico (3 puntos)

Tenemos un trapecio rectángulo ABCD (recto en B y C) que está contenido en el plano P-P’. Sabemos que CD es la proyección horizontal de la base mayor de dicho trapecio, que la altura CB=20mm y que la base menor BA=22mm.
Determina las proyecciones diédricas de dicho trapecio.

Puedes ver el vídeo en Youtube

1. Abatimiento
El trapecio está contenido en el plano oblicuo P-P’ y necesitamos verlo en Verdadera Magnitud. Para ello, abatiremos P’ sobre el plano horizontal.

Tomo el punto 1′-1 perteneciente a la traza P’ y por el conocido método obtengo su abatido (1). Al unirlo con el punto de corte de P’ con la Línea de Tierra obtengo (P’), que es la traza del plano abatida.

Durante el proceso puedo obtener la proyección vertical de C ya que lo he contenido en una recta horizontal de plano. La proyección vertical de D se encuentra sobre la traza P’, ya que D está contenido en la Línea de Tierra.

Abate ahora C y D. (C) estará en la paralela a P por el punto (1) y (D) estará sobre (P’) en una perpendicular a P.

2. Verdadera Magnitud
Con la dimensión real C-D puedes construir el trapecio en Verdadera Magnitud (VM). Te recomiendo que lo resuelvas fuera del dibujo para que no te confundas.

Sabiendo que CD es la base mayor, que los ángulos C y B son de 90º, que BC=20mm y AB=22mm es fácil dibujarlo.

3. Desabatir el trapecio
Con el trapecio dibujado en el abatimiento, sólo nos queda desabatir A y B. Para desabatir (A) puedes unirlo con (D) y el punto de corte 2 con la traza P, unirlo con D. En la recta perpendicular a P por el punto (A) obtendrás la proyección horizontal A.

Obtén ahora 2′, que es la proyección vertical de 2. Sobre 2′-D’ se encuentra A’. Dibuja una perpendicular a la Línea de Tierra por A y definirás su posición.

De manera análoga puedes obtener las proyecciones de B.

Ejercicio 3: Perspectiva Isométrica (3 puntos)

Dibuja la perspectiva axonométrica isométrica de la pieza dada por sus vistas, sin tener en cuenta el coeficiente de reducción. Escala natural.

Sin tener que preocuparnos en esta Perspectiva Isométrica por escala ni coeficientes de reducción, la única dificultad inicial es dibujar el volumen total del paralelepípedo en su posición adecuada. Puesto que el perfil se encuentra a la derecha se trata del Perfil Izquierdo.

1. Contornos
Lo que siempre recomiendo al empezar una pieza es fijarse en los contornos. En este caso nos será muy útil. Las 3 zonas que he sombreado en planta y alzado están vacías, no existe pieza ahí. Por tanto, podemos moldear el paralelepípedo e ir quitándole esos bocados.

¡Fíjate que la pieza está casi terminada simplemente quitándole esos bocados evidentes!

2. Solución
Si observas las vistas nuevamente verás que lo único que nos queda son dos bocados en la parte superior, en la coronación de las rampas.

Sus medidas se toman fácilmente en planta y puedes dibujarlas sobre el suelo o sobre la base superior. Dibujando paralelas a la rampa conseguirás dibujar los bocados sin problemas =)

• Remarca el resultado
• No te olvides de las aristas ocultas en línea discontinua

OPCIÓN B

Ejercicio 1.1: Tangencias (2 puntos)

Reproduce la pieza dada a escala 2/5, indicando claramente los centros y los puntos de tangencia de los diferentes arcos de enlace utilizados.
Utiliza el punto A como referencia.
Calcula y dibuja la escala gráfica correspondiente (No hace falta poner las cotas)

1. Escala
En primer lugar tendremos que resolver la escala. Utilizando el Teorema de Thales, dibujaremos dos rectas que se cortan como las indicadas en el dibujo 1.. Sobre la inclinada mediremos 5 cm y sobre la horizontal 2 cm. La recta que los une (en línea gruesa) nos indica la dirección. Divide ahora la recta inclinada en centímetros y traza paralelas a la dirección para conseguir una regla de medida a escala 2/5.

¡¡Sobre esta recta tendrás que tomar TODAS LAS MEDIDAS!!

Divide el primer centímetro en milímetros y a partir de ahí indica el número 0. A continuación todos los número hasta el 24.

2. Empezar por los Ejes
Puesto que el punto A está muy solitario, antes de empezar con las curvas te recomiendo que dibujes los ejes y compruebes que los has medido bien.
¡Recuerda! Toma SIEMPRE la cota del dibujo dado (por ejemplo 52 mm en la parte inferior derecha) y, mediante el compás, toma 52 mm a escala 2/5 según la escala que has dibujado.

3. Centros de las circunferencias tangentes

• O1 lo obtienes sumando un radio de 94mm tanto a la circunferencia superior de 40mm como a la intermedia de 76mm. Dibujas ambos arcos concéntricos y en su intersección se encuentra O1
• O2 lo consigues sumando un radio de 5mm a la circunferencia de 36mm y dibujando una paralela a la recta vertical, a 5mm de distancia.
• Para O3 tienes que dibujar las rectas paralelas a 6mm de las dos dadas.

4. Puntos de tangencia

• Entre dos circunferencias, el punto de tangencia se encuentra en la recta que une sus centros.
• Entre recta y circunferencia, el punto de tangencia se encuentra en la perpendicular a la recta dada que pasa por el centro de la circunferencia tangente.

Ejercicio 1.2: Parábola

a) Desde el punto P, traza una recta tangente (por el lado derecho) a la circunferencia de centro O.
b) Suponiendo que la recta tangente es el eje de una parábola, el punto de tangencia su foco y R un punto de la cónica, dibuja la curva.

Puedes ver el vídeo en Youtube

1. Recta tangente
Dibuja la mediatriz del segmento O-P. Con centro en el punto medio M y radio M-O dibuja un arco de circunferencia que corta a la dada en F, que es el punto de tangencia. Une P con F.

2. Elementos de la Parábola
Por definición, la parábola es el Lugar Geométrico de los puntos del plano que equidistan del Foco y de una recta llamada Directriz.

Por tanto, el punto R equidista del Foco y de la Directriz. Puesto que esta es siempre perpendicular al Eje, basta con dibujar una paralela al Eje por R y llevar hasta ella la distancia R-F mediante un arco. Esto define la Directriz.

El Vértice siempre se encuentra en el punto medio entre la Directriz y el Foco.

3. Dibujar la Parábola
¡Ya tenemos V y R como puntos de la parábola!

Obtener más es fácil =)

• Dibuja una recta paralela a la Directriz D por un punto cualquiera del Eje, por ejemplo por 1.
• Con centro en el Foco F y radio M-1 dibuja los arcos que cortan a la recta que has dibujado anteriormente (la paralela a la Directriz por el punto 1). Así obtienes 2 puntos de la parábola.
• Repite el proceso para obtener más puntos, con rectas que pasen por 2, 3 y las que quieras…

Dibujar la parábola a mano alzada a partir de esos puntos es cosa tuya 😉

Ejercicio 2: Sistema Diédrico (3 puntos)

Por un punto A traza un plano Q paralelo al plano P dado. Halla también la distancia entre ambos planos

Y aquí está el último vídeo que puedes ver en este artículo, también en Youtube

1. Plano de Perfil
El plano P es paralelo a la Línea de Tierra. Podríamos usar distintos métodos, pero el más sencillo para dibujar un plano paralelo y hallar la distancia es utilizar un plano de perfil.

Dibuja una recta perpendicular a la Línea de Tierra. Utilizaremos el punto m como centro de las circunferencias que nos permitan llevar las vistas al perfil.

Lleva la traza P al perfil con un arco y únelo con la traza vertical P’ para obtener P», que es la traza del plano en el perfil.

Paralela a la Línea de Tierra (LT), lleva el punto A hasta el plano de perfil, mediante un arco con centro llévalo hasta su posición de perfil. Dibuja desde ahí una recta perpendicular a la LT que cortará a la paralela por A’ en A», que es la proyección de perfil del punto A.
A está situado en el 4º cuadrante, ya que se encuentra por debajo de la LT.

2. Solución
Traza por A» un plano Q» paralelo a P». La traza vertical Q’ es paralela a la Línea de Tierra y se encuentra en el punto de corte con la recta vertical.
La traza horizontal Q es también paralela a la LT. Para encontrar su posición deberás llevarte la intersección de Q» con la LT mediante un arco a las proyecciones ortogonales.

La distancia entre P y Q, que nos la pedía en el enunciado se ve en el perfil en Verdadera Magnitud. La he indicado como un segmento d, perpendicular tanto a P como a Q.

Ejercicio 3: Vistas de una pieza y corte

Dibuja, a escala 1:2, las 2 vistas que mejor definen la pieza. Una de ellas, represéntala cortada por el plano de simetría de la pieza.

1. Escala
La información que se nos da es bastante escasa. Para hacerlo lo más preciso posible, opto por hacer la escala directamente sobre el dibujo. Utilizo el teorema de Thales y dibujo una recta horizontal que pasa por uno de los puntos que conocemos.

Desde ese punto mido 38 mm, que son los 76 mm reducidos a escala 1:2. Lo uno con el otro punto que conocemos y obtengo así, directamente, medidas sobre el dibujo que podré aplicar directamente en las vistas de la solución.

Simplemente tengo que llevar paralelas a la recta dibujada sobre la recta horizontal.

Las medidas que no están sobre este eje, tendré que llevarlas, como son las medidas de las circunferencias pequeñas (en un plano inferior) y las medidas de altura (en un plano vertical).

2. Planta
Obviamente, además de la sección por el plano de simetría, la otra vista más adecuada es la planta.

Partiendo de la planta, dibuja los ejes principales y las 4 circunferencias, prestando atención a que tanto distancias como radios sean correctos. ¡Tómate tu tiempo! Esto es lo más complicado del ejercicio.

La planta tiene un Ejercicio de Tangencias: Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias. Se resuelve así:

• Dibuja una circunferecia concéntrica a la mayor con radio R-r, es decir, restándole el radio de la menor.
• Desde el punto medio M del segmento O1-O2 dibuja una circunferencia con radio M-O2 y que corta a la anterior en 1 y 2.
• Al unir O2 con 1 y con 2 obtenemos 2 puntos de tangencia. Rectas paralelas a O2-1 y O2-1 por O1 nos definen los otros dos puntos de tangencia.

3. Sección
Con las medidas de la altura tomadas en la perspectiva y las de la planta es fácil dibujar la sección. No te olvides de:

• Dibujar los ejes de las secciones cilíndricas
• Delinear en grueso la sección
• Sombrear la parte seccionada

Como te había dicho, es un artículo muy largo pero completo y variado. Abarca Tangencias, Curvas Cónicas, Sistema Diédrico, Perspectiva Isométrica,etc.

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Hasta el próximo artículo.