Te presento el suelo de mi piso 🙂
En realidad, me va a servir para introducir el tema de las axonometrías
La perspectiva axonométrica es un sistema de representación gráfico de objetos en 3 dimensiones en el espacio sobre un plano en 2 dimensiones. Al pasar de 3 dimensiones a 2 se pierde información y eso lleva consecuencias consigo. Afecta a los ángulos y a las dimensiones, como veremos a continuación.
Alteración en los ángulos: los ejes
Representaremos las 3 dimensiones del espacio mediante 3 ejes que en la realidad son perpendiculares (un triedro) y que en el dibujo veremos de forma plana, representados con diferentes ángulos.
Es lo que puedes ver en las fotografías de mi suelo. El ángulo en la realidad es siempre el mismo, las paredes forman constantemente un ángulo de 90º entre sí y también un ángulo de 90º con el suelo. En función del punto de vista (de dónde se sitúe el observador), variará la posición relativa de los ejes.
En axonometría, los ángulos se pueden utilizar libremente, en función del objetivo que se pretenda. El único requisito es que deben sumar 360º, obviamente, que son los grados de la circunferencia completa.
Alteración en las dimensiones: los coeficientes de reducción
Como hemos visto, al dibujar en perspectiva (al igual que al tomar fotografías) los ángulos se ven alterados con respecto a la realidad. De la misma manera ocurre con las dimensiones.
Al ver los objetos en perspectiva las dimensiones se reducen en relación con las dimensiones reales del objeto. Para aplicar eso al dibujo utilizamos los llamados coeficientes de reducción.
Los coeficientes de reducción son factores que se aplican a las dimensiones medidas en cada eje del dibujo, con la intención de paliar las deformaciones debidas a la perspectiva.
Estos coeficientes de reducción son variables y están en función del ángulo de la perspectiva.
Veamos cómo se obtienen gráficamente los coeficientes de reducción.
Determinar el coeficiente de reducción gráficamente en 7 pasos
Utilizaremos para ello los abatimientos. Pero no te asustes si no sabes cómo hacerlos todavía, es fácil.
Te explicaré paso a paso para que no te pierdas.
Una vez que tengas definidos los ángulos que forman los ejes entre sí, puedes leer los 7 pasos más abajo. Yo tomaré como ejemplo la axonometría en mitad de la parte inferior de las fotos del suelo.
1. Prolonga cada eje en la dirección de los otros dos. Lo represento con línea discontinua.
2. Dibuja una recta perpendicular en el ángulo opuesto a uno de los ejes. Así, tendrás que dibujar entre los ejes X e Y una recta perpendicular al eje Z.
.
3. Traza el arco capaz del eje XY para el ángulo de 90º. Para ello, traza la mediatriz del segmento 1-2 y obtén el punto medio M. Con centro en este punto M, dibuja el arco de circunferencia entre 1 y 2.
4. La prolongación del eje Z en su corte con el arco de circunferencia determina la posición del punto O abatido (O). Únelo con los puntos 1 y 2 y ¡ya tienes el plano del suelo abatido!
5. Con el plano abatido, ya puedes medir en verdadera magnitud. Divide los ejes X e Y en partes de 1cm cada una, empezando desde el punto O.
6. Dibujando paralelas al eje Z, obtendrás los centímetros reducidos según la perspectiva axonométrica.
7. Repite el proceso para el eje Z. Lo puedes hacer bien prolongando el eje X (como he hecho yo) o el eje Y. El resultado es lógicamente el mismo.
Así puedes obtener el coeficiente de reducción para cada eje de manera gráfica, sin calculadoras.
Como ves, para el eje X el coeficiente de reducción es 0.79, para el eje Y es 0.72 y para el eje Z es 0.93. Esto está en función de los ángulos que hayamos tomado para definir los ejes.
Perspectiva Isométrica
Dada la complejidad para trabajar con tantos coeficientes de reducción diferentes, la perspectiva axonométrica más utilizada es la isométrica, ya que en ella los tres ángulos formados por los ejes son iguales (120º) y, por tanto, sus coeficientes de reducción también.
El proceso para obtener gráficamente el coeficiente de reducción es el mismo que hemos seguido anteriormente. Los famosos 7 pasos 🙂
¿Eres capaz de hacerlo tú solo?
Te lo explico a continuación gráficamente.
Como ves, el coeficiente de reducción es de aproximadamente 0.816 y se mantiene constante para los 3 ejes. Eso es debido a que el ángulo que forman los ejes entre sí es el mismo.
Escala volante
Aprovechando que el coeficiente de reducción es el mismo en Isométrica para los 3 ejes y que esta es la perspectiva más utilizada, te resultará muy útil hacerte tu propia escala volante, para poder medir en isométrica donde quieras, sin necesidad de hacer el proceso cada vez.
Puedes recordar cómo se hace una escala volante en el artículo relativo a escalas.
Basta con que coloques el borde del papel como uno de los ejes y obtengas el coeficiente de reducción de la isométrica para ese eje.
Yo aún tengo la mía de cuando me la fabriqué en el instituto. La plastifiqué y me va a durar toda la vida.
Diferencia entre coeficiente de reducción y escala
Como habrás podido comprobar, coeficiente de reducción y escala no son lo mismo.
Escala: es una proporción entre la dimensión de un objeto y la dimensión de su dibujo. Pueden ser de ampliación, de reducción o puede ser escala natural (1:1).
Coeficiente de reducción: es un factor que se aplica a uno (o varios) de los ejes de una perspectiva para corregir percepción visual del objeto. Siempre son de reducción, como su propio nombre indica.
Por tanto, en un mismo ejercicio de perspectiva será necesario que apliquemos ambos mecanismos.
Veámoslo con el ejemplo sencillo de un prisma
Aplicación de coeficiente de reducción y escala a ejercicio tipo PAU
Dadas las vistas de una pieza a escala 1:2, se pide:
Dibujar la pieza en perspectiva isométrica a escala 2:3, aplicando coeficientes de reducción.
Aquí es donde empiezan a venir las complicaciones, porque hay que tener en cuenta dos escalas distintas (la escala a la que están presentadas las vistas de la pieza y la escala de la perspectiva que tendrás que dibujar) y aplicar los coeficientes de reducción.
Tengo que decirte que este es el caso más complejo y completo que pueden pedirte en cuanto a escalas y coeficientes. Lo normal es que no te pidan aplicar coeficiente de reducción o que al menos una de las escalas sea 1:1, con lo que ese valor no tendrás que modificarlo. En otras ocasiones te darán la acotación de las vistas, con lo que ya no tendrás que tomarlas en el dibujo.
Pero está bien empezar con el ejercicio más complejo, así vemos todas las posibilidades y cualquier otro ejercicio será más sencillo 🙂
Sigamos el proceso de razonamiento lógico. Conforme vayas cogiendo soltura, todo fluirá de manera más natural, pero para empezar es más seguro así.
1. En primer lugar, hazte una escala volante para la escala de las vistas (1:2).
2. Hazte ahora una escala volante para dibujar en la perspectiva (2:3).
3. Por último, abate dos de los planos de la perspectiva, para poder medir sobre los tres ejes.
Deberás quedarte con algo como esto.
Es posible que te pueda parecer laborioso este proceso, pero una vez hecho, vas con la TOTAL SEGURIDAD Y TRANQUILIDAD de que estará bien hecho. Más vale tardar un poco más pero ir completamente sobre seguro, ¿no crees?
4. Con la primera escala volante (1:2) podrás medir directamente sobre las vistas para saber la dimensión real de la pieza. Ahora ya sabes que la pieza mide en la realidad 3.5 x 5.0 x 1.5 cm.
5. Una vez que conoces la dimensión real de la pieza, toma la segunda escala volante para medir sobre el plano abatido.
6. Desabate el plano. Llévate la dimensión que has marcado antes sobre el plano abatido a los ejes de la perspectiva.
7. Por último, dibuja mediante paralelas el prisma
¡Y ahí está!
¿Te ha parecido un poquito largo o complicado? Es normal. Como digo, este es el tipo de ejercicio más difícil que te pueden poner en cuanto a escalas y coeficientes de reducción.
Y además, cuando lo hayas hecho un par de veces interiorizarás el proceso y no tendrás que seguir cada paso con tanta minuciosidad, sino que lo harás rápido sin problemas, te lo garantizo.
El secreto está en practicar.
El mismo proceso a la inversa
En muchas ocasiones el ejercicio será inverso:
Dada la perspectiva de la pieza a escala 2:3 para la que se han aplicado coeficientes de reducción, se pide:
Dibujar las vistas de la misma a escala 1:2.
Fíjate que el proceso es exactamente el mismo pero a la inversa:
- Abatir los planos de la perspectiva.
- Mediante paralelas a los ejes, llevar las medidas que nos interesan a los ejes abatidos.
- Sobre los ejes abatidos, medir con la escala volante correspondiente a la perspectiva. En este caso la escala 2:3.
- Llevar esa medida a las vistas, utilizando para ello la escala volante correspondiente a las vistas. En este caso la escala 1:2.
- ¡Hecho!
La circunferencia en Isométrica
Dada la frecuencia con que se trabaja con circunferencias en Isométrica, no quería terminar el presente artículo sin dedicarle un apartado. La circunferencia en Isométrica se representa como un óvalo.
Partimos de un cuadrado en perspectiva en el que inscribiremos la circunferencia. Por ser un cuadrado, los 4 lados tienen la misma dimensión.
Según el dibujo que hay a continuación, tienes que seguir los siguientes pasos:
- Dibujar las diagonales del cuadrado en perspectiva: recta 1-2 y su perpendicular, para obtener el centro O del cuadrado.
- Trazar dos rectas, una paralela al eje X y otra al eje Y, que pasen por el punto O. Así se obtienen los puntos A, B, C y D, que son los puntos de tangencia de la circunferencia
- Dibujar las rectas 1-A y 1-C, para obtener los centros 3 y 4 de los arcos menores del óvalo. Los centros de los arcos mayores son los puntos 1 y 2.
- Dibujar los 4 arcos de circunferencia: 1) Centro en 1, arco A-C; 2) Centro en 2, arco B-D; 3) Centro en 3, arco A-D; 4) Centro en 4, arco B-C
Ahora puedes hacerlo tú para los otros dos planos: YZ y XZ.
Me parece que con el artículo de hoy tienes ya un rato para trabajar. Siento que haya sido tan largo, pero prefería concentrarlo todo en un único artículo para que te fuera más fácil consultarlo.
Si quieres conocer todos mis trucos para resolver una pieza a partir de sus vistas, entra en este artículo.
Para entender la perspectiva caballera y aplicar escalas y coeficientes de reducción, no olvides visitar el artículo sobre caballera.
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¡Hasta la próxima!
25 Comments
Muy bien explicado y útil.
Solo un comentario creo que en otras ocasiones deberías poner ejemplos de dificultad progresiva empezando por los sencillos en lugar de ir directamente a uno complejo y completo.
Gracias
Gracias José Luis,
Lo tendré en cuenta en adelante, en especial para las perspectivas caballera y cónica.
Un saludo
Soy alumno, y me preparo para selectividad. Me parece que esta explicación esta muy detallada y tiene buen contenido, pero en las partes de escalas no se como esta relacionado el dibujo a 1:2 y su proyección 2:3. (Procedimiento). Normalmente lo hago con la calculadora, pero en algunos examenes de dibujo técnico de selectividad-Andalucía no dejan ningún tipo de calculadora.
Un saludo.
Hola Antonio,
Quizá este artículo te ayude: https://www.10endibujo.com/escalas/
Un saludo
Pablo, gracias por la ayuda todos estos años, gracias a ti cumplire mis sueños eres mi ídolo ojala llegues muy lejos, eres mi inspiración.
Vaya Paula, muchas gracias por tu mensaje, me alegro de que te haya servido tanto de ayuda.
Cuéntanos, ¿cuál es tu sueño? ¿En qué piensas que te ha ayudado el blog?
Un abrazo 🙂
Gracias por compartir tus conocimientos, soy delineante y a los que dibujamos ya sólamente con programas de diseño asistido 2d y 3d nos viene bien recordar o reaprender de dónde venimos. De hecho ahora como estoy en paro he empezado un Ciclo Sup. de Eficiencia Energética y Energía Solar Térmica y he vuelto a afilar los lápices. Un saludo maestro.
De nada Gerardo. Me alegro de que te guste el blog y ánimo con el Ciclo.
Un saludo
Felicitaciones por el blog! muy lindo y excelente las explicaciones.
Una consulta…se podría dibujar la figura anclando la parte de adelante en el eje z. Me explico? en todas las figuras se dibuja anclando la parte de atrás de la figura. Estaría mal si hago a la inversa sobre el eje z anclo la arista de adelante?
Saludos cordiales!!
Hola Marivé, gracias por tus palabras.
Lo normal es que cuando dibujes la perspectiva de la pieza se vean las vistas que te han dado. No tiene mucho sentido que te den alzado y perfil derecho y tú muestres perfil izquierdo y vista lateral. Colocar la arista delantera en el eje Z no sé si se podría definir como mal, eso dependerá del profesor que te lo corrija, pero sin duda no es lo más adecuado. Yo no te lo aconsejo.
¿Te he aclarado tu duda?
Creo que si Pablo, 🙂 muchas gracias por tan pronta respuesta…estuve viendo otras figuras y tenés razón, en la mayoría se ancla al fondo de la figura y no así a la arista de adelante. En mi caso siempre me dan perfil izquierdo y lo que no estaba del todo correcto era anclar en la intersección de los ejes, la arista que une alzado y perfil izquierdo.
Muchas gracias nuevamente…que tengas un lindo día!
Muchas gracias, procuraré disfrutarlo. Ahora una clase de dibujo y luego un poco de deporte y danza contemporánea 🙂
Que lo pases bien tú también
Hola Pablo!
Soy de Madrid y acabo de venirme a Granada a estudiar Arquitectura. Este curso que acaba de empezar estrenamos escuela y es la caña! Te felicito por haber tenido esta idea de pagina web. Tus conocimientos me ayudaron bastante en segundo bachillerato, de hecho logré sacar un 9,25 gracias a ti en PAU. Por casualidad y si tienes tiempo me gustaría saber porque razones o experiencias te desencantaste por la arquitectura. Yo he soñado desde mi infancia con ser arquitecto cuando veía que solo jugaba a los Sims para construir casa y echaba todos los veranos haciendo maquetas de modelismo. Bueno, ya paro de contarte mi vida, le preguntare a algún profesor si se acuerdan de ti por la universidad.
Un saludo y felicidades otra vez.
Muchísimas gracias por tus palabras Yuri, me alegro de que te haya servido el blog!! Genial!!!
Me decidí por arquitectura porque me encantaba el dibujo técnico y las asignaturas de matemáticas y física. Además me parecía una profesión bonita.
Ánimo con la carrera y ya me contarás!
Una maravilla!! Gracias!
Puede salirte un coeficiente de ampliación? Gracias
Hola, ¿el coeficiente de reducción se aplica a la hora de cambiar de escala una perspectiva isométrica?
Un saludo y gracias por tu blog!
una pregunta como seria si tengo que hacer una circunferencia en isometrica pero en vez de un cuadrado tiene que ser un rectangulo pq no me salee intente y desperdcie 5 laminas pq quedaron feas de tantos borrones xd como lo harias tu?
PD: yo estudio en la base area de argentina (una de ellas) y es con cursos especializados de aviones y hay que dibujar planos y tenemos taller donde hacemos nuestros propios inventos siguiendo medidas de un plano como un martillo una mesa etc
Hola Lauty,
Es normal que no te queden bien las circunferencias. No es posible dibujar una circunferencia inscrita en un rectángulo, porque solo podría ser tangente a 3 de sus lados. Debe estar inscrita en un cuadrado.
Quizá eso resuelva tu duda.
Un saludo
Hola:
Una circunferencia en perspectiva es una elipse. El método del óvalo, permitido en perspectiva isométrica para sustituir a la elipse está explicado arriba.
Para resolver una circunferencia en perspectiva, inscrita en un rectángulo, te recomiendo el método de haces proyectivos (también llamado de intersección de rectas), que puedes encontrar fácilmente en la red.
Hola Pablo, en primer lugar enhorabuena por tu web, es genial y super útil.
Una duda, en la parte de «Aplicación de coeficiente de reducción y escala a ejercicio tipo PAU» en el punto 4 dices «Ahora ya sabes que la pieza mide en la realidad 3.5 x 5.0 x 1.5 cm.»
Pero creas la escala volante 1:2 dividiendo en cm las dos rectas «real» y «dibujo» y unes por cada 2cm de «real» 1cm de «dibujo», hasta ahí todo bien, pero cuando pones esa escala sobre la pieza, estas poniendo el lado de «dibujo» y esas medidas «3.5 x 5.0 x 1.5 cm» son de la parte de la escala volante «dibujo» entonces ¿La pieza en la realidad no mediría 7 x 10 x 3 cm?
Me estoy volviendo loca con esto… siempre se me han atravesado las escalas… por otro lado tengo otra pregunta, he visto que cuando te dan las vistas por ejemplo a escala 3:4 y te piden la perspectiva a 3:2 se puede hacer «escala final entre escala inicial = intermedia (o la que tienes que aplicar sobre esas mismas vistas para lograr la que te piden)» pero si te dan unas vistas a 1:10 y te piden la perspectiva a 1:5 entonces es «inicial:final=intemedia» ¿esto sigue alguna regla según las escalas inicial de las vistas y final de la perspectiva sean de reducción o ampliación??
Hola Sara,
Gracias por tus palabras, me alegro de que encuentres útil el blog.
Te respondo a tus preguntas:
1. Precisamente para eso sirven las escalas volantes. Una vez que haces la escala volante correctamente, la puedes colocar sobre el dibujo y ese es el valor que tienes que tomar en consideración. En el caso de esta pieza, si midieras sobre ella con una regla normal, mediría 1.75×2.50×0.75, porque está a escala 1:2, que es una escala de reducción. Pero date cuenta de que cuando haces tu escala volante, estás reduciendo las medidas y pasas de 1 centímetro real a 0.5 centímetros en la escala volante. Así que, lo dicho: una vez que has aplicado la escala a la regla que te has creado (tu escala volante) ya no tienes que aplicar más, simplemente leer el valor que indica.
2. Nunca he aplicado esto de la escala intermedia. Supongo que intuía que podía existir, pero personalmente prefiero hacer los dos pasos: 1) de la vista al tamaño real y 2) del tamaño real a la perspectiva. Porque de esta manera sabes realmente lo que mide la pieza y eso te permite, por ejemplo, acotarla correctamente. De la otra manera estás haciendo una escala intermedia entre dos dibujos que están a diferentes escalas… esto, al no tener nada que ver con la realidad, a mí no me termina de convencer.
De todas formas, vamos a ver lo que comentas. Imaginamos que nos dan la vista de una pieza a la escala 3:4 que comentas y una de las dimensiones es de 4 centímetros en la realidad. Esta dimensión se vería como 3 centímetros en el dibujo de la vista (midiendo con la regla normal). Si esos 4 centímetros reales tienes que dibujarlos en perspectiva a escala 3:2 significaría que debes medir (con la regla) 6 centímetros en la perspectiva. Así que una medida de 3 centímetros medidos en las vistas pasaría a medir 6 centímetros en la perspectiva.
Por la cuenta que tú propones de dividir escala inicial entre escala final, esto resultaría una escala 1:2 (de dividir 3:4 entre 3:2). Entonces, para que esa escala intermedia estuviera aplicada correctamente, deberíamos considerar que las vistas están dibujadas a escala 1:2 y entonces debes dibujar la perspectiva como si fuera escala real (con lo cual saldría al doble de tamaño que las vistas, tal como hemos deducido anteriormente).
Para el segundo caso que planteas, se cumple nuevamente esta misma regla.
Si tenemos una pieza dada por sus vistas a escala 1:10 y tenemos en ella una medida real de 100 centímetros, en las vistas mediría 10 centímetros. Al pasarlo a perspectiva deberíamos dibujar esos 100 centímetros reales a escala 1:5, que serían 20 centímetros en el dibujo de la perspectiva y por tanto sería el doble del tamaño al que están dibujadas las vistas. Si divides 1:10 entre 1:5, te da 1:2. Considerando que las vistas están a escala 1:2 y dibujando la perspectiva como si estuviera a tamaño real (tal como hemos explicado en el caso anterior) esto se cumple nuevamente.
La conclusión sería que no afecta el hecho de que sean escalas de ampliación o reducción. Simplemente haz la división y debe funcionar.
En cualquier caso, me mantengo en mi criterio de que no es conveniente trabajar así, porque nunca llegas a saber cuáles son las medidas reales de la pieza. Pero bueno, esa es mi opinión.
Espero que te sirva.
Un saludo
Hola Pablo, perdóname por contestarte a estas alturas..! me quedé procesando todo tu comentario y se me pasó totalmente contestar hasta llegar a dar por hecho que ya te había escrito. El caso es que el otro día consultando otro de tus posts, caí en que nunca llegué a contestar!!! Horrible!!! ya lo siento, me enfrasqué muchísimo en ello y se me fue…
Gracias infinitas por la aclaración, porque me ayudó mucho a comprenderlo. Enhorabuena otra vez por el blog, siempre lo tengo a mano y lo recomiendo a diestro y sinestro.
Gracias otra vez, un saludo,
Sara.
Vaya Sara!
Pues me alegro de que te sirviera la respuesta. Ahora que la reviso, compruebo que te hice una explicación extensa 😉
No tienes que disculparte, pero muchas gracias por escribir.
Saludos!
Hola!! Voy a presentarme a la EBAU y tengo una duda en términos de notación. Si al abatir las trazas del plano, quiero indicar la medida que estoy marcando y voy a poner en perspectiva, debería de escribirla como cm o como mm. Por otro lado, habría que indicar la medida real, y no la verdadera medida tras aplicar la escala ¿no? Un saludo.
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