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Axonometrías y perspectiva isométrica

Axonometrica - F

Te presento el suelo de mi piso 🙂

En realidad, me va a servir para introducir el tema de las axonometrías

La perspectiva axonométrica es un sistema de representación gráfico de objetos en 3 dimensiones en el espacio sobre un plano en 2 dimensiones. Al pasar de 3 dimensiones a 2 se pierde información y eso lleva consecuencias consigo. Afecta a los ángulos y a las dimensiones, como veremos a continuación.

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 1

Alteración en los ángulos: los ejes

Representaremos las 3 dimensiones del espacio mediante 3 ejes que en la realidad son perpendiculares (un triedro) y que en el dibujo veremos de forma plana, representados con diferentes ángulos.

Es lo que puedes ver en las fotografías de mi suelo. El ángulo en la realidad es siempre el mismo, las paredes forman constantemente un ángulo de 90º entre sí y también un ángulo de 90º con el suelo. En función del punto de vista (de dónde se sitúe el observador), variará la posición relativa de los ejes.

En axonometría, los ángulos se pueden utilizar libremente, en función del objetivo que se pretenda. El único requisito es que deben sumar 360º, obviamente, que son los grados de la circunferencia completa.

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 2

Alteración en las dimensiones: los coeficientes de reducción

Como hemos visto, al dibujar en perspectiva (al igual que al tomar fotografías) los ángulos se ven alterados con respecto a la realidad. De la misma manera ocurre con las dimensiones.

Al ver los objetos en perspectiva las dimensiones se reducen en relación con las dimensiones reales del objeto. Para aplicar eso al dibujo utilizamos los llamados coeficientes de reducción.

Los coeficientes de reducción son factores que se aplican a las dimensiones medidas en cada eje del dibujo, con la intención de paliar las deformaciones debidas a la perspectiva.

Estos coeficientes de reducción son variables y están en función del ángulo de la perspectiva.

Veamos cómo se obtienen gráficamente los coeficientes de reducción.

Determinar el coeficiente de reducción gráficamente en 7 pasos

Utilizaremos para ello los abatimientos. Pero no te asustes si no sabes cómo hacerlos todavía, es fácil.

Te explicaré paso a paso para que no te pierdas.

Una vez que tengas definidos los ángulos que forman los ejes entre sí, puedes leer los 7 pasos más abajo. Yo tomaré como ejemplo la axonometría en mitad de la parte inferior de las fotos del suelo.

 1. Prolonga cada eje en la dirección de los otros dos. Lo represento con línea discontinua.

 2. Dibuja una recta perpendicular en el ángulo opuesto a uno de los ejes. Así, tendrás que dibujar entre los ejes X e Y una recta perpendicular al eje Z.Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 3.

 3. Traza el arco capaz del eje XY para el ángulo de 90º. Para ello, traza la mediatriz del segmento 1-2 y obtén el punto medio M. Con centro en este punto M, dibuja el arco de circunferencia entre 1 y 2.

 4. La prolongación del eje Z en su corte con el arco de circunferencia determina la posición del punto O abatido (O). Únelo con los puntos 1 y 2 y ¡ya tienes el plano del suelo abatido!

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 4

5. Con el plano abatido, ya puedes medir en verdadera magnitud. Divide los ejes X e Y en partes de 1cm cada una, empezando desde el punto O.

 6. Dibujando paralelas al eje Z, obtendrás los centímetros reducidos según la perspectiva axonométrica.

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 5

 7. Repite el proceso para el eje Z. Lo puedes hacer bien prolongando el eje X (como he hecho yo) o el eje Y. El resultado es lógicamente el mismo.

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 6

Así puedes obtener el coeficiente de reducción para cada eje de manera gráfica, sin calculadoras.

Como ves, para el eje X el coeficiente de reducción es 0.79, para el eje Y es 0.72 y para el eje Z es 0.93. Esto está en función de los ángulos que hayamos tomado para definir los ejes.

 

Perspectiva Isométrica

Dada la complejidad para trabajar con tantos coeficientes de reducción diferentes, la perspectiva axonométrica más utilizada es la isométrica, ya que en ella los tres ángulos formados por los ejes son iguales (120º) y, por tanto, sus coeficientes de reducción también.

El proceso para obtener gráficamente el coeficiente de reducción es el mismo que hemos seguido anteriormente. Los famosos 7 pasos 🙂

¿Eres capaz de hacerlo tú solo?

Te lo explico a continuación gráficamente.

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 7

Como ves, el coeficiente de reducción es de aproximadamente 0.816 y se mantiene constante para los 3 ejes. Eso es debido a que el ángulo que forman los ejes entre sí es el mismo.

Escala volante

Aprovechando que el coeficiente de reducción es el mismo en Isométrica para los 3 ejes y que esta es la perspectiva más utilizada, te resultará muy útil hacerte tu propia escala volante, para poder medir en isométrica donde quieras, sin necesidad de hacer el proceso cada vez.

Puedes recordar cómo se hace una escala volante en el artículo relativo a escalas.

Basta con que coloques el borde del papel como uno de los ejes y obtengas el coeficiente de reducción de la isométrica para ese eje.

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 8

Yo aún tengo la mía de cuando me la fabriqué en el instituto. La plastifiqué y me va a durar toda la vida.

 

Diferencia entre coeficiente de reducción y escala

Como habrás podido comprobar, coeficiente de reducción y escala no son lo mismo.

Escala: es una proporción entre la dimensión de un objeto y la dimensión de su dibujo. Pueden ser de ampliación, de reducción o puede ser escala natural (1:1).

Coeficiente de reducción: es un factor que se aplica a uno (o varios) de los ejes de una perspectiva para corregir percepción visual del objeto. Siempre son de reducción, como su propio nombre indica.

Por tanto, en un mismo ejercicio de perspectiva será necesario que apliquemos ambos mecanismos.
Veámoslo con el ejemplo sencillo de un prisma

Aplicación de coeficiente de reducción y escala a ejercicio tipo PAU

Dadas las vistas de una pieza a escala 1:2, se pide:

Dibujar la pieza en perspectiva isométrica a escala 2:3, aplicando coeficientes de reducción.

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 09

Aquí es donde empiezan a venir las complicaciones, porque hay que tener en cuenta dos escalas distintas (la escala a la que están presentadas las vistas de la pieza y la escala de la perspectiva que tendrás que dibujar) y aplicar los coeficientes de reducción.

Tengo que decirte que este es el caso más complejo y completo que pueden pedirte en cuanto a escalas y coeficientes. Lo normal es que no te pidan aplicar coeficiente de reducción o que al menos una de las escalas sea 1:1, con lo que ese valor no tendrás que modificarlo. En otras ocasiones te darán la acotación de las vistas, con lo que ya no tendrás que tomarlas en el dibujo.

Pero está bien empezar con el ejercicio más complejo, así vemos todas las posibilidades y cualquier otro ejercicio será más sencillo 🙂

Sigamos el proceso de razonamiento lógico. Conforme vayas cogiendo soltura, todo fluirá de manera más natural, pero para empezar es más seguro así.

   1. En primer lugar, hazte una escala volante para la escala de las vistas (1:2).

   2. Hazte ahora una escala volante para dibujar en la perspectiva (2:3).

   3. Por último, abate dos de los planos de la perspectiva, para poder medir sobre los tres ejes.

Deberás quedarte con algo como esto.

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 10

Es posible que te pueda parecer laborioso este proceso, pero una vez hecho, vas con la TOTAL SEGURIDAD Y TRANQUILIDAD de que estará bien hecho. Más vale tardar un poco más pero ir completamente sobre seguro, ¿no crees?

4. Con la primera escala volante (1:2) podrás medir directamente sobre las vistas para saber la dimensión real de la pieza. Ahora ya sabes que la pieza mide en la realidad 3.5 x 5.0 x 1.5 cm.

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 11

5. Una vez que conoces la dimensión real de la pieza, toma la segunda escala volante para medir sobre el plano abatido.

6. Desabate el plano. Llévate la dimensión que has marcado antes sobre el plano abatido a los ejes de la perspectiva.

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 12

 7. Por último, dibuja mediante paralelas el prisma

 

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 13

¡Y ahí está!

¿Te ha parecido un poquito largo o complicado? Es normal. Como digo, este es el tipo de ejercicio más difícil que te pueden poner en cuanto a escalas y coeficientes de reducción.

Y además, cuando lo hayas hecho un par de veces interiorizarás el proceso y no tendrás que seguir cada paso con tanta minuciosidad, sino que lo harás rápido sin problemas, te lo garantizo.

El secreto está en practicar.

El mismo proceso a la inversa

En muchas ocasiones el ejercicio será inverso:

Dada la perspectiva de la pieza a escala 2:3 para la que se han aplicado coeficientes de reducción, se pide:

Dibujar las vistas de la misma a escala 1:2.

Fíjate que el proceso es exactamente el mismo pero a la inversa:

  1. Abatir los planos de la perspectiva.
  2. Mediante paralelas a los ejes, llevar las medidas que nos interesan a los ejes abatidos.
  3. Sobre los ejes abatidos, medir con la escala volante correspondiente a la perspectiva. En este caso la escala 2:3.
  4. Llevar esa medida a las vistas, utilizando para ello la escala volante correspondiente a las vistas. En este caso la escala 1:2.
  5. ¡Hecho!

La circunferencia en Isométrica

Dada la frecuencia con que se trabaja con circunferencias en Isométrica, no quería terminar el presente artículo sin dedicarle un apartado. La circunferencia en Isométrica se representa como un óvalo.

Partimos de un cuadrado en perspectiva en el que inscribiremos la circunferencia. Por ser un cuadrado, los 4 lados tienen la misma dimensión.

Según el dibujo que hay a continuación, tienes que seguir los siguientes pasos:

  1. Dibujar las diagonales del cuadrado en perspectiva: recta 1-2 y su perpendicular, para obtener el centro O del cuadrado.
  2. Trazar dos rectas, una paralela al eje X y otra al eje Y, que pasen por el punto O. Así se obtienen los puntos A, B, C y D, que son los puntos de tangencia de la circunferencia
  3. Dibujar las rectas 1-A y 1-C, para obtener los centros 3 y 4 de los arcos menores del óvalo. Los centros de los arcos mayores son los puntos 1 y 2.
  4. Dibujar los 4 arcos de circunferencia: 1) Centro en 1, arco A-C; 2) Centro en 2, arco B-D; 3) Centro en 3, arco A-D; 4) Centro en 4, arco B-C

Dibujo Tecnico Bachillerato - Axonometria - 14

Ahora puedes hacerlo tú para los otros dos planos: YZ y XZ.

Me parece que con el artículo de hoy tienes ya un rato para trabajar. Siento que haya sido tan largo, pero prefería concentrarlo todo en un único artículo para que te fuera más fácil consultarlo.

Si quieres conocer todos mis trucos para resolver una pieza a partir de sus vistas, entra en este artículo.

Para entender la perspectiva caballera y aplicar escalas y coeficientes de reducción, no olvides visitar el artículo sobre caballera.

No olvides dar a un “Me gusta” en Facebook o retwittear el artículo, te estaré muy agradecido.

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¡Hasta la próxima!

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16 Responses to Axonometrías y perspectiva isométrica

  1. Jose Luis Coll junio 17, 2014 at 1:29 pm #

    Muy bien explicado y útil.

    Solo un comentario creo que en otras ocasiones deberías poner ejemplos de dificultad progresiva empezando por los sencillos en lugar de ir directamente a uno complejo y completo.

    Gracias

    • Pablo junio 17, 2014 at 2:08 pm #

      Gracias José Luis,

      Lo tendré en cuenta en adelante, en especial para las perspectivas caballera y cónica.

      Un saludo

  2. Gerardo octubre 19, 2014 at 8:27 am #

    Gracias por compartir tus conocimientos, soy delineante y a los que dibujamos ya sólamente con programas de diseño asistido 2d y 3d nos viene bien recordar o reaprender de dónde venimos. De hecho ahora como estoy en paro he empezado un Ciclo Sup. de Eficiencia Energética y Energía Solar Térmica y he vuelto a afilar los lápices. Un saludo maestro.

    • Pablo Domingo octubre 19, 2014 at 9:25 am #

      De nada Gerardo. Me alegro de que te guste el blog y ánimo con el Ciclo.
      Un saludo

  3. Marivé mayo 28, 2015 at 1:08 pm #

    Felicitaciones por el blog! muy lindo y excelente las explicaciones.
    Una consulta…se podría dibujar la figura anclando la parte de adelante en el eje z. Me explico? en todas las figuras se dibuja anclando la parte de atrás de la figura. Estaría mal si hago a la inversa sobre el eje z anclo la arista de adelante?
    Saludos cordiales!!

    • Pablo Domingo mayo 28, 2015 at 1:56 pm #

      Hola Marivé, gracias por tus palabras.
      Lo normal es que cuando dibujes la perspectiva de la pieza se vean las vistas que te han dado. No tiene mucho sentido que te den alzado y perfil derecho y tú muestres perfil izquierdo y vista lateral. Colocar la arista delantera en el eje Z no sé si se podría definir como mal, eso dependerá del profesor que te lo corrija, pero sin duda no es lo más adecuado. Yo no te lo aconsejo.
      ¿Te he aclarado tu duda?

      • Marivé mayo 28, 2015 at 3:37 pm #

        Creo que si Pablo, 🙂 muchas gracias por tan pronta respuesta…estuve viendo otras figuras y tenés razón, en la mayoría se ancla al fondo de la figura y no así a la arista de adelante. En mi caso siempre me dan perfil izquierdo y lo que no estaba del todo correcto era anclar en la intersección de los ejes, la arista que une alzado y perfil izquierdo.
        Muchas gracias nuevamente…que tengas un lindo día!

      • Pablo Domingo mayo 28, 2015 at 3:39 pm #

        Muchas gracias, procuraré disfrutarlo. Ahora una clase de dibujo y luego un poco de deporte y danza contemporánea 🙂
        Que lo pases bien tú también

  4. Yuri diciembre 4, 2015 at 2:59 pm #

    Hola Pablo!
    Soy de Madrid y acabo de venirme a Granada a estudiar Arquitectura. Este curso que acaba de empezar estrenamos escuela y es la caña! Te felicito por haber tenido esta idea de pagina web. Tus conocimientos me ayudaron bastante en segundo bachillerato, de hecho logré sacar un 9,25 gracias a ti en PAU. Por casualidad y si tienes tiempo me gustaría saber porque razones o experiencias te desencantaste por la arquitectura. Yo he soñado desde mi infancia con ser arquitecto cuando veía que solo jugaba a los Sims para construir casa y echaba todos los veranos haciendo maquetas de modelismo. Bueno, ya paro de contarte mi vida, le preguntare a algún profesor si se acuerdan de ti por la universidad.
    Un saludo y felicidades otra vez.

    • Pablo Domingo diciembre 4, 2015 at 3:58 pm #

      Muchísimas gracias por tus palabras Yuri, me alegro de que te haya servido el blog!! Genial!!!
      Me decidí por arquitectura porque me encantaba el dibujo técnico y las asignaturas de matemáticas y física. Además me parecía una profesión bonita.
      Ánimo con la carrera y ya me contarás!

  5. YOBANA ALFANIA ARENAS PRADO enero 3, 2017 at 5:15 pm #

    Una maravilla!! Gracias!

  6. Germán González-Gaggero Caballer junio 3, 2017 at 4:31 pm #

    Puede salirte un coeficiente de ampliación? Gracias

  7. José octubre 30, 2017 at 6:38 pm #

    Hola, ¿el coeficiente de reducción se aplica a la hora de cambiar de escala una perspectiva isométrica?

    Un saludo y gracias por tu blog!

  8. lauty abril 25, 2018 at 12:34 pm #

    una pregunta como seria si tengo que hacer una circunferencia en isometrica pero en vez de un cuadrado tiene que ser un rectangulo pq no me salee intente y desperdcie 5 laminas pq quedaron feas de tantos borrones xd como lo harias tu?

    PD: yo estudio en la base area de argentina (una de ellas) y es con cursos especializados de aviones y hay que dibujar planos y tenemos taller donde hacemos nuestros propios inventos siguiendo medidas de un plano como un martillo una mesa etc

    • Pablo Domingo abril 25, 2018 at 2:40 pm #

      Hola Lauty,
      Es normal que no te queden bien las circunferencias. No es posible dibujar una circunferencia inscrita en un rectángulo, porque solo podría ser tangente a 3 de sus lados. Debe estar inscrita en un cuadrado.
      Quizá eso resuelva tu duda.

      Un saludo

  9. ALBERTO J. mayo 10, 2018 at 7:02 pm #

    Hola:
    Una circunferencia en perspectiva es una elipse. El método del óvalo, permitido en perspectiva isométrica para sustituir a la elipse está explicado arriba.

    Para resolver una circunferencia en perspectiva, inscrita en un rectángulo, te recomiendo el método de haces proyectivos (también llamado de intersección de rectas), que puedes encontrar fácilmente en la red.

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