4 Ejercicios prácticos de tangencias

Tras los dos artículos anteriores de esta serie sobre polaridad y teoría de las tangencias, estás en predisposición de afrontar los ejercicios típicos de las Pruebas de Acceso a la Universidad sobre tangencias.

Cuando leas este artículo serás capaz de aplicar la teoría de las tangencias en 3 ejercicios prácticos y hacerlo de manera ordenada y razonada. Esa base es suficiente para que puedas resolver prácticamente cualquier ejercicio sobre tangencias que se te pueda plantare en las PAU.

Vamos con el primero:

Ejercicio de tangencias de las PAU #1

Dibujar a escala 1/1 la figura, partiendo del punto O dado y conocido el punto de tangencia T. (Respetar todos los trazados auxiliares)

Por dónde empezar un ejercicio de tangencias

En este caso viene definido que hay que empezar por el punto O.

Si no es así, normalmente se suelen dar los ejes (como en este caso) y suelen estar acotados.

No se puede definir un método genérico, puesto que cada problema vendrá enunciado de una manera diferente, pero es conveniente que analices el dibujo antes de empezar, para ver qué conoces con certeza y por dónde puedes seguir. Como digo, los ejes suelen ser la mejor opción.

En nuestro ejemplo, partimos del punto O y vemos que es el centro de una circunferencia de diámetro 100, por lo que es fácil empezar por ahí. También se puede dibujar la recta horizontal tangente a la circunferencia de la parte inferior y el punto de tangencia T situado 21 mm por encima del eje horizontal.

Ahora tienes que fijarte en aquello que está en contacto con esta circunferencia y ver si eres capaz de averiguar cómo resolverlo. En la parte superior izquierda hay una circunferencia de diámetro 54, cuyo punto de tangencia T viene definido. ¡Eso puedes resolverlo ya!

Se trata de una circunferencia tangente interior a otra, conocidos el radio y el punto de tangencia. Sólo hay que trazar la recta que une el centro O con el punto T y restarle el radio 27 (mitad de 54) desde el punto T. Así obtendremos el centro O1 de la circunferencia.

(Dejo los trazos auxiliares en el dibujo pero elimino las cotas, porque tú no tendrás que dibujarlas. Así te facilito la lectura del dibujo)

A continuación puedes trazar fácilmente la circunferencia de diámetro 40 de la parte inferior izquierda.

¿Cuáles son los datos?

Circunferencia tangente a recta y a otra circunferencia dado el radio 40. No conocemos el punto de tangencia ni el centro. Aquí te relato los pasos a seguir:

1. Trazar una recta paralela a la dada a una distancia igual a 20 mm.
2. Trazar una circunferencia concéntrica a la dada cuyo radio sea 20 mm mayor que el de la circunferencia dada. Para ello, dibuja un radio de la circunferencia y súmale 20 mm.
3. El punto de intersección de la recta y la circunferencia dibujadas en los pasos anteriores determina el centro O2 de la circunferencia tangente.
4. El punto de tangencia T1 con la circunferencia se encuentra en la recta que une los centros.
5. El punto de tangencia T2 con la recta se encuentra en la recta perpendicular a la dada por el centro O2 de la circunferencia tangente.

Para terminar el ejercicio nos falta el arco de circunferencia de radio 55mm. Este es tangente a la circunferencia de radio 54 mm y a la recta. Fíjate que los datos son casi los mismos que en la tangencia anterior (circunferencia tangente a recta y circunferencia conocido el radio) por lo que el proceso será similar.

La única diferencia radica. En que en este caso las circunferencias tangentes son interiores y en el anterior eran exteriores. El proceso sería el siguiente:

1. Dibujar una recta paralela a la recta dada a una distancia de 55 mm.
2. Dibujar una circunferencia concéntrica a la dada (sobre la que queremos hacer tangencia, es decir, sobre la circunferencia de diámetro 54 mm) restándole el radio de 55 mm. Para ello, dibuja un diámetro de la circunferencia (puedes usar el que ya tenías dibujado) y, desde uno de los extremos réstale los 55 mm. La circunferencia concéntrica resultante será sólo 1 mm mayor que la dada.
3. El punto de intersección de la recta y la circunferencia dibujadas determina el centro O3 de la circunferencia tangente.
4. El punto de tangencia T3 sobre la circunferencia se obtiene uniendo los centros.
5. El punto de tangencia T4 sobre la recta se obtiene mediante una recta perpendicular que pasa por el centro O3.

¡Y ya está resuelto! Un ejercicio así de sencillo supone fácilmente 3 puntos en una Prueba de Acceso a la Universidad.

No te olvides de indicar los centros de la circunferencias tangentes, los puntos de tangencia ni los trazados auxiliares. Es muy recomendable que los ejercicios de tangencias queden muy limpios, intenta no emborronar el dibujo.

Cuantas más ejercicios de tangencias hagas, más soltura tendrás, más fácil te resultará empezar y más fácil te será prever por dónde continuar.

Aquí va otro ejemplo.

Ejercicio de tangencias de las PAU #2

Dibujar a escala 1/1 el trazado de la figura, partiendo del punto dado O, respetando todos los trazados auxiliares.

Partimos en este ejercicio también del punto O dado. Como te comenté anteriormente, lo más común es que los ejes vengan acotados, así que podemos empezar por ahí y dibujar todo lo que venga definido a partir de ellos.

Podemos trazar la circunferencia de diámetro 50 mm. Provisionalmente podemos dibujar también la recta vertical en la parte derecha del dibujo situada a 106 mm del punto O y la circunferencia de la derecha, de radio 40 mm, con centro en O1 y situada a 86 mm de O. Digo de manera provisional porque aún no conocemos los puntos de tangencia y nos sabemos dónde empiezan y acaban.

Partiendo de estos datos, es fácil trazar la recta en la parte superior del dibujo. Date cuenta de que es una recta tangente exterior a dos circunferencias dadas. El proceso es un poco laborioso, pero deberás memorizarlo y tenerlo fresco para poder aplicarlo en casos como este.

El objetivo es que obtengas los puntos de tangencia T1 y T2.

Ahora podemos dibujar el arco de circunferencia en la parte inferior. Se trata de una circunferencia tangente a dos circunferencias dado el radio, en este caso 35 mm.

¿Recuerdas cómo se hacía?

1. Dibujar un radio en cada una de las dos circunferencias
2. Sumar a cada uno de los radios el de la circunferencia tangente: 35 mm. Se le suma porque la circunferencia es tangente exterior. Si fuera interior a alguna de ellas o a ambas, se restaría.
3. Dibujar las circunferencias concéntricas cuyo radio es la suma obtenida en el paso 2. Su intersección determina el centro O2 de la circunferencia tangente.
4. Los puntos de tangencia T3 y T4 se encontrarán en las rectas que unen el centro O2 de la circunferencia tangente con los centros de las circunferencias dadas O y O1.

Por último, queda resolver la circunferencia en la parte inferior derecha de 44 mm de diámetro.

Esta es una circunferencia tangente a otra y a recta dado el radio en este caso de 22 mm (mitad de 44 mm).

1. Igual que en el ejercicio #1 que hemos visto anteriormente trazamos una recta paralela a la dada a una distancia de 22 mm. Para ello, traza una perpendicular a la recta y mide 22 mm.
2. Por otro lado, trazamos una circunferencia concéntrica a la dada con un radio que se obtiene de restar los 22 mm al radio de la circunferencia dada (40 mm). Para resolverlo, trazar un radio de la circunferencia dada y desde el extremo réstale 22 mm.
3. La intersección de la circunferencia y rectas anteriores determina el centro O3 de la circunferencia.
4. Dibuja los puntos de tangencia T5 y T6.

Ejercicio de tangencias de las PAU #3

El último ejercicio que voy a explicar es el de la famosa botella. Es interesante porque tiene muchos de los ejercicios de tangencias distintos aplicados.

Dado el croquis acotado de la botella representada se pide dibujarla a escala 1:1. Se dejará constancia de todas las construcciones geométricas necesarias.

En este ejercicio empezamos por el eje y después tomamos las dimensiones principales que vienen acotadas. Es lo más fácil, ¿no? Ya viene definido, sólo hay que medir.

Las dibujaremos con trazos provisionales hasta que tengamos los puntos de tangencia definitivos.

Tomaremos por tanto las dimensiones principales en primer lugar: los 56 mm de ancho (28 a cada lado del eje) y los 157 mm de largo. Luego podemos ir tomando las subdivisiones de 12 mm, 74 mm, 5 mm y 47 mm. Las subdivisiones en anchura también nos serán de utilidad y ya las conocemos: los 24 mm en la parte superior y los 32 mm en medio.

Deberá quedarnos algo así:

Una vez hemos dibujado todos los datos conocidos, empezamos a buscar puntos de tangencia. Podemos empezar desde arriba, en la boca de la botella. Tenemos definida la distancia entre los centros: 24 mm. Sólo necesitamos definir su posición en altura. Puesto que los dos arcos de diámetro 5 mm son tangentes a ambas rectas, su centro se encontrará en una recta paralela que equidiste de ambas rectas. Por tanto, una recta situada a 2,5 mm de cada una de ellas.

Con eso ya podemos dibujar la boca de la botella.

Las siguientes rectas que representan el cuello de la botella vienen definidas. En la parte superior están separadas una distancia de 24 mm y en la parte inferior una distancia de 32 mm (fíjate gracias al detalle que el punto que queda acotado es el final de la recta de referencia, no el punto de tangencia). Por tanto, podemos dibujar estas rectas con trazado provisional, hasta que encontremos los puntos de tangencia.

Para poder seguir con el enlace mediante un arco de radio 10 mm necesitamos más información, puesto que la circunferencia sobre la que tenemos que enlazar la desconocemos. Por tanto, vamos seguir ahora por la parte inferior de la botella por su culo 🙂

Vemos que hay un arco enlazando dos rectas. Se trata por tanto de una circunferencia tangente a dos rectas dado el radio, en este caso de 12 mm. Basta por tanto con dibujar una recta paralela a la vertical a una distancia de 12 mm. Los puntos de tangencia estarán en las rectas perpendiculares a las rectas que pasan por el centro O3 y O4.

El enlace por arriba con un arco de 30 mm se trata de una circunferencia tangente a una recta dados el radio y el punto de tangencia. Por el punto de tangencia (que viene definido por las cotas) trazamos utilizamos la recta perpendicular y medimos 30 mm, lo que nos dará los centros  O5 y O6 de las circunferencias tangentes.

Ahora sí podemos enlazar con el arco de 10 mm anterior. Este es una circunferencia tangente a recta y circunferencia dado el radio. Para ello, trazaremos una recta paralela a la dada a una distancia de 10 mm. Puesto que la circunferencia tangente es exterior, sumaremos el radio de 10 mm a la circunferencia dada y dibujaremos la circunferencia concéntrica con este nuevo radio.

La intersección de esta circunferencia con la recta paralela anterior determina los centros O7 y O8 de las circunferencia tangentes de radio 10 mm. Los puntos de tangencia se obtienen como siempre: perpendicular a la recta y recta que une los centros.

Y así queda resuelta la botella.

Ejercicio de tangencias de las PAU #4

Sé que te había dicho que eran 4 ejercicios de tangencias.

El cuarto que te propongo es para que tú lo hagas. Tienes 3 ejercicios explicados paso a paso y la teoría completa, así que espero que te resulte sencillo hacer este. Si tienes alguna dificultad, no dudes en ponerte en contacto conmigo.

Descargar ejercicio de Tangencias #4

Lo más importante es que practiques. Cuantos más ejercicios hagas, más fácil te resultará resolverlos.

***

La serie completa sobre tangencias se compone de los siguientes 3 artículos:

• Polar, centro y eje radical
• Tangencias: los 3+1 SIEMPRES y los 8 casos
• Ejercicios prácticos de tangencias

Si te ha gustado, considera la opción de compartirlo a través de las redes sociales. ¡Muchas gracias!