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Perpendicularidad en Sistema Diédrico

05 Plano perpendicular a recta

De vuelta de unos días estivales de descanso, he decidido ponerme con uno de los temas fundamentales del Sistema Diédrico: la perpendicularidad. Es muy importante porque será útil, entre otros, para las distancias y las alturas de poliedros regulares. La perpendicularidad ya la pusimos en práctica en este problema de las PAU para dibujar una Pirámide en Sistema Diédrico.

No pierdas detalle. Te explicaré por separado los 4 casos de perpendicularidad posibles con la mayor claridad. Verás como te resulta sencillo.

1. Recta perpendicular a plano

Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano.

Para dibujar una recta perpendicular a un plano dado por un punto, simplemente tendremos que dibujar sus proyecciones perpendiculares a las trazas del plano pasando por el punto.

01 Recta perpendicular a plano

Excepción: Planos paralelos a la Línea de Tierra y planos que contienen a la Línea de Tierra. En ambos casos, la recta perpendicular es una Recta de Perfil. Para ver la perpendicularidad necesitaremos un plano auxiliar de perfil.

02 Recta perpendicular a plano

2. Rectas perpendiculares entre sí

Dos rectas perpendiculares en el espacio, en general, no tienen sus proyecciones perpendiculares. Únicamente cuando una de las rectas es paralela a uno de los planos de proyección, las proyecciones de ambas rectas sobre este plano serán perpendiculares.

Esto quiere decir que, para dos rectas perpendiculares en el espacio:

  • Si una es horizontal, sus proyecciones horizontales son perpendiculares
  • Si una es frontal, sus proyecciones verticales son perpendiculares

03 Recta perpendicular a recta

Una recta es perpendicular a otra cuando está contenida en un plano perpendicular a dicha recta. Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano.

De aquí se deduce que un plano perpendicular a la recta contiene las infinitas rectas perpendiculares a dicha recta.

04 Recta perpendicular a recta

Recta perpendicular a otra por un punto

Para dibujar una recta perpendicular a otra dada por un punto existen 2 posibilidades:

  1. Dibujar una recta horizontal o frontal que tenga sus proyecciones horizontales o verticales respectivamente perpendiculares a la dada y que pase por el punto.
  2. Dibujar un plano perpendicular a la recta dada que pase por el punto y en él contener una recta. Esto lo veremos en el siguiente apartado.

3. Plano perpendicular a recta

Un plano es perpendicular a una recta cuando sus trazas son perpendiculares a las proyecciones de la recta (igual que hemos visto en el apartado 1)

Excepción: Rectas de Perfil. Para dibujar un plano perpendicular a una recta de perfil tendremos que utilizar un plano auxiliar de perfil.

05 Plano perpendicular a recta

Plano perpendicular a recta por un punto

Para dibujar un plano perpendicular a una recta por un punto dado utilizaremos una recta auxiliar que sea perpendicular a la dada y pase por el punto. Por sus puntos traza dibujaremos el plano perpendicular.

Ejemplo: Dibujar el plano P’-P perpendicular a la recta dada r’-r y que pase por el punto a’-a.

  1. Dibuja la proyección horizontal de la recta s’-s que pase por a y sea perpendicular a la proyección horizontal r de la recta.
  2. Dibuja proyección vertical s’ de la recta, que pase por a’ y sea paralela a la Línea de Tierra.
  3. Obtén el punto traza vertical de dicha recta s’-s.
  4. Pasa la traza vertical P’ del plano perpendicular a la proyección vertical r’ de la recta
  5. Por el punto de corte de P’ con la Línea de Tierra dibuja la traza horizontal P del plano perpendicular a la proyección horizontal r de la recta.

06 Plano perpendicular a recta

4. Planos perpendiculares entre sí

Dos planos son perpendiculares entre sí cuando uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro.

Se deduce de aquí que:

  • Sus trazas no tienen que ser necesariamente perpendiculares.
  • Dado un plano, los infinitos planos que contienen a una recta perpendicular al dado serán perpendiculares a este.

Plano perpendicular a otro por un punto

Dado un plano P’-P y un punto a’-a, dibujar otro plano Q’-Q perpendicular al dado.

  1. Dibuja una recta r’-r perpendicular a P’-P que pase por a’-a y halla sus puntos traza.
  2. Dibuja cualquier plano que contenga a la recta r’-r, es decir, cuyas trazas pasen por los puntos traza de la recta.

Como puedes comprobar, este ejercicio tiene infinitas soluciones.

07 Plano perpendicular a plano

Plano perpendicular a otros dos por un punto

Dados los planos P’-P y Q’-Q y un punto a’-a, dibujar otro plano J’-J perpendicular a los 2 dados.

  1. Dibuja una recta r’-r perpendicular a P’-P que pase por a’-a y halla sus puntos traza.
  2. Dibuja una recta s’-s perpendicular a Q’-Q que pase por a’-a y halla sus puntos traza (basta con encontrar 3 puntos traza de ambas rectas)
  3. Dibuja el plano que contiene ambas rectas r’-r y s’-s, es decir, cuyas trazas pasan por los puntos traza de ambas rectas.

Este ejercicio tiene una única solución.

08 Plano perpendicular a dos planos

Resumen

Básicamente te he explicado todos los casos de perpendicularidad posibles junto con sus excepciones. Los casos concretos se presentarán en ejercicios concretos, pero, en esencia has aprendido los conceptos generales que te permitirán deducir la solución a cualquier ejercicio.

Hemos visto:

  • Recta perpendicular a plano
  • Rectas perpendiculares entre sí
  • Plano perpendicular a recta
  • Planos perpendiculares entre sí

Espero que te haya resultado útil. Si quieres que siga escribiendo, ayúdame compartiendo este artículo a través de Facebook o Twitter. También puedes suscribirte a mi canal de Youtube o recibir cada nuevo artículo apuntándote a la Lista de Correo de 10endibujo.

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11 Responses to Perpendicularidad en Sistema Diédrico

  1. Marcos febrero 3, 2015 at 9:52 pm #

    Muchas gracias por esta aportación, como estoy estudiando dibujo de segundo de bachiller, vengo aquí siempre a repasar los conceptos que no me han quedado claros.
    PD: Si tuvieras que dar un consejo sobre el examen de Selectividad de dibujo ¿Cuál sería?
    Un saludo

    • Pablo Domingo febrero 5, 2015 at 12:39 pm #

      Hola Marcos, muchas gracias por tu comentario.
      ¿Un único consejo? Diría que hay que prepararse durante todo el curso. Si apruebas la asignatura con buena nota, entiendes los conceptos y sabes aplicarlos Selectividad será sencilla.
      Si quieres que sea más específico en cuanto al Dibujo Técnico, recomendaría ir tranquilo al examen, habiendo dormido bien la noche anterior, con el material a punto (reglas y goma de borrar limpias, lápices afilados y compás que funcione) y con la idea clara en mente de que vas a dejar un examen perfecto, con los grosores de línea adecuados, sin borrones.
      Si has preparado bien la asignatura durante el curso y vas tranquilo al examen, no tendrás problemas en sacar buena nota.
      Espero que te sirva, un abrazo

  2. pablo febrero 28, 2016 at 9:55 pm #

    muchas gracias pero tengo una duda, cuando hablas de utilizar una recta auxiliar, esa recta es siempre horizontal o frontal, o puede ser otra cualquiera?

  3. Laura abril 28, 2016 at 6:33 pm #

    Hola muchas gracias por esto esta muy bien pero en el apartado plano perpendicualar a otro que pasa por un punto no se puede utilizar una recta horizontal o frontal en vez de oblicua??Sabes donde puedo encontrar ejercicios sobre esto,intersecciones,distancias…?muchisimas gracias

  4. Nacho estudiante Ing. Civil junio 12, 2016 at 4:58 pm #

    Buenas:

    Muchas gracias por los contenidos de tú página web.

    Merece muchísimo la pena y está mucho más completa que las clases de alguno de mis profesores de la uni. Me sorprendió gratamente la cantidad de esfuerzo puesto y me ha sido de gran ayuda tus diferentes secciones dentro del Sistema Diédrico.

    Espero que sigas actualizando esto muy pronto y con más dificultad, ya que sin duda aprendo mejor con tus explicaciones.

    Muchas gracias y un saludo.

  5. pilar labrador telenti abril 17, 2017 at 8:03 pm #

    Hola, pues yo me encuentro que hay problemas en los que para hallar una recta perpendicular a otra por un punto. Lo que hace es primero el plano perpendicular a la recta dada y luego la intersección de ese plano con la recta. De ahí obtiene el punto de interseccción que une con el punto exterior ¿no serviría con una horizontal o frontal perteneciente al plano que pase por el punto?

  6. Claudia febrero 27, 2018 at 5:14 pm #

    Me encanta esta página miro aqui todas mis dudas, y hasta te he promocionado en mi clase de dibujo, enhorabuena por la página y GRACIAS.

  7. Pepe marzo 20, 2018 at 9:14 pm #

    Hola! Una duda, para el plano perpendicular a otro dos por un punto se podría hacer la intersección de los planos dados. Después plano perpendicular a la recta intersección y al punto dado. Gracias por los apuntes.

    • Pablo Domingo marzo 21, 2018 at 11:24 am #

      Hola Pepe,
      Primero tienes que hacer la recta de intersección de los dos planos y después un plano perpendicular a esa recta por el punto.

      La idea que comentas de hacer un plano perpendicular a la recta y al punto no la entiendo muy bien. Si quieres decir que deberías hacer un plano perpendicular al plano formado por la recta y el punto, entonces no es correcto. Debe ser simplemente perpendicular a la recta de intersección

      Un saludo

  8. Matias19 junio 24, 2018 at 9:52 pm #

    Hola! No entiendo muy bien como hacer que una recta sea perpendicular a un plano dado por dos revtas concurrentes ya que ni siquiera entiendo cuando una recga es perpendicular a un plano. Si me podrias ayudar muchísimas gracias !

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