Perpendicularidad en Sistema Diédrico

• Este artículo pertenece a la Guía de Sistema Diédrico.
• También está disponible el vídeo curso de Sistema Diédrico.

De vuelta de unos días estivales de descanso, he decidido ponerme con uno de los temas fundamentales del Sistema Diédrico: la perpendicularidad. Es muy importante porque será útil, entre otros, para las distancias y las alturas de poliedros regulares. La perpendicularidad ya la pusimos en práctica en este problema de las PAU para dibujar una Pirámide en Sistema Diédrico.

No pierdas detalle. Te explicaré por separado los 4 casos de perpendicularidad posibles con la mayor claridad. Verás como te resulta sencillo.

1. Recta perpendicular a plano

Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano.

Para dibujar una recta perpendicular a un plano dado por un punto, simplemente tendremos que dibujar sus proyecciones perpendiculares a las trazas del plano pasando por el punto.

Excepción: Planos paralelos a la Línea de Tierra y planos que contienen a la Línea de Tierra. En ambos casos, la recta perpendicular es una Recta de Perfil. Para ver la perpendicularidad necesitaremos un plano auxiliar de perfil.

2. Rectas perpendiculares entre sí

Dos rectas perpendiculares en el espacio, en general, no tienen sus proyecciones perpendiculares. Únicamente cuando una de las rectas es paralela a uno de los planos de proyección, las proyecciones de ambas rectas sobre este plano serán perpendiculares.

Esto quiere decir que, para dos rectas perpendiculares en el espacio:

• Si una es horizontal, sus proyecciones horizontales son perpendiculares
• Si una es frontal, sus proyecciones verticales son perpendiculares

Una recta es perpendicular a otra cuando está contenida en un plano perpendicular a dicha recta. Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano.

De aquí se deduce que un plano perpendicular a la recta contiene las infinitas rectas perpendiculares a dicha recta.

Recta perpendicular a otra por un punto

Para dibujar una recta perpendicular a otra dada por un punto existen 2 posibilidades:

1. Dibujar una recta horizontal o frontal que tenga sus proyecciones horizontales o verticales respectivamente perpendiculares a la dada y que pase por el punto.
2. Dibujar un plano perpendicular a la recta dada que pase por el punto y en él contener una recta. Esto lo veremos en el siguiente apartado.

3. Plano perpendicular a recta

Un plano es perpendicular a una recta cuando sus trazas son perpendiculares a las proyecciones de la recta (igual que hemos visto en el apartado 1)

Excepción: Rectas de Perfil. Para dibujar un plano perpendicular a una recta de perfil tendremos que utilizar un plano auxiliar de perfil.

Plano perpendicular a recta por un punto

Para dibujar un plano perpendicular a una recta por un punto dado utilizaremos una recta auxiliar que sea perpendicular a la dada y pase por el punto. Por sus puntos traza dibujaremos el plano perpendicular.

Ejemplo: Dibujar el plano P’-P perpendicular a la recta dada r’-r y que pase por el punto a’-a.

1. Dibuja la proyección horizontal de la recta s’-s que pase por a y sea perpendicular a la proyección horizontal r de la recta.
2. Dibuja proyección vertical s’ de la recta, que pase por a’ y sea paralela a la Línea de Tierra.
3. Obtén el punto traza vertical de dicha recta s’-s.
4. Pasa la traza vertical P’ del plano perpendicular a la proyección vertical r’ de la recta
5. Por el punto de corte de P’ con la Línea de Tierra dibuja la traza horizontal P del plano perpendicular a la proyección horizontal r de la recta.

4. Planos perpendiculares entre sí

Dos planos son perpendiculares entre sí cuando uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro.

Se deduce de aquí que:

• Sus trazas no tienen que ser necesariamente perpendiculares.
• Dado un plano, los infinitos planos que contienen a una recta perpendicular al dado serán perpendiculares a este.

Plano perpendicular a otro por un punto

Dado un plano P’-P y un punto a’-a, dibujar otro plano Q’-Q perpendicular al dado.

1. Dibuja una recta r’-r perpendicular a P’-P que pase por a’-a y halla sus puntos traza.
2. Dibuja cualquier plano que contenga a la recta r’-r, es decir, cuyas trazas pasen por los puntos traza de la recta.

Como puedes comprobar, este ejercicio tiene infinitas soluciones.

Plano perpendicular a otros dos por un punto

Dados los planos P’-P y Q’-Q y un punto a’-a, dibujar otro plano J’-J perpendicular a los 2 dados.

1. Dibuja una recta r’-r perpendicular a P’-P que pase por a’-a y halla sus puntos traza.
2. Dibuja una recta s’-s perpendicular a Q’-Q que pase por a’-a y halla sus puntos traza (basta con encontrar 3 puntos traza de ambas rectas)
3. Dibuja el plano que contiene ambas rectas r’-r y s’-s, es decir, cuyas trazas pasan por los puntos traza de ambas rectas.

Este ejercicio tiene una única solución.

Resumen

Básicamente te he explicado todos los casos de perpendicularidad posibles junto con sus excepciones. Los casos concretos se presentarán en ejercicios concretos, pero, en esencia has aprendido los conceptos generales que te permitirán deducir la solución a cualquier ejercicio.

Hemos visto:

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• Recta perpendicular a plano
• Rectas perpendiculares entre sí
• Plano perpendicular a recta
• Planos perpendiculares entre sí

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