Pirámide en Sistema Diédrico: Ejercicio típico de las PAU valorado en 4 puntos

Aprovecha esta oportunidad para entender cómo dibujar una pirámide en Sistema Diédrico. Aplicaremos de forma práctica los conocimientos sobre rectas notables del plano, abatimientos, desabatimientos y giros.

Este ejercicio me parece muy bonito. Me encantan los ejercicios en los que, partiendo de pocos datos, se llegan a definir figuras geométricas complejas

¡Disfrútalo!

Aquí tienes el vídeo explicativo. También puedes verlo en Youtube

Te dejo a continuación el enunciado:

La recta de máxima pendiente de un plano P se define por su proyección horizontal ab y por su proyección vertical a’b’. SE PIDE:

1. Representar las trazas del plano P.
2. Representar las proyecciones del cuadrado situado en el plano P, y en el primer diedro, uno de cuyos lados es el segmento AB.
3. Representar las proyecciones de la pirámide regular situada en el primer diedro que tiene por base al cuadrado definido en el punto anterior y por altura un segmento de magnitud 10 cm.

1. Representar las trazas del plano P.

La información que tenemos es que la recta ab es la recta de máxima pendiente del plano P. Como sabes del artículo sobre planos en Sistema Diédrico, en concreto por este dibujo, la recta de máxima pendiente tiene su proyección horizontal perpendicular a la traza horizontal del plano.

Por otro lado, en el mismo artículo sobre planos puedes encontrar que “Una recta pertenece a un plano cuando sus Puntos Traza están contenidos en las trazas del plano”.

Por tanto, ya puedes dibujar la Traza Horizontal P del plano, perpendicular a la proyección horizontal de la recta pasando por el Punto Traza Horizontal de la recta, es decir, por el punto a.

Si unes de intersección de la Traza horizontal P y la Línea de Tierra con el punto b’, que es el Punto Traza Vertical de la recta, obtendrás la Traza Vertical P’ del plano.

Todo esto es mucho texto para un razonamiento tan sencillo.

Un dibujo lo explica mejor.

2. Representar las proyecciones del cuadrado situado en el plano P, y en el primer diedro, uno de cuyos lados es el segmento AB

Puesto que el plano es oblicuo, nada de lo que haya en él contenido se verá en Verdadera Magnitud. Para poder dibujar un cuadrado necesitamos abatir el plano oblicuo P. Los detalles los puedes encontrar en el artículo sobre abatimiento de planos.

1. En primer lugar abates la Traza Vertical P’ del plano tomando el punto b’, que queda abatido en (B).
2. El punto a pertenece a la Traza Horizontal P, por lo que coincide con el punto (A) abatido.
3. Según dice el enunciado, la recta AB es un lado del cuadrado situado en el primer cuadrante. Sólo tienes que dibujar ahora el cuadrado a partir del lado. Todo lo que esté contenido entre P’ y P pertenecerá al primer cuadrante.

Para poder seguir trabajando en Sistema Diédrico, tenemos que desabatir el cuadrado. En este dibujo puedes ver el proceso de desabatir.

Proyección Horizontal

El punto D está contenido en la Traza Horizontal P, por lo que coincide con su proyección horizontal.

Para dibujar la proyección horizontal c del punto C tendrías que dibujar una paralela a P por (C) hasta (P’), desde ahí una perpendicular a P hasta la Línea de Tierra (coincide con b) y desde ahí una paralela nuevamente a P. Por último, tendrías que trazar una perpendicular a P por el punto (C).

Dibujarlo es fácil porque se trata de hacer paralelas y perpendiculares a P, por lo que mantienes la regla de apoyo fija y es la otra la que mueves.

Proyección Vertical

Puesto que D pertenece a la Traza Horizontal P, su proyección vertical se encontrará sobre la Línea de Tierra.

Para obtener c’ utilizamos la recta horizontal de plano bc en la que ya está contenido el punto.

¿Por qué sé que la recta bc es horizontal de plano? Porque su proyección horizontal bc  es paralela a la Traza Horizontal P del plano.

Por tanto, dibuja simplemente una recta horizontal por b’ y busca la proyección vertical de c.

No sé si te has dado cuenta pero con esos dos sencillos pasos llevas ya al menos 2,5 puntos del examen. No está mal, ¿eh?

3. Representar las proyecciones de la pirámide regular situada en el primer diedro que tiene por base al cuadrado definido en el punto anterior y por altura un segmento de magnitud 10 cm.

Para definir la pirámide sólo nos falta situar el vértice, puesto que la base ya está dibujada. Dado que la pirámide es regular, su vértice se encontrará en una recta perpendicular al plano P’-P desde el punto medio de la base.

Dibuja en primer lugar las diagonales del cuadrado para obtener el punto m’-m.

La perpendicularidad es el único aspecto que aún no te he explicado en esta web (por el momento). Te basta con que sepas que una recta es perpendicular a un plano oblicuo cuando las proyecciones de la recta son perpendiculares a las trazas del plano correspondientes.

Por tanto, traza una recta perpendicular (que llamaremos r’-r) a P’-P desde el punto m’-m. Es decir, una perpendicular a P’ que pase por m’ y una perpendicular a P por m.

Sobre esta recta se encontrará el vértice V’-V. Sólo tenemos que definir su altura.

Verdadera Magnitud de la altura por Giro

En el artículo de giros te expliqué cómo se podía dibujar en verdadera magnitud mediante giros.

1. Haz pasar el eje (yo lo haré vertical) por el punto m’-m. Así sólo tendrás que girar un punto.
2. Gira en proyección horizontal mediante el compás un punto aleatorio F de la recta r hasta que la recta r1 quede como paralela a la Línea de Tierra.
3. En proyección vertical, el giro se ve como recta paralela a la Línea de Tierra. Dibuja la proyección vertical r1’.
4. Sobre r1’ puedes medir en Verdadera Magnitud los 10 cm desde m’. Encuentra la proyección horizontal sobre la recta r1 girada.
5. Deshaz el giro. La distancia tomada de 10 cm deberás girarla en sentido contrario: en proyección horizontal mediante un arco de circunferencia y en proyección vertical mediante recta paralela a la Línea de Tierra. Obtendrás así V’ y V.

Partes vistas y ocultas

Una vez que tenemos ambas proyecciones de los 5 puntos de la pirámide hemos de dibujar el resultado final. Para esto te voy a dar un par de trucos y además necesitarás una pizca de visión espacial: tendremos que hacer trabajar tu imaginación.

Los dos trucos son los siguientes:

• Los contornos de la figura son siempre vistos. Y esto se aplica tanto a la proyección horizontal como a la vertical.
• En proyección horizontal serán vistos aquellos vértices que se sitúen a mayor altura en proyección vertical. Y de manera análoga, en proyección vertical serán vistos aquellos vértices que en proyección horizontal tengan mayor alejamiento.

Este último truco es lógico. El punto de vista del observador en proyección horizontal está arriba, en el infinito. Por tanto, las partes que verá serán las que estén más altas. Y sólo podemos saber cuáles están más altas si miramos la proyección vertical.

Y así queda resuelto el problema de las PAU. Como te he dicho, esto suelen ser 4 puntos. Yo creo que con esta explicación no te resultará difícil conseguirlos, ¿no?

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Un saludo, Pablo