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Inversión en Dibujo Técnico: la teoría más completa

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Inspirado por las sugerencias de algunos lectores de 10endibujo te traigo un tema muy interesante y que, por desgracia, no tuve que estudiar en mi época de instituto. Me ha parecido superdivertido estudiarlo y ha empezado a apasionarme, así que seguro que te traeré más artículos relacionados.

Me gusta porque es Dibujo Técnico en estado puro: precisión, limpieza y belleza. Cuando un ejercicio está correcto, es un 10, ¡sin más!

Por el momento puedes ver un ejercicio resuelto en el Examen Modelo de las PAU de Madrid 2014. Vamos con la teoría.

Definición

La Inversión en Dibujo Técnico es una transformación geométrica en la que a una figura corresponde otra y en la que se cumple que:

  • Dos puntos inversos (A, A’) están alineados con un punto fijo llamado Centro de Inversión (O),
  • El producto de la distancia de un punto al Centro de Inversión por la distancia de su inverso al Centro de Inversión es constante (K) y se llama Potencia de Inversión.

Esto quiere decir que OA·OA’ = OB·OB’ = OT·OT = K

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Trazando sucesivas rectas secantes a esta circunferencia encontramos más puntos y sus inversos. Puesto que K es constante, cuanto mayor sea OA, menor será OA’, es decir, cuando más alejado esté un punto A del Centro O, más cerca estará su inverso A’ del Centro O.

Existe una distancia para la cual un punto A y su inverso son iguales.

Lo puedes ver en el dibujo anterior. Se trata del punto de tangencia. El punto T coincide con su inverso y para él también se cumple que

OT·OT = K

Por tanto,

OT = Raíz cuadrada de K

Todos los puntos situados a la misma distancia del centro de inversión que este punto T son dobles. A este Lugar Geométrico se le llama Circunferencia de Puntos Dobles (CPD)

Circunferencia de Puntos Dobles o Circunferencia de Autoinversión

La Circunferencia de Puntos Dobles (o circunferencia de Autoinversión) es el Lugar Geométrico de los puntos del plano que tienen sus inversos en sí mismos. Estos puntos equidistan del Centro de Inversión una distancia igual a la raíz cuadrada de la Potencia de Inversión K.

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Cómo dibujar la Circunferencia de Puntos Dobles

En realidad es muy sencillo. Dibuja una circunferencia que contenga dos puntos inversos A-A’ y dibuja la recta tangente a dicha circunferencia desde el Centro de Inversión. Esto determinará un punto de Tangencia.

La circunferencia con centro en O y radio O-T es la Circunferencia de Puntos Dobles.

En el dibujo anterior está muy claro.

Características de la Inversión

1. Dos pares de puntos inversos no alineados forman siempre una circunferencia

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2. Dados dos puntos A, B y sus inversos A’, B’, las rectas A-A’ y B-B’ son antiparalelas de las rectas A-B y A’-B’

Esto quiere decir que el ángulo que forma la recta A-A’ con A’-B’ y con A-B son iguales que los que forma la recta B-B’ con A-B y con A’-B’ respectivamente.

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3. Si K>0, la Inversión es positiva. Si K<0, es negativa y en este último caso la Inversión no tiene puntos dobles.

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Determinar una Inversión

Una Inversión puede venir determinada de 3 maneras diferentes:

  1. Dado el Centro de Inversión y un par de puntos inversos
  2. Dado el Centro de Inversión y la Potencia de Inversión
  3. Dados dos pares de puntos inversos no alineados.

Veamos a continuación cada uno de los casos.

1. Dado el Centro de Inversión O y un par de puntos inversos A, A’, determinar el punto inverso de B.

Dibuja la circunferencia que pasa por A, A’ y B. Para ello traza las mediatrices de los segmentos A-A’ y A-B. El punto de intersección es el centro de la circunferencia que buscamos. Une B con el Centro de Inversión y obtendrás B’.

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2. Dado el Centro de Inversión O y el valor de la inversión OT, determinar el punto inverso de A

Dibuja una circunferencia de radio OT con centro en el Centro de Inversión. Esta es la Circunferencia de Puntos Dobles. Toma un punto T cualquiera de la circunferencia. Dibuja la mediatriz del segmento A-T y la tangente a la circunferencia por T. En la intersección de ambas rectas se encuentra el centro C de una circunferencia de radio C-T que contiene el inverso de A. Une O con A para encontrarlo.

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3. Dados dos pares de puntos inversos A, A’ y B, B’, determinar el punto inverso de D.

En la intersección de las rectas A-A’ con B-B’ se encuentra el Centro de Inversión. Dibuja la circunferencia que pasa por los puntos A, A’ y D. Une O con D y obtendrás D’ sobre dicha circunferencia.

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Los 5 casos de inversión

A continuación conocerás los 5 casos posibles de inversión. Estos los podrás aplicar a cualquier problema que se te presente.

1. La inversa de una recta que pasa por el Centro de Inversión es ella misma

¡Ojo! Esto no significa que cada punto sea inverso de sí mismo. Esto sólo ocurre en los puntos pertenecientes a la Circunferencia de Puntos Dobles.

Significa que un punto contenido en esa recta tendrá su inverso en la misma recta.

¿Cómo obtener, en este caso, el punto inverso?

Dados un Centro de Inversión O, un par de puntos inversos A, A’ y un punto B,

  1. Toma un punto C aleatorio que no pertenezca a la recta y dibuja la circunferencia que contiene a A, A’ y C. Por la propiedad de que dos pares de puntos inversos siempre forman una circunferencia, podemos asegurar C’ estará en esta circunferencia.
  2. Dibuja la circunferencia que pasa por C, C’ y B. En el punto de corte de esta circunferencia con la recta A-A’ se encuentra B’

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(He borrado los trazados auxiliares para evitar confusiones en el dibujo. Como sabes, el centro de la circunferencia que pasa por tres puntos está en la intersección de las mediatrices de dos de los segmentos que unen dichos puntos)

2. La inversa de una recta que no pasa por el Centro de Inversión es una circunferencia que sí pasa por el Centro de Inversión.

Se cumple además que la recta que une el Centro de Inversión con el centro de la circunferencia es perpendicular a la recta dada.

Dados el Centro de Inversión O, un par de puntos inversos A, A’ y una recta r,

  1. Dibuja la recta perpendicular a la dada que pase por el Centro de Inversión. Sobre esta recta se encontrará el centro.
  2. Toma un punto cualquiera B de la recta y encuentra su inverso B’, haciendo pasar una circunferencia por A, A’ y B.
  3. Dibuja la mediatriz de O-B’, ya que la circunferencia debe pasar por ambos puntos. Esta determinará el centro de la circunferencia inversa de r, cuyo radio será O-B’

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3. La inversa de una circunferencia que pasa por el Centro de Inversión es una recta que no pasa por el Centro de Inversión

Este es el caso complementario del anterior. Dados un Centro de Inversión, un par de puntos inversos y una circunferencia, la recta inversa que buscamos será perpendicular a la recta O-C. Por tanto, dibuja la recta O-C y su perpendicular por el punto A’.

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4. La inversa de una circunferencia que no pasa por el Centro de Inversión es otra circunferencia homotética de la primera.

Dados el Centro de Inversión, un par de puntos inversos y una circunferencia

  1. Une el centro de la circunferencia con el Centro de Inversión. Sobre esta recta estará el centro de la circunferencia inversa.
  2. Dibuja ahora la recta tangente a la circunferencia desde el Centro de Inversión. Como sabes, tienes que dibujar la mediatriz del segmento O-C y desde el punto medio M trazar un arco de circunferencia con radio M-O. Los puntos de corte determinan los puntos de tangencia T.
  3. Halla el inverso T’ del punto de tangencia T. Este se encontrará en la circunferencia que pasa por T, A y A’.
  4. Por el punto T’, pasa una perpendicular a la recta O-T y estó definirá el centro de la circunferencia inversa.

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5. La inversa de una circunferencia que pasa por un par de puntos inversos es inversa de sí misma.

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¡Atención! Cada punto de la circunferencia no es inverso de sí mismo, sino que cada punto de la circunferencia tiene su inverso sobre la propia circunferencia.

Esto se basa en la 1ª característica de la Inversión que he enunciado más arriba: Dos pares de puntos inversos no alineados forman siempre una circunferencia.

***

Hemos tocado todos los aspectos posibles de la teoría de Inversión:

  • Definición de Inversión
  • Circunferencia de Puntos Dobles o de Autoinversión
  • 3 Características de la Inversión
  • 3 Formas de determinar una Inversión
  • 5 Casos de Inversión

En caso de que te quede alguna duda, escríbemela en los comentarios. Si te ha gustado el artículo y quieres que siga escribiendo, compártelo a través de Facebook y Twitter o suscríbete a la Lista de Correo de 10endibujo.

Como te decía, hay un ejercicio de las PAU resuelto en el Examen Modelo de las PAU de Madrid 2014.

¡Un saludo! Pablo

 

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17 Responses to Inversión en Dibujo Técnico: la teoría más completa

  1. Jose Luis Coll Davila July 16, 2014 at 10:16 am #

    Muy interesante la Inversión, aunque difícil!!!!!

    2.- Determinar una Inversión, dado el Centro de Inversión y la Potencia de Inversión
    Si en lugar del valor de OT nos dan la potencia de Inversión K=OT^2, como obtenemos OT sin calculadora??

    Caso de Inversión 3
    Supones que el punto A pertenece a la circunferencia, como sería si los puntos A y A´ no pertenece a la circunferencia?

    • Pablo July 21, 2014 at 10:46 am #

      Hola José Luís y muchas gracias por tu revisión, siempre tan enriquecedora.

      Para obtener OT sin calculadora, dado el valor de K habría que obtener el la raíz cuadrada de K. Esto se hace gráficamente aplicando el teorema de la altura. Puedes ver la resolución por Ester Alonso de manera sencilla en el siguiente enlace http://www.mongge.com/educacion/dibujo-tecnico/ejercicios/raiz-cuadrada-un-segmento/893/

      En el caso de Inversión 3 en que A no perteneciera a la circunferencia, lo más sencillo sería tomar un punto B perteneciente a la circunferencia y obtener su inverso B’ haciendo pasar una circunferencia por A, A’ y B. De esta manera te encontrarías ya en el caso 3 que he definido.

      Espero que te sea de utilidad esta aclaración. Un saludo, Pablo

    • Antonio Briones August 24, 2016 at 8:51 pm #

      Gracias por tus enseñanzas y por gustarte tanto la geometría, como a mí. ¡Enhorabuena!

  2. Arquitecta November 5, 2014 at 4:27 pm #

    Tu explicación me ha parecido múy amena, saber transmitir la pasión que sientes por el dibujo técnico y lo combinas con una capacidad para comunicar excelente: Enhorabuena! Me he enterado con tu post de las “inversiones” Gracias!

    • Pablo Domingo November 5, 2014 at 5:20 pm #

      ¡¡Vaya!! Muchas gracias. Esto es especialmente valioso para la Inversión pues hace unos meses que conocí este tema.

      Me alegra que te guste el blog.
      Un saludo, Pablo

  3. Fran November 13, 2014 at 8:01 pm #

    Tienes alguna explicación de tangencias mediante potencia o inversión sin conocer el radio?

    Soy estudiante de 2º Bachiller. Muy útil gracias!!

  4. Marcos January 30, 2015 at 12:09 am #

    Buenas Pablo. Soy un estudiante de Dibujo Técnico de segundo de Bachillerato con ciertas dificultades en el tema. Lo primero darte las gracias por una explicación tan buena, y lo segundo, si podrías explicar el tema de la Normalización y obtención de vistas de Planta, Alzado y Perfil, que es lo que peor llevo.
    Muchas gracias.

  5. María Sánchez Fernández April 13, 2015 at 8:39 am #

    Gracias! Ya tenía nociones sobre el tema, pero necesitaba un poco de orden en las ideas.
    Un saludo.

  6. Elisa Gutierrez October 30, 2015 at 7:31 pm #

    Hola Pablo! Tenía una duda de un ejercicio que me han mandado hacer. Es hallar el inverso de un punto P dado un par de puntos inversos A,A’ y el centro de inversión. Lo que pasa es que el punto P y la pareja de puntos inversos están alineados y no puedo hacer la circunferencia que pasa por todos ellos como en tu ejemplo.

    • Pablo Domingo October 31, 2015 at 12:03 am #

      Hola Elisa. Necesitas un punto auxiliar B no alineado. Encuentra su inverso B’ apoyándote en A y A’. Una vez que tienes B y B’ no alineados conP puedes encontrar su inverso

  7. Elisa Gutierrez October 30, 2015 at 7:32 pm #

    Muchas gracias.

  8. José Alcañiz November 1, 2015 at 1:36 pm #

    Hola Pablo! Tenía una duda de un ejercicio a ver si me la puedes resolver: si te piden la inversa de una recta y te dan solo la potencia y el centro de inversión, y no te dan puntos inversos ¿Cómo se haría?
    Gracias de antemano

    • Pablo Domingo November 1, 2015 at 6:58 pm #

      El radio OT de la circunferencia de puntos dobles es la raiz cuadrada de la potencia de inversión.

  9. Pepe November 20, 2016 at 4:52 pm #

    Hola! Primero decirte que enhorabuena por el post, ya que se ve que hay muvho trabajo y esfuerzo. Hola me gustaría saber como se hace la inversión de una circunferencia cuando no pasa por el centro de inversión y este esta dentro de la circunferencia que se quiere invertir, sabiendo la k. Sería algo así: 01=centro de inversión, 02=centro de circunferencia que se quiere transformar.
    (01 02 )
    Siendo los paréntesis lo que abarca la circunferencia. Gracias.

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Pablo Domingo Montesinos participa en el Programa de Afiliados de Amazon EU, un programa de publicidad para afiliados diseñado para ofrecer a sitios web un modo de obtener comisiones por publicidad, publicitando e incluyendo enlaces a Amazon.es y Amazon.de.

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