Tangencias por Dilatación. Método de simplificación y resolución de ejercicios (3 casos)

Simplificar ejercicios de tangencias nos ayuda a resolverlos.

El método de la dilatación es uno de los más utilizados por:

• su sencillez,
• su efectividad
• y porque es muy versátil, siendo apto para muchos tipos de ejercicios

En este artículo vamos a ver 3 casos de resolución de tangencias aplicando el método de la dilatación.

Seguramente conocías el 3er caso (apartado 4) pero no pensabas que fuera dilatación. En él te explico además un par de descubrimientos que he hecho personalmente sobre tangencias.

1. Cómo funciona la dilatación

El método de dilatación aplicado a tangencias consiste en reducir una circunferencia-dato del ejercicio hasta convertirla en un punto.

Como contrapartida, el resto de datos del ejercicio deben ser dilatados (positiva y/o negativamente) en la misma medida que se ha reducido la primera circunferencia, es decir, en la medida de su radio.

El resultado es que, en lugar de tener que conseguir una tangente a una circunferencia, tenemos que conseguir una tangente a un punto, con lo cual se simplifican enormemente los ejercicios. Una vez completado ese ejercicio simplificado solo hay que dilatar la solución en la misma medida del radio.

Vamos a verlo más claro gráficamente con un ejemplo.

2. [RC] dado T en R

Circunferencias tangentes a Recta y Circunferencia por punto de Tangencia T en la Recta

Supongamos que tenemos como datos por un lado una circunferencia de radio R y centro O, y por otro una recta S con el punto de tangencia T contenido en ella.

Nos piden dibujar las circunferencias tangentes a la recta y a la circunferencia pasando por el punto de tangencia T.

Para aplicar el método de dilatación, lo primero que hay que hacer es reducir la circunferencia en la medida de su radio hasta convertirla en un punto, en concreto en su centro O.

El resultado van a ser 2 soluciones:

• una circunferencia tangente exterior a la dada
• y otra tangente interior a la dada, ambas tangentes a la recta S en el punto T.

Esto requiere dos planteamientos diferentes. Veamos el primero.

2.1. Solución 1: Dilatación

Al aplicar la reducción a la circunferencia tenemos necesariamente que aplicar la misma dilatación al otro dato, en este caso la recta.

Cuando hablamos de dilatación puede ser positiva (dilatación propiamente dicha) o negativa (reducción).

Aplicar la dilatación a la recta implica

1. Dibujar una recta paralela a S, situada a una distancia igual al radio de la circunferencia.
2. Trasladar el punto de tangencia T en la dirección del desplazamiento, en este caso perpendicular a la recta

Una vez aplicada la dilatación a recta, circunferencia y punto de tangencia, el ejercicio queda simplificado a encontrar la circunferencia tangente a la recta dilatada en el punto de tangencia T y que pase por el punto O.

Resolver este ejercicio es sencillo en 2 pasos.

1. Recta perpendicular a S por el punto 1, porque sabemos que ahí estará el centro de la circunferencia tangente.
2. Mediatriz del segmente O-1, porque sabemos que por ambos puntos debe pasar la circunferencia-solución

El punto donde intersecan ambas rectas nos daría el centro O1 de la circunferencia-solución.

Solo faltaría encontrar el punto de tangencia en la circunferencia, que se consigue uniendo O1 con O y dibujar finalmente la circunferencia tangente exterior a la dada que es tangente a la recta en T.

ATENCIÓN: Observa cómo he dibujado una primera circunferencia (línea discontinua), que es la solución parcial en la situación de dilatación. Esa circunferencia es tangente a la recta dilatada en el punto 1 y pasa por el punto O. Cuando reducimos esa circunferencia la medida del radio R, entonces obtenemos la solución final del ejercicio (marcada en rojo), tangente a la recta en T y tangente a la circunferencia en T1.

2.2. Solución 2: Reducción

Para obtener la segunda solución debemos dibujar la recta paralela a S que se encuentra a una distancia R pero en la otra dirección, es decir, más cerca de la circunferencia.

De esta manera el ejercicio queda simplificado a encontrar la circunferencia que es tangente a la recta reducida en el punto de tangencia 2 y que pasa por el punto O.

Y esto es muy sencillo.

Ya tenemos dibujada la perpendicular a S por el punto 2.

Así que solo queda dibujar la mediatriz del segmento O-2 para asegurarnos de que la circunferencia provisional los contiene. La intersección de esta mediatriz con la perpendicular anterior nos da el punto O2, centro de la segunda circunferencia solución.

Solo falta encontrar el punto de tangencia T2 uniendo O con O2 y dibujar la circunferencia. En este caso, como ves, se trata de una tangente interior a la dada.

Y NUEVAMENTE, puedes dibujar la circunferencia-solución provisional (en discontinua) como la que pasa por el punto O y es tangente a la recta reducida en el punto 2. La circunferencia solución final es concéntrica a ella, aplicándole una dilatación de su radio de valor R.

2.3. Conclusión

Como ves, la dilatación nos ha servido para simplificar el problema de tangencias.

De un ejercicio de circunferencias tangentes a recta y circunferencia ha pasado a ser de circunferencias tangentes a recta y punto.

Para ello lo único que hay que hacer es reducir la circunferencia a un punto, aplicar la misma dilatación (positiva y negativa) al otro dato (o los otros datos en caso de que hubiera más), resolver el ejercicio simplificado y por último volver a aplicar la dilatación inversa a la solución.

3. [CC] dado T

Circunferencias tangentes a 2 circunferencias por punto de tangencia en una de ellas

Para este segundo ejemplo de tangencias resuelto mediante dilatación vamos a considerar dos circunferencias de centros O y O’ y un punto T de tangencia en la segunda de ellas. Nos piden dibujar las circunferencias tangentes a las mismas por el punto T.

IMPORTANTE: La circunferencia que reducimos hasta dejarla en un punto debe ser aquella que no contenga el punto de tangencia. En caso contrario, esa información se perdería y no nos permitiría resolver el problema.

Por tanto, en este caso, es la circunferencia de radio mayor (la de centro O) la que reducimos hasta dejarla concentrada en un único punto, su centro.

De nuevo volvemos a tener dos soluciones que parten de dos planteamientos diferentes de dilatación.

3.1. Solución 1. Dilatación

Al reducir la circunferencia de centro O en la medida de su radio, debemos aplicar la misma dilatación al resto de datos, en este caso únicamente a la otra circunferencia, de centro O’.

Aplicamos para esta primera solución una dilatación positiva, sumándole el radio R. El punto de tangencia en esta ocasión se desplaza de manera radial hasta su posición 1 final en la circunferencia dilatada.

De esta manera queda simplificado el ejercicio a circunferencia tangente por el punto 1 a la circunferencia de centro O’ dilatada, pasando por el punto O.

Esto se resuelve con dos sencillos procedimientos:

1. Mediatriz del segmento O-1, para asegurarnos de que la circunferencia-solución provisional pasa por esos puntos O y 1.
2. Recta que une O’ con 1. Sabemos que en esa recta se encuentra el centro de la circunferencia que será tangente a la de centro O’ en 1.

La intersección de estas dos rectas nos determina el punto O1, centro de la primera circunferencia-solución.

Desde ese centro O1 podemos dibujar la circunferencia-solución parcial (línea discontinua) que es tangente en 1 a la de centro O’ dilatada y pasa por el punto O. Asimismo, podemos aplicarle el proceso inverso (dilatación negativa o reducción) en la misma medida R para conseguir finalmente la circunferencia-solución que es tangente en T a la de centro O’ y en T1 a la de centro O

3.2. Solución 2. Reducción

Atención a este apartado, porque estamos aplicando una reducción a la circunferencia de radio menor. Por tanto esa diferencia de radios va a ser un poco singular.

En este segundo planteamiento reducimos la circunferencia de centro O a un punto y también reducimos la circunferencia de centro O’ en la medida del radio R de la primera circunferencia.

Puesto que el radio R de la circunferencia de centro O es mayor que el radio de la circunferencia de centro O’, la recta que nos permite restar los radios se pasa del centro O’, pero eso no es inconveniente. Simplemente coloca el radio R  hacia dentro de la circunferencia y dibuja la concéntrica donde salga.

La traslación del punto 2 nuevamente vuelve a ser radial (desde el centro O’), pero debes tener en cuenta una cosa: el nuevo punto de tangencia 2 debe distar la medida R del punto de tangencia original T.

Evita confundirte en este paso, porque es muy habitual (a mí me ha pasado en alguna ocasión)

Con este nuevo planteamiento, volvemos a tener el ejercicio muy simplificado y se resuelve igualmente de manera sencilla con la mediatriz del segmento O-2.

Desde el punto O2 podemos trazar tanto la circunferencia solución tangente exterior a la de centro O’ como la provisional de línea discontinua que es tangente a la dilatada en 2.

El punto de tangencia T2 se encuentra en la recta que une O con O2.

4. [CC] Rectas tangentes a 2 circunferencias

Este es un ejercicio muy conocido y está explicado por todos sitios.

Yo mismo lo incluí en este artículo de tangencias.

Personalmente aprendí a resolverlo cuando tenía 15 años (de eso hace ya mucho tiempo), lo memoricé bien y siempre he aplicado el mismo método.

Pero…

Durante los últimos 3 meses he estado trabajando intensamente en este curso de tangencias y hubo un día en que algunas piezas encajaron en mi cabeza y entendí por qué se resolvía de esa manera.

Se trata de un proceso de simplificación mediante dilatación.

No era necesario memorizar pasos de manera automática: era suficiente con utilizar la razón. Pero nadie me lo había explicado nunca y yo nunca tuve más inquietud por encontrar su origen.

Vamos a ver cómo se resuelve.

4.1. Rectas tangentes INTERIORES (dilatación)

Para encontrar las rectas tangentes interiores aplicaremos

• Una reducción de la circunferencia de menor radio hasta convertirla en un punto
• Una dilatación a la circunferencia mayor de medida igual al radio de la menor

De esta manera, el ejercicio queda simplificado a encontrar las rectas tangentes a la circunferencia dilatada de centro O’ desde el punto O exterior a ella.

Este ejercicio se resuelve fácilmente mediante arco capaz de 90º del segmento O-O’.

Puesto que la recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia, esas dos rectas (la tangente y el radio) forman un ángulo que se ve desde O y O’ como de 90º.

Esto fue igualmente para mí un descubrimiento más en estos 3 últimos meses de trabajo intenso, porque tampoco sabía cuál era el razonamiento de trazar la circunferencia de diámetro O-O’.

En la intersección del arco capaz de 90º con la circunferencia dilatada encontramos las soluciones provisionales, con los puntos de tangencia t1 y t2.

Observa cómo la recta tangente y el radio forman 90º. Por eso se utiliza el arco capaz.

Una vez que tenemos esas soluciones provisionales (en línea discontinua) ya podemos deshacer la dilatación aplicando el proceso inverso: tenemos que reducir (o dilatar negativamente) las rectas tangentes provisionales en la misma medida R que aplicamos anteriormente. Es decir, hay que dibujar las rectas paralelas a una distancia R.

Por su parte, los puntos de tangencia de la solución provisional t1 y t2 se trasladan de manera radial (con centro en O’) hasta su posición final T1 y T2 en la circunferencia original.

Para encontrar los puntos de tangencia T3 y T4 en la circunferencia de centro O basta con dibujar los radios perpendiculares a las rectas tangentes (o a las provisionales). Y puesto que la recta es la misma, los radios perpendiculares de la circunferencia de centro O’ van a ser paralelos a los de la circunferencia de centro O.

Me explico:

El punto T3 viene de dibujar un radio perpendicular a la recta t2-O, la cual es, a su vez, perpendicular a t2-O’. Por tanto, solo tienes que dibujar radios paralelos desde O’ a los obtenidos anteriormente (O-T1 y O-T2)

Y con eso quedaría el ejercicio completado

Vamos con el segundo planteamiento.

4.2. Rectas tangentes EXTERIORES (reducción)

El proceso para resolver las rectas tangentes exteriores a dos circunferencias dadas es igual que el anterior, con la diferencia de que en lugar de aplicar una dilatación positiva a la circunferencia de centro O’, tendremos que aplicarle una dilatación negativa o reducción.

Por lo demás, es todo igual.

Reducimos ambas circunferencias por tanto en la medida del radio R de la menor.

De esta manera, la circunferencia de centro O se queda reducida a un punto (su centro) y la circunferencia de centro O’ queda sencillamente reducida en la medida de R.

Ahora el ejercicio se ha quedado simplificado a encontrar las rectas tangentes a la circunferencia de centro O’ reducida desde un punto O exterior a ella.

Volvemos a aplicar la solución del caso anterior, utilizando el arco capaz de 90º, que nos permite encontrar los puntos t1 y t2 de la circunferencia reducida, desde los cuales  se ve el segmento O-O’ con un ángulo recto.

De esta manera se pueden dibujar las rectas de la solución provisional (línea discontinua).

Ahora ya solo queda deshacer la reducción, aplicando en este caso una dilatación a las rectas de la solución provisional de medida R.

Al igual que antes, los puntos de tangencia T3 y T4 en la circunferencia de centro O se encuentran en los radios perpendiculares a las rectas de tangencia, los cuales son paralelos a los radios O’-T1 y O’-T2 respectivamente.

Y de esta manera hemos conseguido resolver el problema de rectas tangentes exteriores comunes a dos circunferencias dadas aplicando la dilatación.

4.3. Conclusión

Gracias a la dilatación hemos conseguido que un ejercicio de rectas tangentes comunes a dos circunferencias haya quedado simplificado a rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.

Y lo que es mejor, a mí me ha permitido razonar aquel conjunto de pasos que memoricé sin conexión ni coherencia hace 20 años.

Quizá a ti te pueda parecer una tontería, pero yo pienso que cuando las cosas se aprenden de manera razonada, es más fácil retenerlas y sobre todo transmitirlas.

5. Otros casos de Dilatación aplicada a Tangencias

Como has visto, la dilatación nos has permitido simplificar y resolver estos tres ejercicios de tangencias.

Aparte de estos tres, existen muchos más casos de tangencias que se pueden resolver o simplificar mediante este método.

• [RRC] Circunferencias tangentes a 2 rectas y 1 circunferencia
• [CCR] Circunferencias tangentes a 2 circunferencias y 1 recta
• [CCP] Circunferencias tangentes a 2 circunferencias de igual radio y 1 punto
• [CCC] Circunferencias tangentes a 3 circunferencias

Y por supuesto existen otros métodos de resolución de tangencias aparte de la dilatación:

• Inversión
• Lugares geométricos
• Potencia

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