Perpendicularidad en Diédrico Directo entre rectas y planos

La perpendicularidad (también llamada ortogonalidad) en Diédrico Directo es tanto o más sencilla que el paralelismo que vimos en el artículo anterior de esta serie.

Como debes saber, dos elementos (rectas o planos) son perpendiculares entre sí cuando forman un ángulo de 90º.

Hay una primera regla que nos va a resolver todos los problemas de perpendicularidad en diédrico directo. Empezaremos con ella para luego extenderla al resto de casos.

Si siempre tuviste dudas con este tema, aquí van a quedar resueltas.

1. La regla clave de la perpendicularidad

Esta es la regla que nos va a resolver cualquier problema de perpendicularidad en diédrico directo.

Cuando una recta es paralela a un plano de proyección, la perpendicularidad entre rectas se ve directamente en la proyección sobre ese plano

Esto quiere decir que, si tenemos dos rectas que son perpendiculares entre sí, por lo general sus proyecciones no son perpendiculares, sino que forman un ángulo cualquiera.

Solo podemos ver la perpendicularidad entre rectas directamente cuando una de las rectas es paralela a uno de los planos de proyección.

Y este es el caso de las rectas horizontales y frontales.

Por tanto:

• Cuando una recta es horizontal, la perpendicularidad entre rectas se ve en la proyección horizontal
• Cuando una recta es frontal, la perpendicularidad entre rectas se ve en proyección vertical

Por tanto, si tenemos dos rectas y ninguna de ellas es paralela a los planos de proyección, entonces no podemos saber si las forman entre sí un ángulo de 90º.

Veámoslo en un esquema tridimensional para dejarlo aún más claro. Es el caso de la recta horizontal H.

Y como verás a continuación, solo con esta regla podemos resolver todos los ejercicios de perpendicularidad.

2. Las 4 afirmaciones sobre perpendicularidad (que debes memorizar)

La perpendicularidad funciona según las siguientes 4 afirmaciones entre rectas y planos.

1. Recta – Plano: Una recta es perpendicular a un plano cuando lo es a dos rectas contenidas en el plano (la horizontal y la frontal, por facilidad)
2. Plano – Recta: Un plano es perpendicular a una recta cuando contiene dos rectas perpendiculares a ella
3. Plano – Plano: Un plano es perpendicular a otro cuando contiene una recta perpendicular a ese otro plano
4. Recta – Recta: Una recta es perpendicular a otra cuando se puede contener en un plano perpendicular a ella. Según hemos visto antes, en el caso de que una de las rectas sea paralela a uno de los planos de proyección, las rectas son perpendiculares si sus proyecciones sobre ese plano son perpendiculares

Esas 4 afirmaciones se basan en la regla que hemos visto antes y a continuación va a quedar explicado de manera detallada.

3. Recta perpendicular a plano

Una recta es perpendicular a un plano cuando lo es a dos rectas contenidas en el plano (la horizontal y la frontal, por facilidad)

Solo tienes que imaginarte en el espacio la afirmación anterior y que puedes ver gráficamente en el esquema siguiente (parte derecha). Cuando tienes una recta que es perpendicular a 2 rectas diferentes de un plano, entonces esa recta es perpendicular al plano.

Y puesto que la perpendicularidad se ve directamente en el caso de las rectas horizontales y frontales, siempre buscaremos conocer esas rectas del plano.

Así que dado un plano definido por sus rectas horizontal H (h’-h) y frontal F (f’-f), una recta R (r’-r) es perpendicular a dicho plano cuando r’ es perpendicular a f’ y h es perpendicular a f.

Si nos viene el plano definido de cualquier otra manera (polígono, recta y punto, dos rectas cualesquiera que se cortan…) tendremos que obtener sus rectas horizontal y frontal para poder dibujar una recta perpendicular.

Es tan sencillo como eso.

Las únicas excepciones que pueden haber son:

• Planos horizontales. La perpendicular es una recta vertical.
• Planos frontales. La perpendicular es una recta de punta.
• Planos paralelos a la línea de tierra. La recta perpendicular es de perfil y habría que ver su inclinación en una vista auxiliar de perfil.

Aun así, en los dos primeros casos se trata exclusivamente de rectas paralelas a los planos de proyección y por tanto se cumple la regla.

La única excepción realmente singular es la tercera, porque las rectas horizontales y frontales coinciden en ese tipo de planos y por tanto necesitamos más información para poder definir la recta perpendicular; esta información la encontramos en la vista de perfil.

4. Plano perpendicular a recta

Un plano es perpendicular a una recta cuando contiene dos rectas perpendiculares a ella

Tanto el esquema como la manera de encontrar un plano perpendicular a una recta básicamente funciona lo mismo que en el caso anterior de dibujar una recta perpendicular a un plano.

Si nos dan una recta R y tenemos que dibujar un plano perpendicular a ella por un punto A, solo tendremos que preocuparnos de dibujar ese plano definido por una recta horizontal y una frontal que pasen por A, tales que sean perpendiculares a la recta R dada.

Las excepciones son las mismas que antes:

• Recta de punta: el plano perpendicular es frontal
• Recta vertical: el plano perpendicular es horizontal
• Recta de perfil: el plano perpendicular es paralelo a la línea de tierra

Las razones y las maneras de resolverlos son también las mismas que han quedado explicadas en el apartado anterior.

5. Plano perpendicular a plano

Un plano es perpendicular a otro cuando contiene una recta perpendicular a ese otro plano

Según la afirmación anterior, solo tenemos que asegurarnos de que uno de los planos tenga una recta perpendicular al otro y con eso ya sabemos que son perpendiculares entre sí.

De hecho, fíjate en el siguiente esquema en 3D. Observa que basta con que haya una recta R perpendicular al plano para que todos los demás planos que puedan contener a esa recta R sean perpendiculares al plano original.

Por tanto, dado un plano definido por sus rectas horizontal H (h’-h) y frontal F (f’-f), si tenemos que dibujar un plano perpendicular por el punto A (a’-a) solo tendremos que dibujar una recta R por el punto A que sea perpendicular a H y F.

Y a partir de ahí puedes dibujar cualquier otra recta S por el punto A porque con lo anterior ya tenemos asegurado que los planos son perpendiculares. Como ves, este ejercicio tiene infinita soluciones.

También podríamos haber dibujado una recta R perpendicular a H y F por cualquier punto y esa recta R junto con el punto A formarían un plano perpendicular al dado que pasa por A.

En todo caso, fíjate en lo importante que es el hecho de tener claro en mente qué es lo que vas a hacer. Si tú tienes el esquema espacial claro en la cabeza de lo que hacer, realmente es sencillo hacerlo y saber en qué punto del proceso te encuentras. Si no, es todo un jaleo de líneas con poco sentido.

Puesto que en el ejercicio anterior había infinitas soluciones, nos pueden poner otro tipo de ejercicio con una nueva restricción.

5.1. Ejercicio de perpendicularidad entre planos

Dada una recta S y un plano definido por dos rectas F y R, se pide dibujar otro plano que contenga a la recta S y sea perpendicular al plano dado.

• En este caso nosotros sabemos que tenemos que dibujar una recta que sea perpendicular al plano y con eso es suficiente para que el nuevo plano sea perpendicular al plano formado por F-R.
• Para eso debemos conocer las rectas horizontal y frontal del plano dado; por el momento solo tenemos la frontal, así que necesitaremos la frontal.
• Y por último, para asegurarnos de que el plano contiene a S, esta debe ser una de las rectas que formen el plano, junto a T. Por eso, tendremos que escoger un punto A de la recta S por el que pasar la recta T.

Por tanto, para ponerlo de manera resumida y ordenada habría que seguir estos pasos:

1. Escoger un punto A de la recta S por el que pasará la recta T que definirá el plano junto con S
2. Encontrar la recta horizontal H del plano R-F. Para ello basta con dibujar una proyección vertical h’ que sea perpendicular a las líneas de referencia y encontrar las proyecciones horizontales de los puntos 1 y 2, que son los puntos de corte de h’ con f’ y r’.
3. Dibujar la recta T perpendicular a H y F por el punto A. Como sabemos, t’ debe ser perpendicular a f’ y t debe ser perpendicular a h.

De esta manera comprobamos que este ejercicio tiene una única solución, porque se ha determinado la condición de pertenencia de la recta S además de la perpendicularidad a un plano.

6. Plano perpendicular a 2 planos

Cuando tenemos 2 planos cualesquiera siempre podemos dibujar un plano perpendicular a ellos.

Si te cuesta visualizarlo en 3 dimensiones te propongo que te imagines que la intersección de dos planos es una recta y que el plano que nosotros encontremos será perpendicular a esa recta de intersección.

Así que, siempre que dos planos se corten, existirá un plano perpendicular a ellos.

6.1. Método 1

Siempre hay diferentes maneras de resolver el mismo problema.

Si a nosotros nos dan 2 planos definidos por dos de sus rectas H1-F1 y H2-F2 y tenemos que dibujar un tercer plano perpendicular a ellos por un punto A, un método sencillo para resolverlo sería el siguiente:

1. Dibujar por A una recta R perpendicular al primer plano
2. Dibujar por A una recta S perpendicular al segundo plano

Y ya está.

Con eso tenemos dos rectas que se cortan en un punto (por tanto definen un plano) y son perpendiculares a los planos dados.

Este método es muy sencillo de aplicar cuando conocemos las rectas horizontales y frontales de los planos dados. Si no las conocemos, ya sabes que es muy fácil encontrarlas, pero es un poco más laborioso.

6.2. Método 2

En el método anterior hemos dibujado 2 rectas, cada una perpendicular a uno de los planos dados.

Existe un segundo método algo más complicado de ejecución, aunque también sencillo a nivel teórico, que sería:

1. Encontrar la recta de intersección i’-i de los 2 planos entre sí
2. Dibujar el plano perpendicular a dicha recta de intersección. Solo tendríamos que dibujar la horizontal y frontal que fueran perpendiculares a la recta de intersección

Recuerda del artículo de intersección entre planos que el proceso es el siguiente:

1. Encontrar el punto de intersección 1-1′ de la recta F2 con el plano H1-F1. Para ello había que meter la recta F2 en un plano proyectante vertical y encontrar la intersección de ese plano proyectante con H1 y con F1. La recta que une esos dos puntos de corte, interseca con F2 en el punto 1-1′
2. Encontrar el punto de intersección 2-2′ de la recta H1 con el plano H2-F2. Para ello realizamos un proceso similar al explicado justo antes
3. La recta que une los puntos 1-1′ y 2-2′ es la intersección i’-i de los planos originales
4. Dibujar por A una recta horizontal H3 y una frontal F3, ambas perpendiculares a la recta i’-i. Estas dos rectas forman el plano que buscábamos, perpendicular a los dos dados.

Como ves, es más laborioso y tiene más líneas.

Cuantas más líneas tenga, más posibilidad de cometer errores e imprecisiones, así que por lo general recomiendo que se utilice el primer método.

Aun así, no quería dejar de presentarlo porque, como ves, una vez que entiendes el problema a nivel espacial siempre puedes encontrar diversas formas de resolverlo.

7. Recta perpendicular a recta

Una recta es perpendicular a otra cuando se puede contener en un plano perpendicular a ella

Lógicamente tenemos la excepción que mencionamos al principio del artículo, con las rectas paralelas a los planos de proyección (rectas horizontales y frontales).

Pero de manera genérica, si queremos dibujar una recta oblicua S perpendicular a otra recta oblicua R cualquiera, tendremos que ser capaces de contenerla en un plano perpendicular.

¿Y cuál es la manera más fácil?

Pues dibujando un plano que sea perpendicular a la recta dada y esté definido por su recta horizontal H y frontal F.

Vamos a verlo gráficamente.

Simplemente tenemos que escoger un punto A cualquier y por él pasar una recta horizontal y una recta frontal que sean perpendiculares a la recta R dada. Y teniendo ya ese plano formado por H y F, podemos dibujar cualquier recta S contenido en él, sabiendo que esa recta será perpendicular.

Para que la recta esté contenida en el plano, tiene que tener dos puntos contenidos en el plano. Simplemente hay que trazar una proyección vertical (aunque también valdría la horizontal) y encontrar las proyecciones de los puntos de corte 1 y 2 con las rectas H y F.

Si no lo recuerdas siempre puedes mirar el artículo de planos en diédrico directo.

8. Perpendicularidad en la vida real

La ortogonalidad o perpendicularidad es algo muy cotidiano en el día a día del ser humano.

Por un lado, nos viene bien tener las cosas con un orden cuadriculado, porque eso nos da un orden mental. Pero además, la propia naturaleza incluye muchas verticales, que vienen a ser rectas perpendiculares al suelo. Y es que la vertical es la dirección que tiene la gravedad, esa fuerza de atracción de la Tierra.

Por eso los objetos caen en dirección vertical, en perpendicular al suelo; la lluvia también cae en vertical (cuando no hace viento); los árboles crece tienden a crecer en vertical; y por eso también los muebles y los edificios aprovechan la verticalidad para luchar contra la gravedad.

Como sabes, soy arquitecto y disfruto de la arquitectura.

Por eso te traigo hoy un par de edificios de un arquitecto español que utiliza mucho las líneas rectas y la ortogonalidad en sus proyectos. Se trata de Alberto Campo Baeza y cuando ves sus edificios, por lo general son muy ordenados.

Es el caso del edificio para la Caja de Granada, construido en hormigón armado.

O un edificio de tamaño mucho menor; es la casa Cala situada en Madrid.

Como ves, en ambos edificios domina la fuerte presencia del cubo.

Y ese carácter de perpendicularidad se ve en las líneas que definen los patios, las ventanas y en el conjunto de ambos proyectos.

Espero que te haya parecido útil el artículo.

En realidad la perpendicularidad es un tema muy sencillo y simplemente teniendo claras las reglas que expuse al principio entre rectas y planos, con eso es suficiente para resolver cualquier problema de perpendicularidad.

Al final, lo único importante es empezar a desarrollar la visión espacial, que vayas imaginándote los problemas en 3 dimensiones y que consigas visualizar el camino hacia el resultado.

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