El Plano en Diédrico Directo: pertenencia, representación, rectas notables y posiciones

En artículos anteriores ya hemos visto el punto en Diédrico Directo y la recta con sus diferentes posiciones.

Ahora vamos a ver el plano con todo detalle.

1. Definición

Por plano se entiende una superficie plana, lisa. Es decir, una superficie de 2 dimensiones, que tiene el mismo nivel en todas sus partes.

Un plano puede venir definido de alguna de las siguientes 6 maneras:

  • Mediante 3 puntos no alineados. Si estuvieran alineados sería una recta
  • Mediante 2 rectas que se cortan
  • Mediante 1 recta y 1 punto no contenido en ella. Si estuviera contenido el punto en la recta, entonces sería una recta
  • Mediante 2 rectas paralelas

Diedrico directo - planos - formas de definir un plano

Lo curioso útil de esto es que con cualquiera de estas 4 combinatorias de elementos se puede definir de manera unívoca un plano.

Es decir, dada cualquiera de estas combinatorias existe un único plano posible que sea capaz de contener los elementos de esa combinatoria simultáneamente.

Observa por otro lado que los 3 primeros casos son muy parecidos, prácticamente se genera la misma situación. Por ejemplo si en el primer caso, el de los 3 puntos, unes dos de ellos y obtienes una recta, unes otros dos puntos (uno de ellos se repite) y obtienes una segunda recta; por tanto, al final obtienes 2 rectas que se cortan en un punto, que es el secundo caso.

Y con el tercer caso ocurre lo mismo, porque básicamente reproduce la situación que he descrito en el primer paso del párrafo anterior.

2. Pertenencia

Veamos los dos casos de pertenencia.

2.1. Pertenencia recta – plano

Una recta pertenece a un plano cuando todos sus puntos están contenidos en el plano. Para saberlo basta con comprobar si dos de sus puntos están contenidos en el plano

Vamos a verlo con un ejemplo para cada manera de definir un plano.

EJERCICIO 1

Supongamos que nos dan un plano definido por 2 rectas que se cortan R y S y nos piden dibujar una recta cualquiera T contenida en ese plano.

Recta en plano definido por dos rectas que se cortan - DIEDRICO DIRECTO

Simplemente tendrías que seguir los siguientes pasos:

  1. Dibujar la proyección horizontal t de manera aleatoria para que corte a las proyecciones horizontales r y s en los puntos 1 y 2 respectivamente.
  2. Encontrar la proyección vertical 1′ sobre la proyección vertical r’
  3. Encontrar la proyección vertical 2′ sobre la proyección vertical s’
  4. Al unir 1′ con 2′ obtenemos la proyección vertical t’ de la recta T

De esta manera sabemos que la recta T está contenida en el plano definido por R y S ya que sus puntos 1 y 2 están contenidos en R y S respectivamente y, por tanto, en el plano.

El método descrito también serviría si comenzamos dibujando la proyección vertical, eso no afecta al resultado.

EJERCICIO 2

Vamos a aplicarlo ahora a un plano definido por 3 puntos A, B y C.

Este ejercicio se resuelve solo en 2 pasos:

  1. Haz pasar 2 rectas R y S por los 3 puntos A, B y C.
  2. Ya puedes resolver el ejercicio como en el caso anterior, como un plano definido por 2 rectas que se cortan.

Eso sí, debes tener cuidado al dibujar las rectas R y S: debes ser metódico para no equivocarte de puntos y nombres de rectas.

recta en plano definido por 3 puntos - diedrico directo

Yo por ejemplo he hecho pasar la recta S por los puntos A y B y para ello:

  • He dibujado la proyección vertical s’ pasando por a’ y b’
  • He dibujado la proyección horizontal s pasando por las proyecciones horizontales a y b

Y seguidamente he hecho pasar la recta R por los puntos A y C. Para ello he tenido en cuenta igualmente las proyecciones verticales (r’ pasa por a’ y c’) y las proyecciones horizontales (r pasa por a y c)

Lo explico de esta manera tan pormenorizada porque es muy fácil confundirse al escoger los puntos o al nombrar las rectas. Así que ve con cuidado y pon mucha atención.

Una vez que tienes las rectas R y S, fíjate que se cortan en el punto A y ya tienes el ejercicio como en el caso anterior de rectas que se cortan.

Yo en este caso he dibujado primero la proyección vertical t’ para obtener 1′ y 2′ y de ahí obtener sus proyecciones horizontales 1 y 2.

EJERCICIO 3

Hacemos ahora el caso de recta contenida en un plano definido por 1 recta R y 1 punto A no contenido en ella.

De la misma manera que en el caso anterior, vamos a reducir el problema a un plano definido por 2 rectas que se cortan. Para ello:

  1. Selecciona un punto B cualquiera de la recta R
  2. Haz pasar por los puntos A y B una recta S

Ya puedes resolver el ejercicio como antes, como un plano definido por dos rectas que se cortan, en este caso en el punto B.

Recta en plano definido por recta punto

EJERCICIO 4

Vamos a hacer un último ejercicio de pertenencia recta – plano con un plano definido por 2 rectas paralelas R y S.

Este es aún más sencillo que los anteriores.

  1. Dibuja una proyección vertical t’ cualquiera, que corte a r’ y s’ en 2′ y 1′ respectivamente
  2. Obtén las proyecciones horizontales de 1 y 2 en su correspondiente recta cada uno
  3. Une las proyecciones horizontales de 1 y 2 para obtener la proyección horizontal t.

Recta en plano definido por 2 rectas paralelas

Como ves, no importa la manera en que definamos un plano, siempre que se adecue a alguna de las 4 antes mencionadas.

Una vez que está definido un plano, siempre podemos dibujar una recta cualquiera contenida en él.

2.2. Pertenencia punto – plano

Un punto pertenece a un plano cuando está contenido en una recta del plano

Esto ya es muy sencillo, porque si hemos conseguido dibujar una recta cualquiera en un plano, siempre podremos dibujar un punto contenido en una recta.

EJERCICIO 5

Vamos a suponer que tenemos un plano definido por dos rectas que se cortan R y S.

En lugar de intentar contener un punto cualquiera, vamos a considerar que nos dan la proyección vertical de un punto a’ y nos piden que encontremos su proyección horizontal de tal manera que el punto esté contenido en el plano.

Punto perteneciente a un plano definido por dos rectas

Sabemos que un punto está contenido en un plano cuando pertenece a una recta del plano.

Puesto que a’ no está contenido en las rectas R o S, debemos hacer utilizar una recta auxiliar que esté contenida en el plano y contenga al punto A.

Para ello:

  1. Dibuja una proyección vertical t’ cualquiera, con la condición de que pase por a’ y corte a r’ y s’ en 1′ y 2′
  2. Obtén la proyección horizontal de t apoyándote en los puntos 1 y 2
  3. Dibuja desde a’ una línea de referencia en vertical para encontrar su proyección horizontal en t

Es fácil, ¿no?

Una vez que entiendes cómo funciona la pertenencia de la recta en el plano, es sencillo resolver este tipo de ejercicios.

3. Representación habitual

Las 4 maneras que hemos descrito para definir un plano son totalmente válidas y funcionales, pero tienen el inconveniente de que son poco intuitivas, es decir, cuesta trabajo imaginarse el plano en el espacio solo viendo 3 puntos.

Puesto que un plano es infinito y no lo podemos delimitar, una manera habitual de representarlo es utilizando un polígono contenido en él.

El polígono más sencillo es el triángulo, aunque también se puede utilizar un cuadrilátero o cualquier otro polígono.

definicion de plano por poligonos - DIEDRICO DIRECTO - 10 en dibujo

Como ves, en realidad es lo mismo, porque definir un plano mediante un triángulo es igual que definirlo mediante 3 puntos. O el caso que he presentado de cuadrilátero es como definir un plano mediante rectas paralelas R y S por ejemplo.

Visto de esta manera es un poco más sencillo e intuitivo imaginarse el plano.

Por eso se utiliza habitualmente esta representación.

Normalmente cuando se dibuja en papel no se suele utilizar ningún relleno de color, pero en el caso de publicaciones sí que puede resultar útil para que se vea mejor el plano.

4. Rectas notables del plano

De la misma manera que vimos en diédrico clásico, existen 4 rectas notables en un plano. Son rectas singulares que nos ofrecen ciertas ventajas e información concreta.

4.1. Recta Horizontal de plano

La recta horizontal de plano es una recta paralela al plano horizontal de proyección.

Tiene cota constante.

  • Su proyección vertical es perpendicular a las líneas de referencia.
  • Se puede medir en su proyección horizontal en verdadera magnitud, como en todas las rectas horizontales

Recta horizontal de plano facil

Para dibujarla en un plano, supongamos uno definido por el triángulo ABC dado.

  1. Tendrías que dibujar la proyección vertical r’, perpendicular a las líneas de referencia (es decir, horizontal) y lo más fácil es que lo hagas por uno de los vértices, en este caso por c’ porque eso te facilitará la tarea
  2. Debes encontrar las proyecciones 1 del punto 1′ donde r’ corta al lado opuesto del triángulo.
  3. Finalmente debes unir 1 con c para obtener la proyección horizontal r de la recta horizontal del plano

4.2. Recta Frontal de plano

La recta frontal de plano se caracteriza por ser paralela al plano de proyección vertical.

Su alejamiento es constante

  • Su proyección horizontal es perpendicular a las líneas de referencia.
  • Su proyección vertical está en verdadera magnitud, como en todas las rectas frontales

Recta frontal de plano facil diedrico directo

Para representarla solo tienes que seguir el proceso explicado en la recta horizontal de plano, teniendo en cuenta que en este caso es la proyección horizontal la que forma un ángulo de 90º con las líneas de referencia.

4.3. Recta de Máxima Pendiente

La recta de máxima pendiente de un plano es perpendicular a la horizontal de plano.

Es fácil dibujarla porque las proyecciones horizontales de ambas (de la horizontal y la de máxima pendiente) son perpendiculares entre sí.

Así que:

  1. Dibuja la recta horizontal de plano H=(h’, h)
  2. Dibuja proyección horizontal r de la recta de máxima pendiente en perpendicular a la proyección horizontal de h.
  3. Mediante los puntos de corte 2 y 3, obtén la proyección vertical r’

Recta maxima pendiente - inclinacion

La recta de máxima pendiente de un plano representa la dirección que llevaría el agua o cualquier objeto que cayese por la superficie del plano.

4.4. Recta de Máxima Inclinación

La recta de máxima inclinación de un plano es perpendicular a la frontal de plano.

También se puede dibujar fácilmente sabiendo que sus proyecciones verticales (de la frontal y de máxima inclinación) son perpendiculares entre sí (ver gráfico anterior).

5. Verdadera Magnitud en planos

Al igual que ocurría en las rectas, en un plano solo podemos medir en verdadera magnitud cuando es paralelo al plano sobre el que se está proyectando.

Lo veremos a continuación en los diferentes casos.

6. Posiciones de los planos

Un plano es sencillamente un plano, es decir, una superficie plana.

Por tanto, todos los planos son iguales. Y además son infinitos.

Lo que cambia es su posición con respecto a los planos de proyección y eso es lo que vamos a ver en este apartado.

6.1. Plano Horizontal

Como su nombre indica es un plano paralelo al plano de proyección horizontal. Su cota se mantiene constante en toda su superficie, es decir, la coordenada Z de todos sus puntos es igual

  • Las proyecciones verticales de todos sus puntos están alineadas y forman una recta horizontal (perpendicular a las líneas de referencia)
  • En la proyección horizontal de un plano horizontal podemos medir distancias y ángulos en verdadera magnitud

plano horizontal diedrico directo

6.2. Plano Frontal

El plano frontal es un plano paralelo al plano vertical de proyección. Su alejamiento es constante (coordenada Y constante en todos sus puntos)

  • Las proyecciones horizontales de todos sus puntos están alineadas y forman una recta perpendicular a las líneas de referencia.
  • En la proyección vertical de un plano frontal podemos medir distancias y ángulos en verdadera magnitud

plano frontal _ DIEDRICO DIRECTO

6.3. Plano de Perfil

El plano de perfil es un plano perpendicular a ambos planos de proyección. En este caso, la coordenada X de todos sus puntos es constante.

  • Tanto las proyecciones horizontales como las verticales de todos sus puntos están alineadas y forman una recta paralela a las líneas de referencia (verticales).
  • Tiene la particularidad de que se puede ver la verdadera magnitud de distancias y ángulos si lo observamos mediante una vista de perfil.

plano de perfil DIEDRICO DIRECTO

Para ver el plano como de perfil, tienes que dibujar una recta horizontal que te servirá de referencia y marcar el punto O donde esa recta corta al plano de perfil, que será centro de los arcos de circunferencia para cambiar la vista.

Explico el proceso para encontrar la vista de perfil del vértice C:

  1. Dibuja un arco de circunferencia con centro en O y radio hasta la proyección horizontal c hasta que corte con la horizontal desde O.
  2. Desde ese punto dibuja una vertical
  3. Desde la proyección vertical c’ dibuja una horizontal hasta que corte a la recta anterior en la tercera proyección c”

Y así puedes repetir el proceso para los demás puntos del plano.

A continuación lo puedes ver gráficamente.

plano de perfil DIEDRICO DIRECTO - cambio de plano

Observa en el esquema tridimensional cómo tenemos que hacer un giro del plano de perfil para situarlo en paralelo al plano del cuadro (el plano donde dibujamos, que es el plano de proyección vertical).

Al hacer ese cambio de plano y ver la tercera proyección de un Plano de Perfil, estamos consiguiendo ver su verdadera magnitud, lo cual es muy útil para medir ángulos y distancias.

6.4. Plano Proyectante Vertical

Los planos proyectantes son planos de canto, es decir, forman un ángulo de 90º (perpendicular) con alguno de los planos de proyección. Son útiles porque una de sus proyecciones es siempre una recta.

El plano proyectante vertical es perpendicular al plano de proyección vertical.

plano proyectante vertical diedrico directo

Las proyecciones verticales de sus puntos coinciden todos en una recta con una dirección aleatoria.

6.5. Plano Proyectante Horizontal

El plano proyectante horizontal es perpendicular al plano de proyección horizontal. Se trata de un plano vertical que forma un ángulo cualquiera con el plano de proyección vertical.

plano proyectante horizontal - diedrico directo

Las proyecciones horizontales de sus puntos coinciden todos en una recta con una dirección aleatoria.

6.6. Plano Proyectante de Perfil

El plano proyectante de perfil es un plano perpendicular al plano de perfil. Se trata de un plano paralelo a la línea de tierra (la recta de intersección entre el plano de proyección horizontal y el vertical)

plano proyectante de perfil en diedrico directo

No es tan fácil de reconocer a simple vista como los anteriores, porque ninguna de sus proyecciones se presenta como una recta, pero sí tiene un par de singularidades:

  • Sus rectas horizontales son también sus rectas frontales, dado que ambas proyecciones son paralelas entre sí (perpendiculares a las líneas de referencia)
  • Las rectas de máxima pendiente son rectas de perfil

Para trabajar con la tercera proyección tenemos que hacerlo como en ocasiones anteriores, como en el plano de perfil o la recta de perfil.

Debemos dibujar un plano de perfil que nos sirve de auxiliar y una recta horizontal situada entre las proyecciones horizontal y vertical. Marcamos el punto de corte como centro O de los arcos de circunferencia.

Y como puedes observar en el dibujo anterior:

  1. La proyección horizontal a se desplaza en horizontal hasta el plano de perfil
  2. Desde ahí se traza un arco de circunferencia hasta la recta horizontal
  3. Y desde ahí sube en perpendicular
  4. La proyección vertical a’ se desplaza también en horizontal hasta cruzarse con la anterior en la tercera proyección del punto a”

6.7. Plano Oblicuo

El plano oblicuo es el más genérico que hay: forma un ángulo cualquiera con cada uno de los planos de proyección.

plano oblicuo en diedrico directo

Se trata sencillamente de cualquier plano que no sea paralelo ni perpendicular a los planos de proyección horizontal, vertical o de perfil. Es decir, cualquier plano que no encaje en ninguna de las 6 categorías antes mencionadas es un plano oblicuo.

7. Resumen de posiciones de planos

A continuación te dejo una imagen en la que se resumen los diferentes tipos de planos en diédrico directo.

tipos de planos en diedrico directo

8. Diferencias y similitudes con el Diédrico Clásico

Posiblemente una de las mayores diferencias entre el Diédrico Clásico y el Diédrico Directo (o Moderno) se encuentra en el trabajo con planos y su representación.

Representación

A nivel de representación los planos en diédrico clásico son bastante cómodos porque se utilizan las rectas de intersección del plano con los planos de proyección; son las llamadas trazas, nombradas normalmente como P-P’, Q-Q’, etc.

En ese sentido el diédrico clásico es menos intuitivo y menos práctico porque no existe un criterio único de representación, sino que un plano puede venir definido de muchas formas diferentes como hemos visto: por 2 rectas que se cortan, recta y punto, un polígono contenido en él, etc.

Pertenencia

De igual manera, el criterio de las rectas contenidas en planos es también más evidente en el diédrico clásico. En este, una recta está incluida en un plano cuando sus puntos traza están contenidos en las trazas del plano. En cambio, en diédrico directo necesitas comprobar que la recta tiene 2 puntos cualquiera contenidos en alguna otra recta del plano…

Bueno, no es ninguna catástrofe, pero en mi opinión es menos intuitivo.

El Plano - Diferencias diedrico directo - clasico

Pero unas cosas se compensan con otras, porque en realidad sigue ocurriendo lo que mencionábamos en temas anteriores: las trazas son las rectas de intersección de los planos con los de proyección, pero en realidad estos planos de proyección son inventados, ficticios y, en ese sentido, el diédrico directo es más coherente.

Aparte de estos temas relacionados con la representación, en el resto de aspectos realmente importantes sí son prácticamente idénticos ambos sistemas de representación; por ejemplo en las diferentes posiciones de los planos y las rectas notables.

Al final, lo bueno de todo esto es que, cuando entiendes uno de los sistemas, el otro es muy fácil de aprender.

9. Conclusión

Este ha sido un artículo muy extenso y hemos abarcado todo lo relacionado con los planos, desde su representación, hasta las diferentes posiciones de los planos, pasando por sus rectas notables y la pertenencia.

Si has leído hasta aquí y te has estudiado todos los dibujos… ¡ENHORABUENA!

Espero que se te haya quedado más claro el tema de los planos.

Si tienes alguna duda, puedes dejarla en los comentarios.

Y si todo se te ha quedado muy claro, compártelo por las redes sociales o déjalo comentado en la sección de más abajo, porque me anima a seguir trabajando en el blog.

Un saludo

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