PAU de Cataluña, junio de 2014. El examen de Dibujo Técnico resuelto (6 ejercicios)

¡Buenos días!

Siguiendo con la serie de Examenes corregidos de las PAU (Pruebas de Acceso a la Universidad) he decidido traerte hoy el de Cataluña. En primer lugar porque es aquí donde estaré viviendo durante una temporada. Y en segundo lugar porque me parece muy interesante que se trabaje con Sistema Diédrico Directo. Aún no había visto ninguna Comunidad Autónoma que lo hiciera.

Encontrarás en este artículo los siguientes ejercicios:

1. Transformaciones Geométricas. Cuadrilátero a partir de algunos datos.
2. Tangencias. Circunferencia tangente a arco y recta por un punto del arco.
3. Sistema Diédrico Directo. Pirámide de base octogonal
4. Sistema Diédrico Directo. Octaedro
5. Perspectiva Isométrica Diédrica DIN 5
6. Perspectiva Isométrica con varias circunferencias

¡Espero que te guste el artículo!

Algunos de los ejercicios están explicados además con vídeos. Suscríbete a mi canal de Youtube para recibir una actualización con cada nuevo vídeo.

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Ejercicio 1. Opción A (2 puntos). Transformaciones geométricas

Determina gráficamente el polígono ABCD de acuerdo con los datos aportados, situándolo por encima del lado AB. Deja constancia del proceso gráfico seguido
Puedes ver el vídeo en Youtube

1. COMENZAR CON LOS DATOS
En este tipo de ejercicios de Geometría Plana tienes que empezar a colocar los datos que te dan y a partir de ahí obtener la información que reste.

El ángulo DAB=60ª lo puedes dibujar fácilmente con ayuda del cartabón sobre el vértice A. Esto los sabemos porque en la nomenclatura de un ángulo dado por 3 vértices, el central indica el vértice donde se encuentra el ángulo. Por tanto, también podemos colocar el ángulo ABC=75º sobre el vértice B.

Si no quieres hacer uso del transportador de ángulos podrás dibujar 75º sumando los 30º del cartabón y los 45º de la escuadra

2. TOMA UN PUNTO ALEATORIO 1

Puesto que conocemos el ángulo del vértice D, podemos saber la inclinación que tendrá el lado CD.

El vértice D se encontrará sobre la recta a 60º que hemos dibujado en A. En esa recta, toma un punto aleatorio 1 y desde él dibuja una recta que forme 135º. Este ángulo es la suma de 90º y 45º, así que lo puedes dibujar con la escuadra. Esta recta tiene la misma pendiente que el lado CD

Desde el punto 1 dibuja un arco de circunferencia con radio CD que cortará a la recta anterior en 2.

El punto 2 está a una distancia CD de 1 y formando el ángulo 135º que nos han pedido. En una recta paralela a A-1 por el punto 2 se encuentran todos los puntos que cumplen esta condición respecto a la recta A-1.

El punto C se encontrará en la intersección de dicha paralela con la recta dibujada a 75º desde B.

El punto D lo conseguimos con una paralela a la recta 1-2 por el punto C.

Ejercicio 1. Opción B (2 puntos). Tangencias

a) Dibuja la circunferencia tangente al arco de circunferencia de centro C que pase por el punto P y sea tangente a la recta R. Deja constancia del proceso gráfico seguido.
b) Indica con precisión el punto de tangencia

Puedes ver también el vídeo en Youtube

Para que dos circunferencias sean tangentes, sus centros tienen que estar alineados con el punto de tangencia. Puesto que P pertenece a la circunferencia, será el punto de tangencia. El centro O de la circunferencia tangente se encontrará en la recta C-P.

Dibujar la circunferencia tangente a otra y una recta por el punto de tangencia es un ejercicio estándar de Tangencias. Sólo tienes que seguir el siguiente proceso:

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1. Dibuja una recta perpendicular a C-P por el punto P. Esta recta es tangente al arco.
2. A continuación, dibuja la bisectriz del ángulo M formado por la recta tangente dibujada y la recta R.
3. La intersección de dicha bisectriz con la recta C-P nos dará el centro O de la circunferencia solución.
4. El punto de tangencia con la recta R se encuentra en una perpendicular a R desde el centro O de la circunferencia.

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Ejercicio 2. Opción A. (4 puntos) Pirámide en Diédrico Directo

DATOS: Proyecciones horizontal y vertical de los puntos a-a’ y b-b’ y proyección horizontal c de un punto c-c’.

a) Determina en proyección horizontal y vertical el octógono regular que tiene el segmente horizontal ab-a’b’ como uno de los lados y el punto c-c’ como uno de los vértices del lado paralelo al lado ab-a’b’.
b) Dibuja las proyecciones horizontal y vertical de una pirámide regular de manera que la base sea el octógono y el vértice situado por encima del plano del octógono diste 5 cm de este plano.
c) Determina gráficamente la visibilidad del conjunto.

También puedes ver el vídeo en Youtube

1. DIBUJAR EL OCTÓGONO ABATIDO
Sabiendo que ab es un lado del octógono y además que es una recta horizontal (porque su proyección vertical es perpendicular a la que une a con a’) podemos abatir el plano abc utilizando la recta ab como charnela. Sobre el plano abatido dibujamos el octógono.

Para ello, busca el arco capaz de 45º del lado ab y en su intersección con la mediatriz se encuentra el punto (O) abatido, que es el centro de la circunferencia circunscrita al octógono.

Con la medida del lado ab puedes encontrar el resto de vértices sobre la circunferencia

2. ALTURA DEL PUNTO C
Conociendo la posición abatida del punto (C) es fácil averiguar su altura por desabatimiento.

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1. Dibuja una recta horizontal por el punto c, es decir, paralela a la ab.
2. Traza un arco con centro en a y radio a-(C) que cortará a la anterior y sobre ella definirá la altura H3 relativa entre c y ab.
3. Lleva esta altura a la proyección vertical por encima de la recta a’b’. Proyecta c y obtendrás c’

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3. PROYECCIÓN HORIZONTAL DEL OCTÓGONO
Obtener la proyección horizontal partiendo del octógono abatido es sencillo. Lo haremos por HOMOLOGÍA AFÍN. Tomaremos el punto c como afín del (C) y la recta ab como Eje de Afinidad.

El lado (3)-(C) es paralelo al Eje, por tanto su afín también. Así que dibuja una paralela a ab por c. La Dirección de Afinidad viene dada por la recta c-(C). Dibuja una recta con esta dirección por el punto (3) para encontrar su afín, el punto 3.

El punto O se encuentra en cualquier diagonal del octógono, así que utilizo la a-3. La recta que pasa por (O) según la Dirección de Afinidad coincide con la mediatriz de ab. Ahí encontraré la proyección horizontal de O.

Para encontrar los puntos restantes (1, 2, 4, 5) prolongaré la recta (O)-(4) hasta que corte al Eje de Afinidad (recta ab) y desde ahí lo uniré con el punto O. Con rectas paralelas a la Dirección de Afinidad pasando por (1) y (4) encontraré los puntos 1 y 4. En las rectas paralelas al Eje de Afinidad ab que pasan por 1 y 4 encontraré los puntos 2 y 5, con lo que queda completado el octógono en proyección horizontal

4. PROYECCIÓN VERTICAL DEL OCTÓGONO
Igual que hemos obtenido la altura relativa de c respecto de ab por desabatimiento, obtendremos la de 1 y la de 2.
El punto q es la intersección de la recta ab (charnela) con la perpendicular por 1.

Con centro en q y radio q-(1) obtenemos la altura H1 sobre la recta horizontal que pasa por 1.
Con centro en q y radio q-(2) obtenemos la altura H2 sobre la recta horizontal que pasa por 2.

Dibujamos ambas alturas en proyección vertical por encima de la recta a’b’ y proyecta desde la horizontal para conseguir 1′, 2′, 3′, 4′, 5′

5. PERPENDICULAR A LA BASE
El vértice de la pirámide se encuentra en una recta perpendicular a la base por el centro de la misma.

Una recta perpendicular a la base tiene su proyección horizontal perpendicular a la recta horizontal de plano. Por tanto, recta perpendicular a ab pasando por O.
Y su proyección vertical será perpendicular a la recta frontal de plano. Dibujo una recta frontal de plano s’-s, con su proyección horizontal s pasando por 1 y su proyección vertical por 1′ y por el punto de corte con el lado 2-3.
Desde O’ dibujo la proyección r’ de la recta perpendicular a la base.

6. ALTURA DE LA PIRÁMIDE POR GIRO
La altura de la pirámide es de 5 cm. Sobre la recta r’-r debemos tomar esta medida, pero debemos hacerlo en Verdadera Magnitud (VM). Utilizaremos el giro.

1. Toma un punto m-m’ aleatorio de la recta r-r’.
2. Gíralo con centro en O para poner la recta como frontal de plano r1-r1′. En proy. horizontal se gira en forma de arc, en proy. vertical como recta horizontal.
3. Sobre r1′ puedes medir en verdadera magnitud. Mide 5cm (altura de la pirámide) y deshaz el giro, tanto en proy. vertical V’ como en proyección horizontal V.

7. PARTES VISTAS Y OCULTAS
Los contornos son siempre vistos, tanto en proyección horizontal como en vertical.
Para saber si los vértices contenidos en el interior son vistos u ocultos, tienes que mirar la otra proyección.

Los vértices a y b en proy. horizontal serán ocultos porque en proy. vertical se encuentran por debajo de los demás.
Asimismo, los vértices 1′, 2′ y 3′ en proy. vertical serán ocultos porque 1, 2 y 3 están por detrás en proy. horizontal.

Todas las aristas concurrentes en estos vértices serán ocultas.

Ejercicio 2. Opción B (4 puntos) Octaedro en Sistema Diédrico Directo

DATOS: Proyecciones horizontal y vertical de los puntos a-a’ y b-b’. Proyecciones verticales de los puntos c-c’ y d-d’
a) Determina la proyección horizontal de un cuadrado que tenga los vértices en los puntos a-a’, b-b’, c-c’ y d-d’
b) Dibuja las proyecciones horizontal y vertical de un octaedro regular de manera que los lados del cuadrado determinado en el apartado anterior sean aristas del octaedro. Diferencia las aristas vistas de las ocultas.

Puedes ver el vídeo en Youtube

1. EL CUADRADO
Puesto que la recta ab es horizontal de plano podemos utilizarla como charnela para abatir el cuadrado.

Dibuja un cuadrado tomando como lado el ab y obtendrás (C) y (D). Al desabatirlos se desplazan sobre la misma recta perpendicular a ab. Por tanto, únicamente tienes que proyectar las proyecciones verticales c’ y d’ sobre dichas rectas para obtener c y d.

¡Hecho el cuadrado!

2. ALTURA DEL OCTAEDRO
Tenemos que dibujar el octaedro dado el cuadrado. El lado L del cuadrado es también el lado L de cada triángulo equilátero.

La apotema a es la altura de cada triángulo equilátero.

La sección de la mitad del octaedro es triangular, tiene como base el lado L y los otros dos lados son la apotema a. He construido dicha sección más arriba. Como ves en el esquema, la altura h de esta sección es la altura de la mitad del octaedro.

Tendremos que poner dicha altura h a cada lado del cuadrado

3. PERPENDICULAR AL CUADRADO
La altura del octaedro hay que situarla en una recta perpendicular al plano del cuadrado por el punto O, que es el centro del cuadrado.

En proyección horizontal la recta perpendicular r se ve como perpendicular a ab, ya que esta es una recta horizontal de plano.

Para la proyección vertical necesitaremos una recta frontal de plano f’-f. Dibuja en proyección horizontal una recta f que pasa por el punto d y es perpendicular a las proyecciones, es decir, por ejemplo, a la recta d-d’. Toma el punto de corte 1 de esta recta f con el lado ab y proyéctalo hacia la proyección vertical 1′. Une d’ con 1′ y obtendrás una recta frontal.

La recta perpendicular al plano del cuadrado tiene su proyección vertical r’ perpendicular a esta recta f’.

4. VERDADERA MAGNITUD DE LA ALTURA
Puesto que la recta r’-r está oblicua, tenemos que verla en Verdadera Magnitud (VM) para poder medir sobre ella la altura h.

Desde O dibuja una recta horizontal r1, que será la recta r girada para ser vista como frontal de plano.
Toma un punto 2′-2 aleatorio, contenido en r’-r. Gíralo hasta la posición r1′-r1. En proy. horizontal se gira como arco y en vertical como recta horizontal. Conseguimos así la recta r1′ girada, ¡¡sobre la que se puede medir en Verdadera Magnitud!!

Lleva la altura h a la recta r1′ y deshaz el giro hasta conseguir las proyecciones horizontal y vertical del punto U’-U, que es uno de los vértices del octaedro.
La distancia será igual hacia un lado que hacia otro del cuadrado, así que con el compás podrás llevar la distancia de O’ y O hasta el vértice V’-V.

5. ARISTAS VISTAS Y OCULTAS
Los contornos siempre son vistos, tanto en proyección horizontal como en vertical.

En proyección vertical tendremos que discernir cuál de los dos puntos a’ o c’ es visto. Eso lo podemos ver en proyección horizontal. Comprobamos que c está más cerca del observador, por tanto a está escondido detrás de la pieza. a’ y las aristas adyacentes serán ocultas, mientras que c’ y sus aristas serán vistas.

En proyección horizontal todos los vértices son vistos. Podemos fijarnos en las caras abU y cbV. En proyección vertical, la cara a’b’U’ está claramente por debajo de la pieza. Puedes comprobar que la cara c’d’V’ está en la parte superior. Por tanto, esta última será vista y la anterior oculta.

Ejercicio 3. Opción A (4 puntos). Pieza en Axonometría Dimétrica DIN 5

Interpreta el sólido poliédrico representado en planta y alzados y, situando el punto p’-p en la posición P del papel, dibuja la axonometría con la terna propuesta (dimétrica ortogonal normalizada DIN 5) a escala doble (medida en las direcciones de los ejes axonométricos. Concreta el sólido únicamente con las líneas vistas.

1. EJES DIN 5
Dibuja el eje Z vertical y en él un segmento de 1cm. Desde el extremo inferior dibuja un arco de 1cm y desde el superior uno de 1,5cm. El punto de corte define el eje Y. El eje X se encuentra en la bisectriz (por la perpendicular).
Coloca los 3 ejes sobre el punto P.

2. COEFICIENTE DE REDUCCIÓN
Abate el plano XY con el punto P. Para ello, perpendicular al eje Z, arco capaz de 90º y en la prolongación del eje Z se encuentra (P) abatido.
A la derecha que el eje Y abatido (que también sirve para el Z, porque es perspectiva dimétrica) y a la derecha el X.

3. ESCALA Y MEDIDAS
Puesto que es al doble no necesito dibujar escala gráfica. Tomaré las medidas en las vistas y las duplicaré. Estas medidas duplicadas las coloco sobre los ejes abatidos y desabatiré para obtener la dimensión en la perspectiva.

4. BOCADOS
Las zonas que he indicado con sombreado en las vistas son bocados de la figura: ahí no existe pieza. Por tanto, cuando tengas el paralelepípedo puedes quitarle tranquilamente esas partes porque no existen.

5. DIFICULTADES DE LA PIEZA

• La primera dificultad que tendrás es mantener la atención constante durante todo el dibujo a los Coeficientes de Reducción aplicados sobre cada Eje. Los ejes X e Y tienen distintos Coeficientes y es muy importante que mantengas la concentración y compruebes cada medida las veces que sea necesario hasta que estés seguro de que está bien.
• La segunda es la pieza en sí misma. Podemos fácilmente imaginar un marco estrecho que rodea por detrás a la pieza y que está inclinado: sube y baja un par de veces. La zona central está dividida en una parte superior con dos formas triangulares apoyada sobre una superficie horizontal y una inferior, que se entiende como dos perforaciones triangulares

Ejercicio 3. Opción B (4 puntos) Pieza en Isométrica

Interpreta el sólido poliédrico representado en planta y alzados y, situando el punto p’-p en la posición P del papel, dibuja la axonometría con la terna propuesta (ortogonal isométrica) a escala doble (medida en las direcciones de los ejes axonométricos. Concreta el sólido únicamente con las líneas vistas.

1. EJES, COEFICIENTES DE REDUCCIÓN Y ESCALA
Los ejes isométricos forman 120º cada uno, que debes colocar en el punto. Abate el plano YZ y el punto P para aplicar coeficientes de reducción.
La escala, puesto que es al doble, es tan sencilla que no tengo que hacerla gráficamente.

2 PLANO INCLINADO
El ángulo de 120º que forma la pieza lo resuelvo en el abatimiento del plano YZ. Dibujo los 2 puntos abatidos (el del plano superior y el del inferior) y por AFINIDAD encuentro los puntos en la perspectiva

3. CIRCUNFERENCIAS EN ISOMÉTRICA
Son óvalos con 4 centros de arcos situados 2 en los extremos del eje menor y los otros 2 sobre el eje mayor, según se ve en los esquemas. Puesto que sólo se piden partes vistas, el plano trasero se puede simplificar mucho. Únicamente transportaré hacia él los centros de los arcos y los puntos inicial y final del arco.

Te enseño los detalles de la pieza por separado.

4. CIRCUNFERENCIAS EN PLANO INCLINADO
La resuelvo por afinidad, encontrando puntos adicionales en las diagonales del cuadrado circunscrito.

Hasta aquí las PAU de Dibujo Técnico de Cataluña, de junio de 2014. Como ves, hemos tocado diferentes temas como la Geometría Plana, el Diédrico Directo y las Perspectivas.

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