Intersección de rectas con planos en Sistema Diédrico: el método en 3 pasos

• Este artículo pertenece a la Guía de Sistema Diédrico.
• También está disponible el vídeo curso de Sistema Diédrico.

Una vez que hemos visto la intersección de planos nos queda solo un pequeño anexo a esa parte que es la intersección de rectas y planos. Como verás en este artículo es muy sencillo, siempre que hayas llegado a comprender la intersección de planos.

Te explicaré a continuación el método general, por qué y cómo se utiliza y lo veremos aplicado en tres dimensiones y en sistema diédrico.

1. Método general en 3 pasos

Dados un plano P y una recta R tendremos que encontrar la intersección de R con P. Este es el método en 3 sencillos pasos

1. Dibuja un plano Q que contenga a la recta R. Esto es lo mismo que decir que dibujes un plano Q cuyas trazas Q’-Q contengan a los puntos traza de la recta R. Lo más sencillo y lo que yo recomiendo es utilizar planos proyectantes (proyectante horizontal o vertical) o planos paralelos a los de proyección (plano horizontal o frontal). Veremos por qué.
2. Encuentra la recta intersección S de los planos P, Q. Esto es lo que vimos en el artículo de intersección de planos.
3. El punto de intersección I (i’-i) de la recta S con la recta dada R es la solución, es decir, la intersección del plano P con la recta R. Dibujar las dos proyecciones del punto.

¿Por qué es conveniente que uses planos proyectantes y paralelos a los de proyección que contengan a la recta? Hay dos motivos:

• Son los más sencillos de dibujar, ya que no tienes que encontrar los puntos traza de la recta. En planos proyectantes (como ves en el ejemplo) solo tienes que hacer coincidir una de las proyecciones con la traza oblicua del plano; la otra traza sería perpendicular a la línea de tierra. En el caso de planos paralelos a los de proyección (horizontales y frontales) simplemente hay que definir la proyección paralela a la línea de tierra como traza del plano.
• Tienen la intersección más sencilla posible con los demás planos. Una de las proyecciones de la intersección coincide con la traza oblicua y por tanto solo tienes que encontrar la otra.

Yo creo que está claro, ¿no? Vamos a verlo con una recta paralela a alguno de los planos de proyección, por ejemplo una recta frontal. En lugar de utilizar un plano proyectante podemos usar un plano Q frontal para contener a la recta R.

Como ves, la intersección del plano frontal con el plano oblicuo es de lo más sencillo, solo tienes que dibujar una paralela a la traza vertical desde el punto en que se cortan las trazas horizontales.

2. Más casos prácticos de intersecciones

Ya con estos dos ejemplos explicados queda poco más que decir. Pondré algunos casos particulares y ya podemos irnos a tomar una cocacola bien fría con mucho hielo y una rodaja de limón 🙂

En el primer ejemplo he tomado un plano proyectante horizontal Q que contiene a R. Puesto que P es también proyectante horizontal, la recta de intersección será vertical, coincidiendo justo con el punto donde se cortan las trazas.

El segundo ejercicio tiene un plano paralelo a la línea de tierra, pero se resuelve lo mismo. Introduzco la recta R en un plano Q proyectante vertical y hago la intersección de este con el plano P. La recta de intersección S corta en el punto I a la recta R.

En el tercero la recta R es paralela a la línea de tierra. He optado por un plano horizontal que obviamente da como resultado una recta de intersección horizontal S con el plano P.

Como te decía, utilizar planos proyectantes o planos paralelos a los de proyección es la mejor forma de simplificarte la vida. Si utilizas este tipo de planos te voy a dar simplemente dos consejos:

• Decide conscientemente qué plano vas a utilizar. Si es proyectante, será vertical u horizontal. Tener esto claro te evitará errores, créeme.
• Dibuja las trazas del plano auxiliar y ponles el nombre. Como has visto, yo he colocado siempre la Q y la Q’ para indicar que contenía la recta en un nuevo plano Q proyectante. Esto te servirá por un lado para aclararte tú mismo y por otro para que las demás personas lo entiendan (y tú mismo cuando mires el dibujo un tiempo después)

3. Intersecciones con rectas de punta

Acabo simplemente con unos de ejercicios más que pueden ser singulares: las rectas de punta. Una recta de punta se reconoce porque una de sus proyecciones se concentra en un único punto. Cualquier punto de toda la recta tiene una de sus proyecciones en ese punto. En los ejercicios de intersección lo único que tendremos que buscar es concretamente qué punto de todos ellos pertenece también al plano P con el que buscamos la intersección.

El primer caso se puede resolver de dos maneras. La primera ha sido utilizando una recta S cualquiera del plano P que pasa por la proyección vertical r’ de la recta. Al encontrar la proyección horizontal s de esta recta obtenemos directamente el punto I de intersección.

La segunda forma de solucionarlo es mediante un plano de perfil (segundo dibujo). Basta con llevar el plano y la recta al perfil para encontrar el punto de intersección.

El último ejemplo es el de un plano oblicuo. Puedes hacer lo mismo. Pasa una recta S cualquiera (yo he utilizado una recta horizontal de plano pero puede ser cualquier otra) por la proyección horizontal r de la recta y encuentra su proyección vertical de manera que la recta esté contenida en el plano P.

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Me parece que con esto es suficiente para que haya quedado el tema suficientemente claro. Si no es así, puedes dejar tu comentario e intentaré explicarlo de otra manera.

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Ahora sí podemos irnos ya a por esa cocacola 🙂