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Intersección de rectas con planos en Sistema Diédrico: el método en 3 pasos

Intersecciones recta plano Sistema Diedrico

Una vez que hemos visto la intersección de planos nos queda solo un pequeño anexo a esa parte que es la intersección de rectas y planos. Como verás en este artículo es muy sencillo, siempre que hayas llegado a comprender la intersección de planos.

Te explicaré a continuación el método general, por qué y cómo se utiliza y lo veremos aplicado en tres dimensiones y en sistema diédrico.

1. Método general en 3 pasos

Dados un plano P y una recta R tendremos que encontrar la intersección de R con P. Este es el método en 3 sencillos pasos

  1. Dibuja un plano Q que contenga a la recta R. Esto es lo mismo que decir que dibujes un plano Q cuyas trazas Q’-Q contengan a los puntos traza de la recta R. Lo más sencillo y lo que yo recomiendo es utilizar planos proyectantes (proyectante horizontal o vertical) o planos paralelos a los de proyección (plano horizontal o frontal). Veremos por qué.
  2. Encuentra la recta intersección S de los planos P, Q. Esto es lo que vimos en el artículo de intersección de planos.
  3. El punto de intersección I (i’-i) de la recta S con la recta dada R es la solución, es decir, la intersección del plano P con la recta R. Dibujar las dos proyecciones del punto.

01_Interseccion recta plano

¿Por qué es conveniente que uses planos proyectantes y paralelos a los de proyección que contengan a la recta? Hay dos motivos:

  • Son los más sencillos de dibujar, ya que no tienes que encontrar los puntos traza de la recta. En planos proyectantes (como ves en el ejemplo) solo tienes que hacer coincidir una de las proyecciones con la traza oblicua del plano; la otra traza sería perpendicular a la línea de tierra. En el caso de planos paralelos a los de proyección (horizontales y frontales) simplemente hay que definir la proyección paralela a la línea de tierra como traza del plano.
  • Tienen la intersección más sencilla posible con los demás planos. Una de las proyecciones de la intersección coincide con la traza oblicua y por tanto solo tienes que encontrar la otra.

Yo creo que está claro, ¿no? Vamos a verlo con una recta paralela a alguno de los planos de proyección, por ejemplo una recta frontal. En lugar de utilizar un plano proyectante podemos usar un plano Q frontal para contener a la recta R.

02_Interseccion recta plano

Como ves, la intersección del plano frontal con el plano oblicuo es de lo más sencillo, solo tienes que dibujar una paralela a la traza vertical desde el punto en que se cortan las trazas horizontales.

2. Más casos prácticos de intersecciones

Ya con estos dos ejemplos explicados queda poco más que decir. Pondré algunos casos particulares y ya podemos irnos a tomar una cocacola bien fría con mucho hielo y una rodaja de limón 🙂

03_Interseccion recta plano

En el primer ejemplo he tomado un plano proyectante horizontal Q que contiene a R. Puesto que P es también proyectante horizontal, la recta de intersección será vertical, coincidiendo justo con el punto donde se cortan las trazas.

El segundo ejercicio tiene un plano paralelo a la línea de tierra, pero se resuelve lo mismo. Introduzco la recta R en un plano Q proyectante vertical y hago la intersección de este con el plano P. La recta de intersección S corta en el punto I a la recta R.

En el tercero la recta R es paralela a la línea de tierra. He optado por un plano horizontal que obviamente da como resultado una recta de intersección horizontal S con el plano P.

Como te decía, utilizar planos proyectantes o planos paralelos a los de proyección es la mejor forma de simplificarte la vida. Si utilizas este tipo de planos te voy a dar simplemente dos consejos:

  • Decide conscientemente qué plano vas a utilizar. Si es proyectante, será vertical u horizontal. Tener esto claro te evitará errores, créeme.
  • Dibuja las trazas del plano auxiliar y ponles el nombre. Como has visto, yo he colocado siempre la Q y la Q’ para indicar que contenía la recta en un nuevo plano Q proyectante. Esto te servirá por un lado para aclararte tú mismo y por otro para que las demás personas lo entiendan (y tú mismo cuando mires el dibujo un tiempo después)

3. Intersecciones con rectas de punta

Acabo simplemente con unos de ejercicios más que pueden ser singulares: las rectas de punta. Una recta de punta se reconoce porque una de sus proyecciones se concentra en un único punto. Cualquier punto de toda la recta tiene una de sus proyecciones en ese punto. En los ejercicios de intersección lo único que tendremos que buscar es concretamente qué punto de todos ellos pertenece también al plano P con el que buscamos la intersección.

04_Interseccion recta plano

El primer caso se puede resolver de dos maneras. La primera ha sido utilizando una recta S cualquiera del plano P que pasa por la proyección vertical r’ de la recta. Al encontrar la proyección horizontal s de esta recta obtenemos directamente el punto I de intersección.

La segunda forma de solucionarlo es mediante un plano de perfil (segundo dibujo). Basta con llevar el plano y la recta al perfil para encontrar el punto de intersección.

El último ejemplo es el de un plano oblicuo. Puedes hacer lo mismo. Pasa una recta S cualquiera (yo he utilizado una recta horizontal de plano pero puede ser cualquier otra) por la proyección horizontal r de la recta y encuentra su proyección vertical de manera que la recta esté contenida en el plano P.

* * *

Me parece que con esto es suficiente para que haya quedado el tema suficientemente claro. Si no es así, puedes dejar tu comentario e intentaré explicarlo de otra manera.

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Ahora sí podemos irnos ya a por esa cocacola 🙂

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8 Responses to Intersección de rectas con planos en Sistema Diédrico: el método en 3 pasos

  1. Jose Luis Coll March 23, 2015 at 12:10 pm #

    Buen artículo!!!!

    Te adjunto mis comentarios:

    1.- Deberías indicar los casos en los que es posible utilizar planos paralelos a los proyectantes , pues dependiendo de la recta r no siempre es posible.

    2.- Deberías hacer distinción entre rectas Verticales y de Punta

    Recta vertical tiene su traza r´ perpendicular a LT y su traza r un punto.
    Recta de Punta tiene su traza r perpendicular a LT y su traza r´ un punto.

    3.- Utilizaría letras minúsculas para identificar a las rectas r y s

    4.- Indicaría la proyección s´ en todos los dibujos

    • Pablo Domingo March 23, 2015 at 12:46 pm #

      Buenos días José Luís y gracias por los comentarios.
      Haré las modificaciones oportunas en cuanto saque un momento, gracias!
      En cuanto a la nomenclatura de las rectas, siempre había entendido que cuando se habla de una recta real en el espacio se denomina con mayúscula y sus proyecciones se nombran con minúscula, por eso lo hice así. Pero vaya, que yo creo que no se entienden ambas acepciones. Gracias por la puntualización.
      Un saludo

  2. Topotamadre January 31, 2016 at 4:26 pm #

    Hola buenas ) Tengo una duda. En un ejercicio me piden hallar la intersección entre tres planos . Me podrías ayudar 😉 Gracias

  3. Sol February 13, 2016 at 8:07 pm #

    ¿Cómo se haría una intersección entre una recta y dos planos?

  4. Solange June 8, 2016 at 1:33 am #

    Hola. Me pidieron la intersección de una recta y un plano con el esquema pero no entiendo nada….

  5. shtayn October 26, 2016 at 5:03 pm #

    Hola
    ¿como se halla la recta interseccion entre dos planos uno de ellos es proyectante vertical y el otro es un plano que pasa por la linea de tierra y te da un punto del mismo ? . Un saludo .

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