Intersecciones entre rectas y planos en Diédrico Directo

Entender cómo funcionan y cómo se representan los elementos más básicos (punto, rectaplano) es esencial en Diédrico Directo, pero no deja de ser una herramienta para manejarnos en la 3ª dimensión.

En este artículo vamos a empezar a poner en relación unos elementos con otros y encontraremos los puntos de intersección de rectas con planos.

1. ¿Qué es una intersección en Geometría Descriptiva?

Una intersección es el punto (o conjunto de puntos) que tienen en común dos o más elementos, es decir, son los puntos donde esos elementos se cortan.

Eso significa que el punto (o puntos) de la intersección pertenecen tanto a un elemento como al otro.

En concreto:

  • La intersección entre una recta y un plano es un punto
  • La intersección entre 2 planos es una recta
  • La intersección entre 3 planos es un punto

Aunque esto te parezca muy básico, es esencial tenerlo claro, porque muchas veces nos ponemos a dibujar sin saber cuál es el resultado que tenemos que conseguir.

Tener claro el objetivo antes de empezar a dibujar es clave para el éxito, así que memoriza bien esos principios básicos.

Intersecciones recta plano DIEDRICO DIRECTO

Observa cómo, en el primer caso, el punto de intersección pertenece tanto a la recta como al plano. En el segundo caso, la recta de intersección pertenece tanto a un plano como a otro y en el tercer pertenece a los 3 planos simultáneamente.

Por tanto se tienen que cumplir en ambos casos las reglas de pertenencia que estudiamos en los capítulos de recta y plano.

Por otro lado, es importante señalar que no existe intersección cuando los elementos sean paralelos entre sí.

planos paralelos entre si no tienen interseccion - diedrico directo

2. Método General de Intersección Recta – Plano

Ya hemos dicho que la intersección entre una recta y un plano es un punto. Por tanto, cuando empieces a buscar la intersección entre una recta y un plano, debes tener claro que lo que estás buscando es un punto con sus dos proyecciones I=(i’, i).

Teniendo esto presente vamos a empezar con el método general para resolver cualquier una intersección de recta y plano.

En el caso más habitual tendremos que encontrar la intersección entre un plano oblicuo y una recta oblicua. Consideramos un plano P oblicuo definido por un triángulo ABC y una recta R también oblicua. El proceso es el siguiente:

  1. Contener la recta R en un plano proyectante Q. Aquí en realidad no tienes que hacer nada, simplemente tener en mente si estás utilizando un plano proyectante vertical u horizontal.
  2. Encontrar la recta de intersección S de los planos P y Q. Esto es sencillo. Si por ejemplo consideramos que Q es un plano proyectante horizontal, su proyección horizontal es una recta (que lógicamente coincide con r) y corta a los lados del triángulo en los puntos 1 y 2. Sólo tienes que subir esos puntos 1 y 2 hasta su proyección vertical en los lados del triángulo correspondientes y unirlos para obtener s’. 
  3. El punto de intersección de S con R es el punto de intersección I=(i’-i) de R con el plano original P.

interseccion recta plano _ metodo general


¡IMPORTANTE! Presta atención en el 2º paso para asegurarte de que llevas correctamente los puntos hasta el lado adecuado. En el ejemplo anterior, r=Q está cortando al lado AC en 1 y al lado AB en 2; por tanto 1′ estará en a’c’ y 2′ estará en a’b’ respectivamente. Es habitual confundirse de lados.


Para evitar el error común anterior conviene que pongas nombres a los vértices si aún no los tienen porque te facilitará mucho encontrar la concordancia.

Antes de pasar al siguiente apartado me gustaría mostrarte que es indistinto el plano que elijas, siempre que contenga a la recta. Mientras que el ejercicio anterior lo hemos resuelto conteniendo la recta R en un plano Q proyectante horizontal, en el siguiente dibujo puedes ver cómo utilizo un plano proyectante vertical T (T’ coincide con r’) y cómo la solución es la misma.

Interseccion recta plano diedrico metodo general

Observa cómo se obtiene la proyección horizontal de M en el lado AB del triángulo y de N en el lado BC, haciendo corresponder de esta manera ambas proyecciones. Y date cuenta cómo la proyección horizontal m-n pasa exactamente por el punto que habíamos obtenido anteriormente utilizando el plano proyectante horizontal Q como auxiliar.

3. Visibilidad

Un ejercicio de intersecciones no está completamente acabado hasta que no se representan las partes vistas y ocultas.

Cuando un plano está representado mediante un polígono, este se considera opaco y por tanto, una recta cambia su visibilidad al atravesar el plano: esto ocurre en el punto de intersección; a un lado del punto de intersección la recta aparece como vista y al otro como oculta.

Nuestro objetivo es discernir cuál es la parte vista y cuál la oculta.

Las leyes que rigen la visibilidad son las mismas que vimos en el tema de las rectas (ver aquí) y las podríamos aplicar a este caso de la siguiente manera:

  • En proyección horizontal: Un tramo de recta es visto cuando tiene mayor cota que el plano
  • En proyección vertical: Un tramo de recta es visto cuando tiene mayor alejamiento que el plano

Visibilidad Diedrico Directo - intersecciones

Para mirar esto hay que fijarse concretamente en los puntos donde las proyecciones de la recta cortan al triángulo.

  • En proyección horizontal, el punto 1 donde r corta el lado ac del triángulo tiene superpuesto además el punto 3. Debemos mirar la proyección vertical 1′ del triángulo situada en a’c’ y la proyección vertical 3′ de la recta situada en r’. Como puedes observar, el punto 3 (perteneciente a la recta) tiene mayor cota que el punto 1; por tanto, la recta en ese tramo será vista en proyección horizontal.
  • En proyección vertical ocurre lo mismo. Observamos los puntos 5 y 6 donde r’ corta al triángulo en el lado AB. El punto 5 contenido en el triángulo tiene mayor alejamiento que 6 (perteneciente a la recta), por lo que el plano será visible en proyección vertical en ese tramo de la izquierda, mientras que la recta aparecerá como oculta.

3.1. Aspectos importantes de la visibilidad

Hay algunos aspectos importantes que merece la pena recalcar:

  1. La visibilidad en las rectas no tienen relación entre proyección horizontal y vertical. Fíjate cómo en proyección vertical el tramo oculto de la recta está a la izquierda mientras que en proyección horizontal es el tramo de la derecha. Por eso es importante que realices el ejercicio de visibilidad por separado para cada proyección.
  2. La recta siempre es vista por la parte exterior al contorno del polígono, porque no hay nada que la tape.
  3. En el punto de intersección cambia la visibilidad de la recta. Aunque ya lo había mencionado, es importante recordarlo, porque solo tienes que reconocer la visibilidad en uno de los lados del punto de intersección, ya que en el tramo opuesto siempre cambia.

A continuación vamos a ver algunos casos particulares de intersecciones entre rectas y planos que son más sencillos que el caso general de rectas y planos oblicuos.

4. Intersección de Rectas con Planos de Canto

Este es un caso particular de intersecciones que resultan bastante más sencillas que el caso genérico.

Por plano de canto se entiende aquel en el que todos sus puntos tienen una proyección (ya sea horizontal o frontal) alineada formando una recta. En esa proyección estás viendo el plano de canto, simplemente como una recta.

En este grupo se encuentran los siguientes tipos:

  • Plano horizontal
  • Plano frontal
  • Plano proyectante horizontal
  • Plano proyectante vertical
  • Plano de perfil

Veamos el caso del plano horizontal que servirá de ejemplo para los demás.

4.1. Intersección de Recta con Plano Horizontal

El plano horizontal tiene las proyecciones verticales de todos sus puntos alineadas según una recta, la cual es perpendicular a las líneas de referencia.

Por tanto, si hemos dicho que el punto de intersección es un punto contenido en la recta y en el plano, su proyección vertical estará contenida en esa recta.

En consecuencia, lo único que tenemos que hacer es encontrar su proyección horizontal mediante una línea de referencia (¡vaya! en vertical hacia abajo).

Es muuuuuuucho más fácil que en el caso de planos oblicuos.

Interseccion con plano horizontal - diedrico directo - 10endibujo

¿Ves?

La proyección vertical r’ de la recta corta con la P’ del plano y eso nos da directamente la proyección vertical i’ del punto intersección. Así solo tenemos que bajar en perpendicular hasta encontrar su proyección horizontal sobre la r y eso nos daría la proyección horizontal i del punto de intersección.

4.2. Visibilidad

El que una recta esté oculta o vista funciona exactamente igual que en el método general, con la única diferencia de que en los planos de canto se simplifica.

  • En la proyección en que el plano se ve de canto, la recta es siempre visible
  • Solo tenemos que determinar la visibilidad de la recta en la proyección en que el plano no está de canto

Visibilidad planos de canto diedrico directo

Observa cómo la recta es visible en todo su recorrido en proyección vertical, mientras que para la proyección horizontal rigen las mismas reglas de visibilidad explicadas anteriormente.

4.3. Resumen de Intersecciones con Planos de Canto

A continuación te dejo un dibujo con los 5 tipos de planos de canto que existen, en intersección con diferentes rectas.

Mira cómo encontrar el punto de intersección es inmediato en la proyección en que el plano se ve de canto

Intersecciones con planos de canto resumen

5. Intersección de Planos con Rectas Paralelas a los Planos de Proyección

Las intersecciones de planos con rectas paralelas a los planos de proyección son especialmente sencillas, porque, además de poder contenerlas en planos proyectantes (como en las oblicuas) también podemos usar planos horizontales o frontales.

Son rectas paralelas a los planos de proyección:

  1. La recta horizontal
  2. La recta frontal
  3. La recta paralela a ambos planos de proyección
  4. La recta vertical
  5. La recta de punta

Veamos el ejemplo de la recta horizontal, que servirá nuevamente de ejemplo para las demás.

5.1. Intersección de plano con recta horizontal

Dado un plano definido por un triángulo contenido ABC y una recta horizontal definida por sus proyecciones h’-h, puedes ver la intersección resuelta fácilmente de dos maneras:

  • Conteniendo la recta en un plano horizontal P
  • Conteniendo la recta en un plano proyectante horizontal Q

Interseccion Plano con recta horizontal

Fíjate que el proceso es similar en ambos casos.

En el primero, solo tienes que hacer coincidir la proyección vertical del plano auxiliar horizontal P’ con h’ y encontrar los puntos de intersección 1′ y 2′ con el triángulo. Luego debes bajar rectas en vertical hasta encontrar sus proyecciones horizontales 1 y 2 en sus respectivos lados y la recta de intersección que une 1 con 2 nos determina el punto de intersección i en el punto donde corta con la proyección h.

En el segundo caso hacemos coincidir la proyección horizontal Q del plano proyectante horizontal con h. La intersección de Q con el triángulo nos da los puntos 1 y 2. Al unir sus proyecciones verticales 1′-2′ obtenemos el punto i’ de intersección de la recta con el plano del triángulo.

El resultado es exactamente el mismo en ambos casos.

Puedes comprobarlo por ti mismo.

5.2. Resto de Rectas Paralelas a los Planos de Proyección

A continuación tienes un esquema con el resumen de las intersecciones de un plano oblicuo con las distintas rectas paralelas a los planos de proyección que hemos comentado.

Interseccion rectas paralelas a los planos de proyeccion

5.3. Rectas de Punta

Merecen una breve mención especial las rectas de punta y rectas verticales.

Estas rectas tienen una de sus proyección como un punto y por tanto el punto de intersección va a estar contenido en ese mismo. Solo hay que encontrar la proyección horizontal de ese punto en la otra proyección y para eso se puede utilizar un plano horizontal o frontal (según el caso) tal como he explicado y ha quedado dibujado.

Por su parte, la visibilidad en estas intersecciones también es singular. Por ejemplo, si miras el dibujo número 5 anterior de la sección 5.2 (Intersección con Recta de Punta) en la proyección en que la recta se ve como de punta no hay que tener en cuenta la visibilidad, porque simplemente es vista.

Sin embargo, en la proyección horizontal tendremos un cambio de visibilidad en el punto de intersección. Observa que la proyección horizontal r de la recta corta a los lados AB y AC. Al mirar en proyección vertical, podemos comprobar que R tiene mayor cota que AB y menor cota que AC por lo que el tramo desde el punto I hasta AB seré visto y el tramo desde I hasta AC será oculto.

En realidad, el razonamiento para resolver la visibilidad en el caso de rectas de punta es el mismo que en el resto, pero por su posición resulta algo singular y prefería dejarlo claro.

6. Intersección de Plano con Recta de Perfil

Las rectas de perfil son un caso particular porque, aunque las contengamos en un plano de perfil, no podemos resolver el ejercicio directamente en las dos proyecciones diédricas habituales sino que necesitamos una tercera vista de perfil.

Para que una recta de perfil R esté completamente definida necesitamos conocer al menos 2 puntos.

En el siguiente ejercicio tenemos que encontrar el punto de interseccion de la recta de perfil R definida por los puntos M y N con el plano oblicuo dado por el triángulo ABC.

Interseccion con Recta de Perfil

Para resolverlo tenemos que utilizar un plano de perfil que coincida exactamente con la recta R.

Dibujamos una recta horizontal que nos sirva de referencia para las alturas (en este caso la he hecho pasar por n’), y una recta vertical a partir de la cual dibujar el perfil.

Debemos llevar uno por uno los puntos que nos interesan:

  • Los puntos M y N nos determinan la posición de la recta en el perfil,
  • Los puntos 1 y 2 nos determinan la recta de intersección del plano de perfil con el triángulo

De esta manera obtenemos dos rectas que se cortan en el punto i» que es la tercera proyección del punto intersección. Solo queda deshacer el cambio de plano de perfil para obtener las proyecciones horizontal y vertical del punto I=(i-i’).

7. Casos Particulares. ¿Qué pasa si…?

Hemos visto hasta ahora los casos habituales de intersecciones.

Vamos a ver algunos casos particulares para que puedas ir con confianza con cualquier ejercicio de intersección recta – plano.

7.1. ¿Qué pasa si… el punto de intersección está fuera del polígono?

Los planos son infinitos y, siempre que la recta y el plano no sean paralelos, existirá un punto de intersección y es indistinto que sea dentro o fuera del polígono.

El hecho de que el punto de intersección no esté dentro del polígono que nos define el plano simplemente implica que no habrá cambio de visibilidad a partir del punto de intersección. La visibilidad se mantiene constante a la altura del polígono, ya sea vista u oculta. Pero por lo demás todo es igual.

interseccion fuera poligono

En el dibujo anterior puedes ver que he utilizado un plano proyectante vertical para contener a la recta.

También puedes ver que la proyección horizontal de la recta queda oculta detrás del triángulo porque a esa altura, tanto el lado AC como el lado BC tienen mayor cota que la recta.

Sin embargo en proyección vertical es vista en toda su longitud porque en el tramo 1-2 la recta tiene mayor alejamiento que todo el triángulo, es decir, está situada por delante.

7.2. ¿Qué pasa si… la recta no corta ninguna proyección del triángulo?

Tampoco esto es un problema.

Para resolver este ejercicio solo tenemos que proceder como siempre, conteniendo la recta en un plano proyectante Q. Los puntos de corte 1 y 2 vienen dados de prolongar los lados del triángulo, tanto en proyección vertical como en horizontal.

Ten cuidado en este paso al buscar la otra proyección. Es decir, el punto 1′ está contenido en la recta b’c’, por tanto su proyección horizontal tiene que estar en bc. No te confundas de recta al encontrar la segunda proyección.

A partir de ahí solo tenemos que unir las proyecciones horizontales 1-2 y donde esta recta corte a r obtenemos el punto de intersección que buscábamos.

interseccion no corta

7.3. ¿Qué pasa si… el plano viene definido por 2 rectas que se cortan?

Hasta ahora hemos visto siempre el caso de que nos den definido el plano mediante un polígono, pero si te lo dan definido de cualquier otra manera (por 3 puntos, por 2 rectas paralelas, etc.), la forma de resolverlo es la misma.

Imagina que te dan un plano definido por 2 rectas R y S que se cortan en el punto A. y tenemos que encontrar la intersección de ese plano con la recta T.

Haremos como siempre:

  1. Introducimos T en un plano Q proyectante
  2. Encontramos los puntos de intersección 1′ y 2′ de Q’ con las rectas r’ y s’ respectivamente
  3. Encontramos las proyecciones horizontales 1 y 2 en sus correspondientes proyecciones r y s.
  4. Unimos 1 con 2 y en el punto donde corte a t obtenemos i
  5. Encontramos su proyección vertical i’ en t’

Interseccion recta plano definido

Es muy fácil, ¿no?

8. Conclusión

Con esto quedaría vista toda la parte de intersecciones entre rectas y planos. Lo he explicado con mucho detalle y exponiendo todo tipo de casos: planos de canto, rectas de punta, rectas de perfil, planos definidos de diferentes maneras.

Aunque el artículo haya sido un poco extenso, en realidad el concepto básico para encontrar la intersección entre una recta y un plano es sencillo. Debes:

  1. Contener la recta en un plano Q cómodo (proyectante, horizontal o frontal)
  2. Encontrar la recta intersección del plano P dado con Q
  3. El punto donde esa recta corta a la R dada es el punto de intersección que buscamos.

En el siguiente artículo de la serie de Diédrico Directo veremos las intersecciones entre planos.


Si te parece que este artículo es útil, compártelo por las redes sociales.

Siempre resulta de ayuda para que siga trabajando en el blog.

Y si tienes cualquier duda, déjala en los comentarios.

, ,

No comments yet.

Deja un comentario

Responsable: Pablo Domingo Montesinos Finalidad: gestionar los comentarios. Legitimación: tu consentimiento. Destinatarios: los datos que me facilitas estarán ubicados en los servidores de Webempresa (proveedor de hosting de esta web) dentro de la UE. Ver política de privacidad de Webempresa. (https://www.webempresa.com/aviso-legal.html). Derechos: podrás ejercer tus derechos, entre otros, a acceder, rectificar, limitar y suprimir tus datos en pdmontesinos30@gmail.com así como el derecho a presentar una reclamación ante una autoridad de control. Puedes consultar la información adicional y detallada sobre Protección de Datos en mi política de privacidad

Aviso Legal | Privacidad | Cookies | Afiliados | Contacto

Como afiliado de Amazon yo ingreso por compras adscritas

Amazon y el logotipo de Amazon son marcas comerciales de Amazon.com, Inc. o de sociedades de su grupo

Powered by WordPress. Designed by Woo Themes