Los polígonos regulares dado el lado: siempre pueden caer en el examen

Es posible que ya hayas hecho este ejercicio varias veces en tu vida y que creas que ya no tienes que hacerlo o estudiarlo nunca más. Te equivocas. Los ejercicios, cuanto más sencillos son, más necesarios pueden resultar. Son la base, sin la cual el resto de la montaña de conocimientos no se sostiene.

Es posible que hayas visto ya muchos ejercicios en 10endibujo en los a partir de un segmento y te dicen que dibujes un polígono regular. Por ejemplo en este ejercicio hay que dibujar un cuadrado, en el ejercicio 2 de la opción A de este examen de las PAU de Cataluña hay que dibujar un octógono y en la parte I de la Opción A de este examen de las PAU de Castilla y León hay que dibujar un pentágono.

[box]En ninguno de estos casos el polígono es la solución, pero si no sabes hacer el polígono, te quedas sin resolver el ejercicio[/box] Esto es algo muy común en un examen de dibujo Técnico y por eso no hay que bajar la guardia. De nada te servirá quejarte al profesor diciendo que el examen era de Sistema Diédrico y no de Polígonos. Los Polígonos son básicos y hay que saber cómo hacerlos sí o sí.

He querido por tanto hacer una recopilación para que te resulte sencillo encontrarlos todos juntos. Aquí tienes el trazado de polígonos regulares dado el lado.

Triángulo equilátero

Dado el lado ab, traza un arco con centro en a y radio a-b. Con el mismo radio traza otro arco con centro en b. El punto de corte de ambos arcos define el tercer vértice del triángulo.

Cuadrado

Dado el lado a-b, existen dos sencillas maneras de hacerlo. Elige la que prefieras:

1. Dibuja una recta perpendicular a a-b que pase por b. Con centro en b y radio a-b traza un arco. El punto de corte con la anterior perpendicular dará un tercer vértice del cuadrado. Mediante rectas paralelas se obtiene el cuarto vértice.
2. Dibuja una recta perpendicular a a-b que pase por b. Mediante el uso de la escuadra dibuja una recta a 45º por a. El punto de corte de ambas rectas determina el tercer vértice y el cuarto se obtiene por rectas paralelas.

Pentágono regular

Mediante mediatriz, obtén el punto medio M del segmento ab. Traza una recta perpendicular a a-b por el punto b. Con centro en b y radio a-b, traza un arco que corte a la anterior perpendicular en el punto D. Con centro en M y radio M-D traza un arco que corte a la prolongación del segmento ab en Q. a-Q es la diagonal del pentágono. Con centro en a y radio a-Q traza un arco que corte con la extensión del arco a-D en el vértice c. Con centro en c y radio a-b traza un arco que cortará al anterior Q-c en d. Haciendo centro en a y en d con radio a-b se obtiene el vértice e.

Hexágono regular

Con centro en a y radio a-b traza un arco de circunferencia. Con centro en b y el mismo radio a-b dibuja otro arco que cortará al anterior en el centro O de la circunferencia circunscrita al hexágono.

Dibuja la circunferencia de centro O y radio O-a. Con centro en b y radio b-a dibuja un arco que cortará a la circunferencia en c. Desde c puedes trazar otro arco con el mismo radio a-b que dará un nuevo vértice del hexágono d.

Heptágono regular

Trazar una recta perpendicular al segmento a-b pasando por b. Dibujar una recta con un ángulo de 30º por a que cortará a la anterior perpendicular en el punto P. Con centro en a y radio a-P trazar un arco de circunferencia que corta a la mediatriz del segmento a-b en el punto O. Este punto O es el centro de la circunferencia circunscrita al heptágono.

Octógono regular

Por a y b trazar dos rectas que formen 45º con el lado ab. Ambas rectas se cortan en el punto M. Con centro en M y radio M-a trazar un arco que corta a la mediatriz del segmento ab en el punto O, centro de la circunferencia circunscrita al octógono.

Método general de 6-12 lados

Con centro en a y en b y radio a-b trazar dos arcos que se cortan en punto que llamaremos 06, porque es el centro de la circunferencia circunscrita al polígono regular de 6 lados. Con centro en 06 y radio 06-a trazar un arco que corta a la mediatriz del segmento ab en 12. Mediante el teorema de Thales, dividir el segmento 06-12 en 6 partes iguales, a las que llamaremos 07, 08, 09… Cada uno de ellos es el centro de la circunferencia circunscrita al polígono regular de esa cantidad de lados.

En este ejemplo he dibujado un polígono regular de 11 lados.

Todos los polígonos dado un único lado

Dibujaremos a continuación todos los polígonos regulares de hasta 12 lados, partiendo del mismo segmento ab. Te animo a que lo hagas tú mismo porque es un fantástico ejercicio para recordar el procedimiento y tener los conceptos claros: cuando empiezan a superponerse líneas tendrás que tener las ideas claras de qué es lo que tienes que hacer a continuación.

Queda, como veis, una composición singular, que además tiene mucho que ver con la definición de circunferencia. Si os fijáis, cuanto mayor es el número de lados del polígono, mayor es el ángulo de cada vértice y más se asemeja a la forma de la circunferencia. La circunferencia sería, por tanto, un polígono regular de infinitos lados.

Aplicación: los polígonos estrellados

Para terminar con los polígonos regulares me gustaría enseñaros una aplicación que me parece particularmente bonita y creativa: los polígonos estrellados. Podéis ver una buena serie de polígonos estrellados en los vídeos de Profesor de Dibujo.

Una vez que hemos conseguido una circunferencia dividida en partes iguales (pongamos por ejemplo 7, como para dibujar un heptágono) podemos empezar trazando el polígono desde un vértice y lo conectamos con el segundo (es decir, nos saltamos uno). Verás que al final se cierra completamente la estrella. De la misma manera se puede hacer si se conecta el tercer vértice (es decir, nos saltamos dos). Las formas de ambas estrellas son diferentes, a pesar de tener el mismo número de vértices, 7.

Podemos hacer el mismo ejercicio sobre una única circunferencia y obtener una figura más compleja. Las posibilidades para conseguir formas estrelladas son ilimitadas.