PAU Andalucía, junio 2014: el examen de Dibujo Técnico resuelto y explicado (6 ejercicios y 4 vídeos)

En este artículo continúo con una serie de Exámenes completos resueltos de las Pruebas de Acceso a la Universidad de Junio de 2014. Comencé esta serie por un lado para que vieras la aplicación práctica a los ejercicios los contenidos teóricos que voy explicando regularmente en la web. Por otro lado, quería familiarizarme con el nivel y contenidos de Dibujo Técnico en toda España.

Por el momento la serie lleva los siguientes:

• PAU de Madrid, examen modelo
• PAU de Madrid: 6 ejercicios, 3 de ellos explicados con vídeo
• PAU de Asturias: 8 ejercicios, 5 vídeos
• PAU de Cataluña: 6 ejercicios, 4 vídeos
• PAU de Andalucía: 6 ejercicios, 4 vídeos

Realizar el examen completo de Andalucía me ha traído buenos recuerdos, porque me recuerda a cuando yo hice Selectividad, allá en el año 2000. He podido comprobar que los contenidos y nivel de exigencia no han variado mucho. Y también he recordado que me encanta estos ejercicios: he disfrutado mucho haciéndolos.

Espero que a ti también te gusten 🙂

Son los siguientes:

Opción A

1. Cubo en Sistema Diédrico
2. Pieza en Perspectiva Isométrica a partir de sus vistas
3. Tangencias

Opción B

1. Vistas de una pieza dada en Perspectiva Isométrica
2. Circunferencia en Sistema Diédrico
3. Pieza en Sistema Cónico

Descarga el Examen de las PAU de Andalucía en PDF

Opción A

PROBLEMA: SISTEMA DIÉDRICO (4 puntos)

Dados el cuadrado ABCD abatido sobre el plano horizontal de proyección y la traza horizontal de un plano P, se pide:
1. Determinar la traza vertical de P sabiendo que el plano forma un ángulo de 45º con el plano horizontal de proyección.
2. Representar las proyecciones del cuadrado contenido en P.
3. Dibujar las proyecciones del hexaedro, situado en el primer diedro, de base el cuadrado.

1. TRAZA VERTICAL POR CAMBIO DE PLANO

Sabemos que el plano P forma un ángulo de 45º con el plano horizontal. Si hacemos un Cambio de Plano para ver P como plano proyectante vertical, veremos el ángulo que forma en Verdadera Magnitud.

• Dibuja la nueva Línea de Tierra perpendicular a la Traza P del plano. Si la dibujas pasando por el punto (D) ahorrarás líneas.
• Dibuja la nueva traza P» del plano, de manera que forme 45º con la nueva línea de tierra.
• Toma un punto 1» de la traza P». Encuentra su proyección horizontal 1 en la línea de tierra original. Lleva la altura h de 1» hasta la proyección vertical 1′. ¡Ya puedes dibujar la traza vertical del plano P’!

2. ABATIMIENTO Y PROYECCIONES DEL CUADRADO

Para poder dibujar las proyecciones del cuadrado necesitamos conocer la traza vertical del plano abatida (P’). Abatiremos el punto 1 para abatir la traza.

• Dibuja la recta perpendicular a P por el punto 1.
• Con centro en el punto de corte de la Línea de Tierra con P y radio hasta el punto 1′ dibuja un arco de circunferencia que corta a la recta anterior en el punto (1) abatido.
• Dibuja por (1) la traza (P) del plano abatida.

Ahora podemos desabatir el cuadrado. Tomaré el vértice D como ejemplo:

• Dibuja desde (D) una recta paralela a P hasta (P’). Desde este punto dibuja una perpendicular a P hasta la línea de tierra y desde este punto nuevamente una paralela a P.
• Dibuja una recta perpendicular a P desde (D) que cortará a la recta anterior en d, que es la proyección horizontal de D.

Para encontrar la proyección vertical, dibuja una recta vertical desde el punto d.
En el punto de corte de la recta paralela a P que pasa por d, dibuja una recta vertical hasta P’ y desde ahí dibuja una recta horizontal que cortará a la anterior en d’, la proyección vertical del vértice D.
Repite el proceso para B y C.

El vértice A está contenido en la traza horizontal del plano. Por ello tiene su proyección vertical en la Línea de Tierra.

3. RECTAS PERPENDICULARES PARA DIBUJAR EL HEXAEDRO O CUBO

Falta por dibujar los 4 vértices superiores del cubo. Se encontrarán en rectas perpendiculares al plano P desde cada punto A, B, C, D. Las rectas perpendiculares al plano P se ven perpendiculares a sus trazas. Así que, sin más, puedes dibujar desde cada proyección horizontal a, b, c, d una recta perpendicular a P. Asimismo puedes dibujar desde a’, b’, c’, d’ una recta perpendicular a P’.

4. ALTURA

La altura del cubo es igual al lado L, que puedes medir en Verdadera Magnitud en el abatimiento, por ejemplo, la medida (B)-(C).
La altura del cubo se puede dibujar en Verdadera Magnitud aprovechando el cambio de plano.

Desde la segunda proyección a» dibuja una recta perpendicular a la traza del plano P».

Mide sobre ella desde a» la distancia L del lado y obtendrás e», que es proyección del vértice E. Con una recta perpendicular a la segunda línea de tierra encontrarás la proyección horizontal e. Este se encuentra sobre la recta perpendicular que dibujaste desde a.

La proyección vertical de E se la puedes encontrar dibujando una recta vertical desde e que cortará a la recta perpendicular a P’ desde a’.

El vértice f lo encuentras dibujando una recta paralela a a-b desde e. Estará en la recta perpendicular a P desde b.
Su proyección vertical f’ está en una recta paralela a a’-b’ desde e’.
Repite el proceso para obtener G y H

5. PARTES VISTAS Y OCULTAS

En proyección vertical h’ es visto porque en proy. horizontal se encuentra por delante de B. b’ es oculto.

En proyección horizontal g es visto porque en proy. vercical se encuentra por encima de A. a es oculto.

Ejercicio 1: PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA (3 puntos)

Dados alzado, planta y perfil de una pieza a escala 2:3, según el método de representación del primer diedro de proyección, se pide:
Dibujar su perspectiva isométrica a escala 2:1, según los ejes dados.

La dificultad de este ejercicio radica en aplicar las escalas y coeficientes de reducción correctamente. Medir la pieza interiormente será sencillo puesto que tiene divisiones únicamente a mitad y a tercios. Por tanto, te recomiendo que te centres en dibujar el prisma de manera correcta en cuanto a dimensiones y posteriormente lo dividas.

Puedes ver el vídeo explicativo en Youtube

1. COEFICIENTE DE REDUCCIÓN

Abatiremos uno de los planos para poder medir sobre sus ejes en Verdadera Magnitud y por desabatimiento encontraremos la posición de cada punto en la perspectiva isométrica.

Prolonga el eje Y y dibújale una perpendicular que corte a los ejes X, Z en 1 y 2. Con centro en M y radio M1 dibuja un arco que te dará el punto (O) abatido en la prolongación del eje Y.

2. DIBUJAR LA ESCALA 2:3

Dibuja 2 rectas que se cortan. Sobre la recta superior mide la primera unidad (2 cm) y en la recta inferior la segunda unidad (3cm). Esto define la pendiente de la recta. Haz divisiones de cada centímetro en la recta inferior y llévalos con paralelas a la superior.
Con la escala volante 2:3 puedes medir en las vistas. Según eso, la pieza mide 4.2 x 2.3 x 4.2 cm.

También puedes usar el compás. Lleva las medidas de la pieza en las vistas a la escala 2:3 para ver la dimensión real de la pieza.

3. ESCALA 2:1

Para evitar dibujar más escalas que sólo te confundirán, te recomiendo que apliques esta escala matemáticamente. Date cuenta de que es muy sencilla. En el dibujo, la pieza medirá el doble: 8.4 x 4.6 x 8.4 cm. Coloca estas dimensiones (con la regla común) sobre los ejes abatidos partiendo del punto (O) y desabátelas.

El perfil que nos dan es el Derecho, puesto que está situado a la izquierda. Por tanto, sobre el eje Y estará la dimensión corta de la pieza. Lleva los 4.6 cm desabatidos al eje Y mediante el compás con centro en O

¡Ya puedes dibujar el prisma completo y a escala!

4. LA PIEZA

En el eje Y haz 3 divisiones del prisma mediante el teorema de Thales y en los ejes X, Z haz dos divisiones.

Los cortes inclinados del alzado no tienen correspondencia triangular en las otras vistas. Por tanto se trata de rampas y no de cortes triangulares.

La pieza se puede entender como 3 rebanadas, cada una con cortes característicos. La primera rebanada tiene la forma que se define en alzado como superficie continua. Se trata de una parte vertical y una rampa.
La segunda rebanada es inversa: tiene la rampa arriba (discontinua en alzado) y una parte horizontal abajo.
La tercera rebanada es igual que la primera. Por eso no se ven líneas adicionales en alzado para ella.

Ejercicio 2: TRAZADO GEOMÉTRICO (3 puntos)

Dibujar a escala 1:1 la figura acotada representada, a partir del punto O1 dado, determinando geométricamente los centros del arco de enlace y de la circunferencia de centro O2, así como los puntos de tangencia. Dejar constancia de las construcciones utilizadas.

Puedes ver el video explicativo en Youtube

Encontrar O3 nos llevará un par de reflexiones:

Por un lado, la circunferencia C3 es tangente a C1 en el punto T1. Puesto que 2 circunferencias tangentes tienen sus centros alineados con el punto de tangencia, el centro O3 estará en la recta R (que une O1 con T1)

Por otro, la circunferencia C3 es tangente a la C4 en el punto T2. Este punto T2 es aún desconocido pero sabemos de él que pertenece a la circunferencia C4 de centro O1.
O1 y O3 tienen que estar alineados con T2. Puesto O3 pertenece a R y O1 pertenece también a R, T2 tiene que estar necesariamente en R.

De esta manera se define la posición de T2, en la intersección de R con C4, ambos conocidos.

O3 se encuentra en R y C3 pasa por T1 y T2. Por tanto, O3 se encuentra en el punto medio del segmento T1-T2: ¡Mediatriz!

C2 es tangente exterior a C3 y tangente interior a C4. Tendremos que dibujar:

• el Lugar Geométrico de los puntos del plano que distan 15 mm de C3 por fuera. Por tanto, una circunferencia con centro en O3 y radio 15 mm mayor que C3.
• el Lugar Geométrico de los puntos del plano que distan 15 mm de C4 por dentro. Es decir, una circunferencia con centro en O1 y radio 15mm menor que C4 (85 mm)

En la intersección de ambos LG se encuentra O2. Los puntos de tangencia están alineados con los centros. Por tanto, T3 está alineado con O3 y O2, mientras que T4 está alineado con O2 y O1.

OPCIÓN B

Problema: NORMALIZACIÓN (4 puntos)

Dada la perspectiva isométrica de una pieza a escala 1:1, se pide:
1. Representar alzado, planta y perfil derecho a escala 5:4, según el método de representación del primer diedro de proyección.
2. Acotar las vistas según normas

ESCALA

No creo en la calculadora para el dibujo técnico, así que resoveremos todo gráficamente. Mejora la precisión y evita errores.

La perspectiva de la pieza viene dada a escala 1:1, por lo que no tienes que preocuparte. Piden que la dibujes a escala 5:4 así que esto sí tendrás que tenerlo en cuenta.
Dibujar una escala gráfica es sencillo. En dos rectas que se cortan mide 5cm (dibujo) sobre la superior y 4 (realidad) sobre la inferior. La flecha que las une indica la dirección base de la escala. Subdivide la recta inferior en centímetros e incluso el primer centímetro en milímetros y dibuja las paralelas. En la recta superior tendrás dibujada una escala 5:4.

COEFICIENTE DE REDUCCIÓN

La pieza en perspectiva isométrica lleva aplicado coeficiente de reducción. Mediante abatimiento de los 3 planos podrás medir sobre los ejes en Verdadera Magnitud.

Prolonga el eje Z y dibuja una perpendicular a él por el extremo de la base de la pieza. DIbuja el arco capaz de 90º y obtendrás el Centro de Coordenadas (O) abatido. Al unir los puntos de corte de la perpendicular dibujada con (O) obtendrás los ejes abatidos. Sobre ellos puedes medir las dimensiones reales de la pieza.

APLICAR ESCALA Y COEFICIENTE

Una vez que hayas hecho estos preparativos no será difícil tomar medidas en la pieza.

Por ejemplo, en el eje X abatido puedes medir 5.69 cm con la regla. Con el compás debes tomar una amplitud de 5.69 según la escala 5:4 que has dibujado. Es decir, marca 5.69 cm en la escala 5:4 y lleva esa medida con el compás a las vistas.

Deberás llevar cualquier medida que necesites primero a los ejes de la isométrica y luego a los ejes abatidos.

COLOCAR EL PUNTO 1

Dimensión Horizontal D: Dibuja una recta vertical que lleve el punto 1 en perspectiva al eje X y prolóngala como símbolo del abatimiento. Sobre el eje abatido puedes medir que hay 4.9 cm hasta (O). En la escala 5:4 marca las 4.9 unidades y esa distancia «d» es la que debes colocar en las vistas a partir de O.
Dimensión Vertical H: Dibuja una paralela al eje X hasta el eje Z abatido. Puedes medir sobre este 1.42 cm. Toma en la escala 5:4 estas 1.42 unidades, que es la dimensión H que debes llevar a las vistas.

Resuelto el problema de las medidas, la pieza en sí es sencilla de representar por sus vistas.

Puesto que nos piden dibujar el perfil lateral derecho, este deberás colocarlo a la izquierda del alzado

Para dibujar las circunferencias deberás tomar en primer lugar la posición de los ejes de la circunferencia y seguidamente medir el radio en la dirección de los ejes de la isométrica. Sigue para ello el proceso que te he explicado anteriormente, es decir, abatiendo la medida y aplicando la escala.

Ejercicio 1: SISTEMA DIÉDRICO (3 puntos)

Dadas la traza horizontal de un plano P, la proyección horizontal de un punto A y su abatimiento (A) sobre el plano horizontal de proyección, se pide:
1. Determinar la traza vertical de P que contiene a A.
2. Representar las proyecciones de la circunferencia de radio 40 mm contenida en P, sabiendo que es tangente a los planos de proyección. Trazar los ejes de las cónicas proyecciones de la circunferencia.

También puedes ver el vídeo en Youtube 

TRAZA VERTICAL DE P

Buscaré en primer lugar la traza abatida (P’) para lo que usaré una recta R horizontal de plano que contenga al punto A.

Dibuja una recta r paralela a P que pase por a y otra (R) que pase por (A). Dibuja una recta perpendicular a P por el punto b que cortará a (R) en (B). Por (B) puedes pasar la traza abatida (P’)
Encuentra ahora la proyección vertical b’, dibujando el arco con centro en la intersección de las trazas y radio hasta (B). b’ estará en la vertical desde b. Pasa por b’ la traza vertical P’

CIRCUNFERENCIA ABATIDA

Para que la circunferencia sea tangente a los planos de proyección deberá ser tangente a las trazas del plano. Por tanto, dibuja una recta paralela a P a 40 mm de distancia y otra paralela a (P’) también a 40 mm. En su intersección se encuentra el centro (O) abatido de la circunferencia.

PROYECCIÓN HORIZONTAL

Los ejes de la elipse en proyección horizontal serán la recta paralela y la perpendicular a la traza horizontal P que pasan por O. Los extremos de dichos ejes son (1), (2), (3) y (4). Desabate los puntos para encontrar los ejes de la elipse en proyección horizontal.

DESABATIMIENTO

El punto (3) por pertenecer a la traza coincide con su proyección horizontal.

Para desabatir 1:

Dibuja una recta paralela a P por (1). Donde corta a (P’) dibuja una perpendicular a P hasta la LT. Desde ahí una paralela a P. Por último, dibuja una perpendicular a P por (1) y conseguirás la proyección horizontal de 1.

Repite el proceso para obtener 2 y 4

PROYECCIÓN VERTICAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Al igual que para la proyección horizontal, los ejes serán las rectas paralela y perpendicular a la traza vertical del plano que pasan por el centro O.
La recta paralela a (P’) por (O) ya la teníamos y nos define los puntos (5) y (6). Su perpendicular define los puntos (7) y (8)

La recta 5-6, por ser paralela a la traza P’ será frontal de plano. Tiene por tanto su proyección horizontal paralela a la LT y su proyección vertical paralela a P’ Con esto puedes encontrar las proyecciones horizontal y vertical de 5 y 6.

El punto 7 pertenece a la traza vertical, así que su proyección horizontal está en la LT y su proyección vertical en P’.

Desbate (8) como prefieras. Yo lo he contenido en una recta frontal de plano, es decir, una paralela a 5-6.

Los puntos 5′, 6′, 7′, 8′ definen los ejes de la elipse en proyección vertical.

Ejercicio 2: SISTEMA CÓNICO (3 puntos)

Definido el sistema cónico por la Línea de Tierra LT, la Línea de Horizonte LH, el Punto Principal P y el abatimiento sobre el plano del cuadro del punto de vista (V), se pide:
Dibujar, a escala 1:1, la perspectiva cónica del sólido dado por sus proyecciones acotadas, según el método de representación del primer diedro de proyección, sabiendo que se encuentra apoyado en el plano geometral en la posición indicada por el abatimiento de su planta sobre el plano del cuadro.

Puedes ver el vídeo explicativo en Youtube

PUNTOS DE FUGA

Para poder empezar a dibujar la cónica necesitas los puntos de fuga. Se encuentran sobre la LH. Dibuja las rectas paralelas a las de laplanta de la pieza, que pasan por (V) y obtendrás F1 y F2

PLANTA ENPERSPECTIVA

Prolonga las rectas de la figura en planta hasta la LT. Las rectas que en planta son paralelas a F1-(V) fugarán hacia F1 desde la LT.
Las rectas que en planta son paralelas a F2-(V) fugarán a F2.
Las intersecciones van definiendo la figura.

ALTURAS

Las alturas tienes que medirlas en la LT, que es la Línea de Verdaderas Magnitudes. Mide sobre una de las rectas y fúgala hacia su correspondiente punto de fuga.
Levanta verticales desde cada punto de la planta en perspectiva y dale la altura que le corresponda.
La cónica, cuando se han preparado bien los puntos de fuga, es muy sencilla.

***

Eso ha sido el examen completo. Como puedes comprobar, te he regalado 20 puntos en el Examen de las PAU 🙂

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