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Intersección de rectas con cuerpos geométricos

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Las intersecciones de rectas con cuerpos geométricos, es decir, con volúmenes, es simplemente una continuación del artículo anterior sobre secciones. Como comprobarás en un momento, no tiene mucha mayor dificultad que eso.

¿Qué es la intersección de una recta con un cuerpo geométrico?

Cuando una recta corta un cuerpo geométrico, dado que la recta es infinita, tendrá al menos 2 puntos de intersección, los que podemos llamar punto de entrada y punto de salida. Son los que denominaremos en los dibujos I1 (i1-i1’) e I2(i2-i2’).

Estos 2 puntos de intersección son lo que nos están pidiendo que encontremos.

En los casos en que un cuerpo geométrico sea más complejo puede tener más de dos puntos de intersección. En todo caso será siempre un número par de puntos, porque tiene que haber tantos puntos de entrada como puntos de salida.

01_Interseccion recta poliedro

Método general

Este es el método paso a paso que te servirá para resolver prácticamente todos los ejercicios de intersecciones.

  1. Dibuja un plano P que contenga a la recta R dada. Lo ideal es que utilices un plano lo más sencillo posible y estos serían los casos:
    1. Para una recta horizontal: usar un plano horizontal
    2. Para una recta frontal: usar un plano frontal
    3. Para una recta oblicua: usar un plano proyectante
    4. Para una recta de perfil: usar un plano de perfil
    5. Para rectas de punta y rectas verticales veremos una manera más sencilla de resolverlo.
  2. Encuentra la sección que produce el plano P en la pieza.
  3. Encuentra los puntos de intersección de la recta R con la sección realizada en el apartado anterior.

Con esto tienes prácticamente todo resuelto. Así que el artículo que te tienes que estudiar bien es el de secciones.

Recta oblicua con pirámide

Veamos un ejemplo genérico y muy común: la intersección de una recta oblicua con una pirámide.

En general tendremos siempre 2 opciones sencillas de resolver. En este caso podemos:

  • Introducir la recta en un plano proyectante horizontal cuya traza horizontal P coincida exactamente con la proyección horizontal r de la recta
  • Y también podemos introducir la recta en un plano proyectante vertical Q cuya traza vertical coincida con la proyección vertical de la recta.

Veamos el primer caso: Hacemos coincidir la traza horizontal P con la proyección horizontal r. La traza vertical P’ sería perpendicular a la línea de tierra. El segundo paso será encontrar la intersección del plano P con la pirámide. Para ello sube los puntos de intersección a y b con la base de la pirámide hasta su proyección vertical a’, b’ en la línea de tierra. El otro punto de corte con la pirámide es el vértice V, por lo que la sección será un triángulo indicado en línea roja fina en el dibujo.

Los puntos I1, I2 de intersección de la recta r’ con la sección triangular dibujada serán la solución del ejercicio. Solo queda encontrar su proyección horizontal, lógicamente sobre la proyección horizontal r de la recta.

02_Interseccion recta oblicua piramide

Vamos con el segundo caso:  Introducimos la recta R en un plano proyectante vertical y para ello hacemos pasar la traza Q’ del plano por la proyección vertical r’ de la recta. La traza horizontal del plano será Q, perpendicular a la línea de tierra.

La sección que produce el plano Q será un hexágono cuyos puntos del 1 al 6 vienen determinados por la traza vertical Q’. Baja esos puntos hasta sus correspondientes aristas. El punto de corte de esta sección hexagonal con la proyección horizontal r de la recta serán los puntos I1 e I2 que buscábamos. Encuentra su proyección vertical sobre r’.

Y lo mejor viene al superponer los dos casos. Como ves, ¡¡coinciden!!

Da igual el plano que utilices: si lo utilizas correctamente, la solución es la misma.

03_Interseccion recta oblicua piramide

Lo único que nos queda por definir son las partes vistas y ocultas.

En proyección horizontal vemos los puntos de entrada y salida de la recta sin problemas: la pirámide en ningún momento se pone en medio, así que la recta será vista, siempre que está por la parte exterior de la pirámide.

En proyección vertical, el punto I1 es visto porque está por delante de las aristas que definen el contorno de la pirámide. En cambio, el punto I2 está por detrás, así que será oculto. El tramo desde i2’ hasta el contorno de la pirámide es oculto y, por tanto, discontinuo.

04_Interseccion recta oblicua piramide vistas ocultas

Como has podido ver, el método es sencillo: plano que contiene a la recta, sección del plano con la pirámide y encontrar el punto de corte de la recta con esta sección.

Vamos con otro ejemplo:

Intersección de recta frontal con pirámide

Este es un caso si cabe más sencillo que el anterior y que resolveremos igualmente de 2 maneras diferentes, para que tú elijas la que prefieras.

Método 1º: Con un plano frontal

Introducimos la recta R en un plano frontal P cuya traza horizontal coincida exactamente con la proyección horizontal r de la recta. Encontramos a continuación la sección que produce este plano P sobre la pirámide. Para ello llevamos los puntos de corte de la traza horizontal P con cada arista a su correspondiente en proyección vertical. Dos puntos van a la base de la pirámide y dos a las aristas en altura. Forma un trapecio simétrico.

La intersección de la proyección vertical r’ con esta sección en forma de trapecio nos da los puntos i1’ e i2’ solución del ejercicio. Las proyecciones horizontales se encuentran lógicamente en r.

05_Interseccion recta frontal piramide

Método 2: Con un plano proyectante vertical

Para utilizar un segundo método introduciremos la recta en un plano proyectante vertical que tiene su traza vertical Q’ coincidente con la proyección vertical r’ de la recta y su traza Q horizontal perpendicular a la línea de tierra.

La sección que este plano produce en la pirámide tiene forma de hexágono, en este caso irregular. Encuentra los puntos en que la traza Q’ corta a cada arista de la pirámide y bájalos hasta encontrar la proyección horizontal de su correspondiente arista.

Los 2 puntos en que la proyección horizontal r corta a esa sección hexagonal son los puntos i1 e i2 solución del ejercicio. Sus proyecciones verticales se encuentra en r’.

06_Interseccion recta frontal piramide

Al superponer ambos métodos comprobamos nuevamente que los puntos de intersección coinciden.

En este caso la recta es completamente vista, tanto en proyección horizontal como en vertical, excluyendo las partes en que la recta está dentro de la pirámide. En este tramo suele no dibujarse la recta.

Rectas de punta y vertical

Como te decía, las rectas de punta y vertical son dos casos excepcionales que resolveremos de otra manera. De todas maneras, siempre puedes utilizar el mismo método anterior; es el método general que siempre funciona. Por ejemplo, si la recta es vertical podrías introducirla en un plano frontal P y hacer la intersección del plano con el cuerpo geométrico tal como hemos descrito anteriormente.

Obtendríamos una sección en forma de trapecio que la proyección vertical r’ de la recta corta en dos ocasiones, en i1’ y en i2’.

07_Interseccion recta vertical piramide

A continuación te explico el método alternativo y más abreviado.

Método alternativo para rectas verticales y de punta

En una recta vertical y en una recta de punta conocemos con precisión cual es una de las proyecciones de todos los puntos de una recta. En la proyección en que vemos la recta de punta, todos los puntos de la recta tienen su proyección exactamente en ese punto.

Los puntos de intersección no son más que aquellos puntos en la otra proyección contenidos en las caras del objeto.

Si tenemos por ejemplo una pirámide y una recta vertical, buscamos las caras que atraviesa la recta y encontramos los puntos de la recta en contacto con esas caras. Para ello utilizamos una recta auxiliar contenida en la cara de la pirámide que pasa por la proyección horizontal de la recta (el punto), la recta 1-v. Seguidamente encontramos la proyección vertical de esa recta 1’-v’ y el punto de corte de esta proyección con la recta r’ será el punto de intersección buscado.

Esto es mucha explicación para algo tan fácil como lo siguiente.

08_Interseccion recta vertical piramide

Date cuenta de que cuando hay un punto de entrada SIEMPRE hay un punto de salida. En este caso será por la base. El punto 2 es el centro de la base de la pirámide. La recta 1-2 tiene su proyección vertical en 1’-2’ y así obtenemos I2.

Para todas las demás figuras geométricas (cubo, octaedro, tetraedro, prismas, etc.) el proceso es exactamente el mismo, así que no merece la pena repetirlo más. Vamos con los cuerpos de revolución, que merecen una mención especial.

Intersección de rectas con cuerpos de revolución

Aunque con los cuerpos de revolución funciona igualmente el método general, te voy a dar a continuación algunas ideas para evitar que tengas que encontrar la sección en forma de elipse o parábola de uno de estos objetos.

Así trabajarás más rápido y con mayor precisión.

1. La esfera

El caso de una recta horizontal o frontal es muy sencillo y se hace aplicando el método general. Veamos una recta horizontal: utilizamos un plano horizontal P que la contiene y le hacemos su correspondiente sección. Para encontrar la sección de este plano encontramos el punto 1’ en que P’ corta al contorno de la esfera en proyección vertical. Este punto tiene su proyección horizontal 1 en el diámetro paralelo a la línea de tierra. Con centro en O y radio O-1 trazamos una circunferencia que es la sección del plano P sobre la esfera.

La intersección de r con esta circunferencia de sección da los 2 puntos de intersección i1 e i2 que tienen su proyección vertical en r’.

09_Interseccion recta horizontal esfera

Bueno, este caso es sencillo. Vamos con una recta oblicua.

Para resolver la intersección de una recta oblicua con una esfera tenemos varias posibilidades:

1. Encontrar la sección elíptica que produce un plano proyectante auxiliar.

Hay que introducir la recta en un plano proyectante P y encontrar la sección de este plano sobre  la esfera. La intersección de esta sección con la recta nos da los dos puntos de intersección. Este es el método más impreciso y que menos recomiendo.

10_Interseccion recta oblicua esfera - elipse

2. Encontrar la sección por cambio de plano

En este caso introducimos igualmente la recta en un plano proyectante P, igual que antes, pero ahora aplicamos un cambio de plano con el que veremos el plano P como frontal y la sección que produce será una circunferencia. Así ganamos en precisión.

No olvides cambiar de plano también la recta.

En el cambio de plano, la sección que produce un plano frontal con la esfera es una circunferencia. La intersección de esta circunferencia con la proyección r’’ de la recta da como resultado los puntos i1’’ e i2’’. Al llevar estos sobre sus proyecciones correspondientes en r y r’ obtenemos el resultado, que, lógicamente coincide con el método anterior.

11_Interseccion recta oblicua esfera - cambio plano

3. Resolver mediante giro

Este es el método más rápido a la vez que preciso pero también posiblemente el que más esfuerzo mental requiere.

Consiste en girar la recta R hasta colocarla como frontal R2. En este momento hacemos la sección que produce un plano P frontal que contiene a R2 sobre la esfera, que será una circunferencia vista en verdadera magnitud. La intersección de esta sección en forma de circunferencia con la proyección vertical r2’ de la recta girada nos da los puntos de intersección en el giro.

Para encontrar los puntos definitivos I1 e I2 solo hay que deshacer el giro.

12_Interseccion recta oblicua esfera - giro

Con estos 3 métodos queda suficientemente clara la intersección de una recta oblicua con una esfera, ¿no?

2. Cono

Aunque el método general explicado al principio sirve también para cono y cilindro, en general los planos proyectantes producen secciones con forma de elipse o parábola y de esta manera el proceso es laborioso y, sobre todo, impreciso.

Vamos a utilizar un método por el que conseguiremos siempre secciones triangulares en el cono y secciones rectangulares en el cilindro.

Para el cono el proceso es el siguiente:

  1. Tomar un punto A(a’-a) cualquiera de la recta R dada.
  2. Dibujar la recta S(s’-s) que une A(a’-a) con el vértice del cono V(v’-v)
  3. Hallar y unir los puntos traza horizontales hr y hs de las rectas R y S.
  4. La recta hr-hs es la traza horizontal de un plano que contiene a R y S y pasa por el vértice. La sección que produce este plano en el cono es triangular, pasa por el vértice y por los puntos de corte de la traza con la base del cono.

Esto sucede solo en el caso de que el cono esté apoyado en el plano horizontal de proyección.

13_Interseccion recta oblicua cono

En este caso hemos utilizado también un plano que contiene a la recta R, solo que no es proyectante, sino que es un plano que pasa por el vértice. Así tendremos siempre una sección triangular, que son más rápidas y precisas de dibujar.

Hemos conseguido que el plano pase por el vértice porque hemos utilizado una recta S que corta a la recta R en el punto A y hemos hecho que esta recta S pase por el vértice.

3. Cilindro

El caso del cilindro es similar al del cono. La única diferencia es que en el caso del cilindro el vértice es un punto impropio, lo que quiere decir que en lugar de tomar una recta que pase por el vértice, utilizaremos una recta paralela a las generatrices.

Veámoslo paso a paso:

  1. Toma un punto A(a’-a) cualquiera de la recta R dada.
  2. Dibuja una recta S(s’-s) que pasa por A(a’-a) y es paralela a las generatrices del cilindro.
  3. Halla y une los puntos traza horizontales hr y hs de las rectas R y S.
  4. La recta hr-hs es la traza horizontal de un plano que contiene a R y S y pasa por el vértice. La sección que produce este plano en el cilindro es rectangular, con dos lados paralelos a las generatrices del cilindro y pasando por los puntos de corte de la traza con la base del cono.

14_Interseccion recta oblicua cilindro

Sencillamente fantástico, ¿no? Una manera de simplificarte la vida 🙂

Tu turno

Eso ha sido todo por mi parte en cuanto al tema de intersecciones. Se pueden poner obviamente mil ejemplos, pero todos se resuelven con las claves que hemos visto en este artículo.

¿Tienes alguna duda? ¿Quieres dejarnos tu opinión? Quizá conoces algún método más sencillo para resolver alguno de los casos… estaremos encantados de conocerlo.

Sin más, hasta la próxima, un saludo.

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5 Responses to Intersección de rectas con cuerpos geométricos

  1. Canela octubre 16, 2015 at 5:05 am #

    MUCHISIMAS GRACIAS!! Tengo un examen sobre esto y no tengo apuntes ni nada porque la profe explica todo en clase, en el momento lo entendia, pero ahora no lo recuerdo jaja.. Que bueno que ayudes !

  2. Mario febrero 28, 2018 at 7:36 pm #

    En el caso de la esfera se puede “abatir” la recta sobre una de sus proyecciones y la esfera sobre la misma para poder verla en VM y así determinar la intersección. Es más rápido que los tres métodos que has expuesto, creo que deberías incluirlo. Muchas gracias por tu trabajo y por tu tiempo, el blog está excelente!

    • Pablo Domingo marzo 1, 2018 at 9:47 pm #

      Mario, muchas gracias por tu aportación. La verdad es que no entiendo muy bien a lo que te refieres con “abatir” una recta. Abatir es un término que yo conozco y utilizo para los planos y se utiliza una charnela. Me interesa tu propuesta, pero necesitaría que me la aclararas, si pudiera ser.
      Un saludo y de nuevo gracias por tu comentario

      • Mario marzo 1, 2018 at 10:04 pm #

        Por supuesto, tenemos una recta oblicua R, y una esfera. Hallamos los puntos traza de la recta y elegimos una de las proyecciones de la recta como charnela. Para “abatir” esta recta sobre la traza horizontal, tomamos un punto cuya proyección horizontal este en LT y la vertical en la traza de la recta, por ese punto hacemos una perpendicular a la charnela y a partir de esta ponemos la altura del punto, entonces lo unimos con la proyección horizontal del punto traza H de la recta. Repetiriamos el proceso con la esfera, como si de un plano se tratase. Una vez que tenemos ambos elementos “abatidos”, los puntos de (r’) que cortan a la esfera “abatida” son los puntos de intersección, “desabatiriamos” y ya hemos terminado la intersección. Si me pudieses facilitar un método para enviarte una imagen del ejercicio, seguro que se entendería mejor.

      • Pablo Domingo marzo 2, 2018 at 12:27 pm #

        Gracias Mario por tu aclaración,
        La verdad es que el proceso que me has descrito es, según lo entiendo yo, un cambio de plano en el que pones la recta como paralela al nuevo plano de proyección, por ejemplo como frontal de plano. Y aplicar ese mismo cambio de plano a la esfera. Aun así, pienso que los puntos de intersección no son los que se verían directamente en el cambio de plano, sino que habría que hacer un corte de la esfera mediante el plano frontal que contiene a la recta (en el cambio de plano) para poder encontrar esos 2 puntos.
        En todo caso, con un dibujo quedará más claro y te estaré muy agradecido si me lo envías. Puedes subir el dibujo al Google Drive o Dropbox y compartirlo por aquí. O puedes contestar al email que te envío a la dirección que has dejado indicada en este comentario.
        Muchas gracias por las molestias que te estás tomando, lo valoro mucho 😉
        Un saludo

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