• Este artículo pertenece a la Guía de Sistema Diédrico.
• También está disponible el vídeo curso de Sistema Diédrico.

Ey, muy buenas,

Hoy estoy encantado de poder contarte algo antes de empezar con las intersecciones. Un jueves hace varias semanas me escribió un chico para preguntarme si había alguna manera de que le impartiera clases a distancia.

Le dije:

«No lo he hecho nunca, pero si tú estás dispuesto a intentarlo, yo también«

Así que ese sábado tuvimos la primera clase de prueba, para ver cómo iba. Me comentó que tenía una pizarra blanca de 120×80 cm que pensaba que sería útil, así que yo, para probar, compré una pequeñita de 50×70. Pensé: «si funciona compro una más grande pero si no, tampoco tiene sentido gastar más«. La clase fue sobre ruedas, aunque con alguna dificultad por el tamaño de mi pizarra, pero nada que no se pudiera solucionar con buena voluntad.

Parece que le vino bien la clase y le gustó porque me confirmó que seguiría asistiendo. Así que yo me compré mi pizarrón 🙂

El miércoles tenía examen de piezas y perspectiva isométrica, así que dimos 2 clases rápidas, lunes y martes. El jueves me mandó un whatsapp diciendo que ya sabía la nota…

Me dijo que la nota hacía referencia a mi web. ¡¡Había sacado un 10 en dibujo!!

¡¡Subidón!!

Esto fue una buena señal. Hasta el momento hemos dado casi 10 clases y va progresando rápidamente. Sigue encantado, tanto que fíjate lo que ha escrito.

Y yo tanto como él, viendo que avanza y que se siente más seguro con el dibujo. Además nos llevamos muy bien. Me ha dicho que quiere un 10 en selectividad para poder entrar en la carrera que le gustaría y yo creo que podemos conseguirlo, aunque para eso hay que trabajar mucho, mucho. ¡¡Vamoooos!!

Desde esta experiencia he decidido incluir una nueva sección en la web porque es totalmente gratificante impartir clases de dibujo técnico online. Quizá te interese 😉

Ahora sí, vamos con las intersecciones

.

Intersección de planos

A. Casos de intersección de planos

Las intersecciones de planos es un tema sencillo del sistema diédrico si se comprenden los conceptos claramente desde el principio. Así que tengo ante mí el reto de explicarlo lo mejor posible para que lo entiendas de forma definitiva. Empezaremos por lo más básico:

1. La intersección de 2 rectas en el espacio es un punto.

Esto quiere decir que cuando dos rectas se cortan, existe un único punto en común, es decir, un punto que pertenece a ambas y se llama punto de intersección. Dos rectas se cortan en el espacio si son coplanarias. Si dos rectas no tienen ningún punto en común, entonces estas rectas se cruzan en el espacio. La manera de detectar que dos rectas se cortan es mirando si los puntos de corte de las proyecciones verticales coincide con los puntos de corte de las proyecciones horizontales.

2. La intersección de 2 planos en el espacio es una recta.

Esta recta obviamente es común a ambos planos, es decir, pertenece a ambos planos simultáneamente. Para definir cualquier recta solo necesitamos 2 puntos de la misma y eso es lo que haremos para encontrar la recta de intersección. Estos dos puntos los conseguiremos de la intersección de dos pares de rectas.

3. La intersección de 3 planos en el espacio es un punto.

Si tenemos por ejemplo los planos A, B y C, los planos A-B dan una recta de intersección i1, los planos B-C dan otra recta de intersección i2. La intersección de estas dos rectas i1-i2 es un punto, como he explicado en el primer punto. Este será el punto de intersección de los 3 planos.

B. Intersección de 2 planos

Como he dicho, para definir la recta de intersección de dos planos necesitamos 2 puntos de la misma y estos puntos los obtendremos de la intersección de dos pares de rectas.

Para que dos rectas se corten hemos dicho que tenían que ser coplanarias y, por tanto, lo más sencillo será que utilicemos las trazas del plano. Las trazas del plano son las rectas de intersección de un plano con los planos de proyección. Por tanto, si utilizamos las trazas de los planos estamos utilizando rectas coplanarias y como consecuencia nos estamos asegurando que se cortan.

Volviendo al ejemplo anterior de los planos A y B, la intersección del plano A con el plano vertical de proyección es la traza A’ (una recta). De la misma manera, la intersección del plano B con el plano vertical de proyección es la traza B’ (también una recta). La intersección de las trazas A’ con B’ nos da necesariamente un único punto, porque son rectas coplanarias (ambas pertencen al plano vertical de proyección). El punto que conseguimos en la intersección es V definido por su proyección horizontal v y vertical v’.

Si sigues el mismo razonamiento para las trazas horizontales verás que obtenemos el punto H (h’-h).

Si unes H con V, es decir h’-v’ y h-v obtienes la recta intersección I (i’-i) de los planos A, B. Hasta aquí la explicación puramente teórica de por qué y cómo se hace lo que se hace. Veamos ahora…

B.1. Casos prácticos: los diferentes planos

La ventaja de trabajar con trazas del plano es que normalmente las soluciones son muy intuitivas y no tienes que hacer todo el razonamiento teórico. Aquí te dejo los casos más comunes ordenados por categorías. [unordered_list style=»tick»]

• En planos oblicuos, encuentra las dos proyecciones de los puntos H y V, es decir, de la intersección entre las trazas horizontales y verticales respectivamente.

[/unordered_list]  [unordered_list style=»tick»]

• Cuando al menos uno de los planos sea proyectante, la proyección de la recta de intersección se encontrará sobre su traza oblicua a la línea de tierra. Esto se debe a que la recta intersección pertenece a ambos planos y cualquier elemento (punto o recta) contenido en un plano proyectante tiene una de sus proyecciones sobre la traza oblicua a la línea de tierra.

[/unordered_list]    [unordered_list style=»tick»]

• Si uno de los planos es frontal, la recta de intersección será frontal. No existe intersección entre las trazas verticales, por lo que la proyección vertical de la recta de intersección será paralela a la traza vertical del otro plano.
• Si uno de los planos es horizontal, la recta de intersección será horizontal. No existe intersección entre las trazas horizontales, por lo que la proyección horizontal de la recta de intersección será paralela a la traza horizontal del otro plano.
• Si uno de los planos es de perfil, la recta de intersección es de perfil y estará contenida en las trazas del plano. Para verla en verdadera magnitud será necesario hacer una tercera vista auxiliar de perfil.

[/unordered_list]  [unordered_list style=»tick»]

• Si los planos tienen sus trazas paralelas, quiere decir que no se cortan (o más correctamente que se cortan en el infinito) por lo que la proyección correspondiente de la recta intersección será paralela a dichas trazas. La otra proyección de la recta intersección será paralela a la línea de tierra.
• En planos paralelos a la línea de tierra, se pue utilizar un plano auxiliar o se puede hacer mediante plano de perfil.

[/unordered_list]  Y básicamente se podría decir que estos son los casos básicos. Vamos con el método que sirve para todos.

B.2. El Método Maestro de intersección de planos

Es el método que siempre funciona. Como las llaves maestras, abre todas las puertas. Es un método que te servirá para cualquier problema de intersección de planos. Además, puesto que funciona siempre, te puede servir en los casos en que tengas dudas y cuando quieras confirmar que lo has hecho correctamente. El método consiste en utilizar dos planos auxiliares Pongamos el caso de que tenemos dos planos P, Q de los que tenemos que encontrar la intersección y que, por ejemplo, las trazas se cortan fuera de los límites del papel. En este caso podemos utilizar dos planos auxiliares A, B. Haremos en primer lugar la intersección del plano A con los planos P, Q. Puesto que se trata de la intersección de 3 planos, el resultado es un punto. A continuación haremos la intersección del plano B con los planos P, Q y obtendremos otro punto. La unión de estos dos puntos es la recta de intersección. Fíjate que he utilizado los planos más sencillos posibles, un plano A horizontal y un plano B frontal. La intersección de A con P y Q da como resultado el punto M. La intersección de B con P y Q da como resultado N. La recta M-N es la intersección de los planos P, Q. Esto que yo he hecho con planos auxiliares paralelos a los de proyección se puede hacer con cualquier otro tipo de plano: oblicuo, proyectante, paralela a la línea de tierra… Busca el que más te convenga o el que más fácil te resulte y utilízalo.

C. Intersección de 3 planos

Aunque ya hemos hecho algún ejemplo de intersección de 3 planos, haré un último caso, para que quede completamente claro. Como sabes, el resultado será un punto. Bueno, después de todo lo explicado en el artículo esto prácticamente no merece comentarios. Aun así aclararé que la recta I1 es la intersección de los planos B, P; que la recta I2 es la intersección de los planos B, Q. Y que el punto I es la intersección de las rectas I1, I2. Como comentario adicional puedes observar que la proyección horizontal del punto de intersección está contenido en la traza oblicua del plano proyectante Q. Debe ser así necesariamente. El punto I pertenece a los tres planos y, como sabes, para que un punto esté contenido en un plano proyectante una de sus proyecciones debe estar contenida en la traza oblicua a la línea de tierra. Como puedes comprobar, I pertenece a los 3 planos. Al final, las intersecciones son un ejercicio de pertenencia 🙂

Espero que te haya resultado útil el artículo y no haber defraudado tus expectativas. ¿Está suficientemente claro como para que nunca más se te olvide? Deja un comentario si tienes alguna duda o quieres hacerme saber algo. Si lo compartes a través de las redes sociales te estaré muy agradecido. No te pierdas ningún artículo: suscríbete a la lista de correo y recibe cada nuevo artículo en tu bandeja de entrada.