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Tangencias: los 3+1 “SIEMPRES” y los 8 casos

Tangencias

¿Eres de los que han visto siempre las tangencias y nunca las han entendido? ¿Te gustaría conocer todo lo necesario para resolver cualquier tangencia que se te presente, de manera rápida, segura y precisa?

Entonces has dado con el artículo adecuado porque te voy a desgranar los misterios de las tangencias para que no vuelvas a tenerles miedo ni dudes nunca más.

¿Tangencias? Sí, por favor, ¡adelante!

Este es el segundo artículo de una serie de 3, publicados durante 3 jueves consecutivos. No dejes de consultar los otros dos: polar, eje y centro radical y aplicaciones prácticas de las tangencias (aún por llegar).

Los 3+1 “SIEMPRES”

A continuación te daré las 3 reglas básicas que se cumplen SIEMPRE y sin las cuales no puedes hacer nada en Tangencias y un bonus que deberás tener en cuenta:

  1. En todo ejercicio de Tangencias deberás indicar SIEMPRE indicar el Punto de Tangencia y el Centro de las Circunferencias tangentes. Un ejercicio de tangencias no está resuelto hasta que se indican estos elementos. ¡No lo olvides! ¡No hay excusa! Los ejercicios de tangencias son precisos. No vale un “más o menos por aquí está el punto de tangencia”.
  2. Dos circunferencias tangentes tienen SIEMPRE sus centros alineados con el Punto de Tangencia. Es así, sin más.
  3. El Punto de Tangencia de una recta con una circunferencia se encuentra SIEMPRE en la perpendicular a la recta tangente que pasa por el centro de la circunferencia.

Verás que esto se cumple indiscutiblemente en los siguientes casos y ejercicios que te planteo. Apréndete bien estas 3 reglas y, sobre todo, aplícalas. Son la base de los siguientes 8 casos generales de tangencias y sus subcasos. Allá va el bonus:

  1. Bonus +1: Comprueba SIEMPRE todas las posibilidades. Cuando creas que has resuelto un ejercicio de Tangencias, comprueba que no haya más soluciones posibles. Si hay que hacer bisectriz, comprueba todos los ángulos del encuentro. Si hay que hacer paralela, prueba a hacerla por ambos lados de la recta. Si hay que sumar un radio, prueba a restarlo. Es muy común que hagas un ejercicio y te dejes una de las soluciones sin mirar. A mí me ocurre. No eches a perder un ejercicio que sabes hacer por un despiste.

Ahora veamos los diferentes casos de tangencias, desde los más sencillos a los más complicados. En el próximo artículo de la serie los aplicaremos a ejercicios prácticos característicos de las Pruebas de Acceso a la Universidad.

1. Rectas tangentes a circunferencia

1.1. Recta tangente a circunferencia pasando por un punto de tangencia T

Esto es extremadamente sencillo. Une T con el centro de la circunferencia O y dibuja una perpendicular por T.

1.2. Rectas tangentes a circunferencia según una dirección de tangencia

Dibuja una perpendicular a la dirección que pase por el centro de la circunferencia y obtendrás los puntos de tangencia T. Dibuja la rectas tangentes. ¡Son dos!

01_tangencias-recta-

1.3. Recta tangente a circunferencia pasando por punto exterior A

Este caso lo vimos en el anterior artículo de la serie. Hay que obtener la polar del punto y la circunferencia. Para ello hay que encontrar el punto medio M del segmento O-A mediante su mediatriz y dibujar una circunferencia con centro en M y radio M-O. La intersección de esta circunferencia con la dada define los Puntos de Tangencia T. Dibuja las perpendiculares a las rectas tangentes por el punto T y comprueba que pasan por el centro de la circunferencia.

La polar sería la recta de unión de ambos puntos de tangencia, pero en este caso no la necesitamos.

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2. Rectas tangentes a 2 circunferencias

2.1. Rectas tangentes exteriores a 2 circunferencias

Este ejercicio también lo vimos cuando necesitábamos hallar el eje radical de 2 circunferencias pero aquí lo explico paso a paso.

  • Une los centros de las circunferencias.
  • Resta el radio de la menor al de la mayor. Esto se hace tomando con el compás el radio de la circunferencia menor y, con esa medida, pinchar en el extremo del diámetro de la circunferencia mayor. Tomar la medida hacia el interior.
  • Dibuja la circunferencia resultante de la resta anterior, que será más pequeña que la original, claro.
  • Haz la mediatriz del segmento O1-O2 que une los centros de las circunferencias.
  • Desde el punto medio M, traza una circunferencia con radio M-O1. Esto te dará dos puntos de intersección (1, 2) con la circunferencia que has obtenido anteriormente.
  • Une el centro de la circunferencia con dichos puntos de intersección 1, 2 y prolóngalo hasta que corten a la circunferencia. Así obtendrás los puntos de tangencia con la circunferencia mayor T1 y T2
  • Traza sendas rectas paralelas a O1-T1 y a O1-T2 pasando por el centro de la circunferencia menor O2. Recuerda: las paralelas deben estar por el mismo lado de los centros. Así obtienes los puntos de tangencia con la circunferencia menor T3 y T4.
  • ¡Dibuja las rectas tangentes exteriores!

Este es un ejercicio un poco laborioso pero fácil de mecanizar. Te lo explico gráficamente.

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2.2. Rectas tangentes interiores a 2 circunferencias

Es muy similar al anterior. Sólo tendrás que aprenderte las pequeñas variaciones, que te indico en negrita.

  • Une los centros de las circunferencias.
  • Suma el radio de la menor al de la mayor. Esto se hace tomando con el compás el radio de la circunferencia menor y, con esa medida, pinchar en el extremo del diámetro de la circunferencia mayor. Tomar la medida hacia el exterior.
  • Dibuja la circunferencia resultante de la suma anterior, que será más grande que la original, claro.
  • Haz la mediatriz del segmento O1-O2 que une los centros de las circunferencias.
  • Desde el punto medio M, traza una circunferencia con radio M-O1. Esto te dará dos puntos de intersección (1, 2) con la circunferencia que has obtenido anteriormente.
  • Une el centro de la circunferencia con dichos puntos de intersección 1, 2 y prolóngalo hasta que corten a la circunferencia. Así obtendrás los puntos de tangencia con la circunferencia mayor T1 y T2
  • Traza sendas rectas paralelas a O1-T1 y a O1-T2 pasando por el centro de la circunferencia menor O2. Recuerda: las paralelas deben estar por el lado opuesto de los centros. Así obtienes los puntos de tangencia con la circunferencia menor T3 y T4.
  • ¡Dibuja las rectas tangentes interiores!

 

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3. Circunferencias tangentes a recta

Dados el punto de tangencia y el radio

Dibuja una paralela a la recta con una distancia igual al radio. Dibuja la perpendicular a la recta por el punto. En el punto de corte de ambas rectas obtienes el Centro O de la circunferencia tangente.

Aquí tendrás que aplicar el bonus +1 que te he explicado anteriormente. Fíjate que existen dos rectas paralelas a la dada con una distancia determinada. No lo olvides, ¡dibuja las 2 soluciones!

05_tangencias-circunferencias-

 

4. Circunferencias tangentes a 2 rectas

Una circunferencia tangente a 2 rectas SIEMPRE tiene su centro en la bisectriz del ángulo que forman las rectas. Así que, ese es el primer paso para ambos casos.

4.1. Circunferencias tangentes a 2 rectas por un punto de tangencia

Traza una perpendicular a la recta dada por el punto de tangencia T. La intersección de esta perpendicular con la bisectriz define el centro de la circunferencia. No te olvides de todas las soluciones posibles, ¡son dos! Y dibuja el punto de tangencia sobre la otra recta.

4.2. Circunferencias tangentes a 2 rectas dado el radio

Dibuja las paralelas a ambas rectas por ambos lados a una distancia igual al radio. La intersección de estas rectas determina los centros de la circunferencia. Deberán coincidir con las bisectrices. Dibuja los puntos de tangencia.

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5. Circunferencias tangentes a otra dada

Dados el punto de tangencia T y el radio R

Une el centro de la circunferencia O con el punto de tangencia T. Para dibujar la circunferencia tangente exterior, SUMA el radio dado al de la circunferencia. Para ello toma la medida del radio R con el compás y ponla a continuación del radio dibujado. Esto determinará el centro de la circunferencia tangente exterior

Para dibujar la circunferencia tangente interior, RESTA el radio dado al de la circunferencia. Lleva la medida del radio R hacia el interior de la circunferencia y obtendrás el centro de la circunferencia tangente.

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6. Circunferencias tangentes a recta y circunferencia.

Estos son ejercicios en los que se empieza a sumar casos de los anteriores. Si los has entendido bien, no tendrás problema con estos.

6.1. Circunferencias tangentes a recta y circunferencia dado el radio R

Dibuja las rectas paralelas a la dada a una distancia R. Suma y resta el radio R al de la circunferencia dada y dibuja las circunferencias concéntricas resultantes. Los puntos de intersección de las rectas paralelas dibujadas con las circunferencias concéntricas determinarán los centros de las circunferencias. No te olvides de dibujar los puntos de tangencia.

6.2. Circunferencias tangentes a recta y circunferencia dado el punto de tangencia T sobre la circunferencia

Une el centro de la circunferencia con el punto T y traza la recta tangente por dicho punto. Prolonga esta tangente hasta que corte a la recta dada. Halla la bisectriz de los ángulos formados por dicha intersección. Los puntos de intersección de las bisectrices con la recta O-T definen los centros de las circunferencias tangentes.

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6.3. Circunferencias tangentes a recta y circunferencia dado el punto de tangencia T sobre la recta

Aquí necesitamos aplicar los conocimientos adquiridos en el artículo sobre centro radical. Tenemos que hallar el Centro Radical de 2 circunferencias y una recta. La circunferencia que nos falta es una auxiliar que será tangente a la recta en el punto T dado.

  • Traza una recta perpendicular a la recta dada por el punto T. En esa recta estarán los centros de las circunferencias tangentes.
  • Halla el eje radical de la circunferencia dada y la recta. Como vimos, este eje radical coincide con la propia recta, por lo que no tienes que hacer nada =)
  • Halla el eje radical de la circunferencia dada con la circunferencia auxiliar de centro CA. Para simplificar el dibujo es recomendable que la circunferencia auxiliar que utilices sea secante a la dada, puesto que los puntos de intersección definirán el eje radical.
  • El Centro Radical CR se encuentra, por tanto, en el punto de corte de los ejes radicales anteriores.
  • Con centro en el Centro Radical (CR) y radio CR-T, traza un arco que corte a la circunferencia dada en los puntos de tangencia T1 y T2.
  • Hallar los centros de las circunferencias tangentes. Para ello, une los puntos de tangencia T1 y T2 con el centro de la circunferencia dada y prolonga dichas rectas hasta que corten a la perpendicular por T en los puntos C1 y C2.
  • ¡Hecho! Un poco laborioso pero muy bonito.

 

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7. Circunferencias tangentes a 2 circunferencias

7.1. Circunferencias tangentes a 2 circunferencias dado el radio R

Suma y resta el radio R a cada una de las circunferencias dadas. Dibuja las circunferencias concéntricas resultantes. Los puntos de corte de dichas circunferencias concéntricas determinan los centros de las circunferencias tangentes. No te olvides de dibujar los puntos de tangencia.

Este ejercicio puede tener desde 1 a 8 soluciones. Si las circunferencias son exteriores y el radio R no es lo suficientemente largo, este ejercicio no tendría solución.

En este caso nos salen 2 soluciones, sólo las circunferencias tangentes exteriores.

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7.2. Circunferencias tangentes a 2 circunferencias dado el punto de tangencia T sobre una de ellas

Aquí volvemos a necesitar hallar el Centro Radical de las dos circunferencias dadas y una tercera auxiliar que es tangente a la dada en el punto T.

  • Unir el punto de tangencia T con el centro de la circunferencia O1 al que pertenece. Sobre esta recta se encontrarán los centros de las circunferencias tangentes.
  • El Eje Radical de la circunferencia auxiliar con centro en CA y la circunferencia de centro O1 es la recta tangente por el punto T.
  • Halla el Eje Radical de las 2 circunferencias dadas según el ejercicio que vimos en el artículo anterior. (Truco: si consigues hacer una circunferencia auxiliar que sea tangente a la circunferencia de centro O1 por el punto T y secante a C2, el eje radical de la circunferencia auxiliar y C2 es muy sencillo. Sólo tienes que unir los puntos de corte. En este caso no he podido hacerlo, sale demasiado grande la circunferencia)
  • El Centro Radical CR se encuentra en la intersección de los Ejes Radicales. Traza un arco con centro en el Centro Radical CR y radio CR-T que cortará a la otra circunferencia en los puntos de tangencia T1 y T2.
  • Une T1 y T2 con C2 y prolonga las rectas hasta cortar a la recta C1-T, para obtener los centros de las circunferencias tangentes.
  • Dibuja las circunferencias y ¡listo!

 

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8. Enlace de 2 circunferencias mediante 2 arcos de circunferencia tangentes entre sí.

Realizaremos este enlace aplicando la media proporcional.

  • Unir los centros de las circunferencias dadas
  • Trazar por cada uno de los centros el diámetro perpendicular a la recta anterior.
  • Unir los extremos de los diámetros que queremos enlazar (1, 2). Esto nos dará el punto de tangencia T donde los dos arcos se enlazarán.
  • Hacer la mediatriz de los segmentos 1-T y T-2. El punto de corte con los diámetros dibujados anteriormente determina los centros de los arcos enlace.

 

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¿Has tenido suficiente?

¡Pues aún te queda un tercer artículo en esta serie!

Verás, vas a ser un maestro de las tangencias, no va a haber problema que se te resista. Apréndete bien esta teoría, porque es una joya. Ya me habría gustado a mí recibirla así de clara y ordenada.

Bueno, ¡hasta la próxima!

No te olvides de visitarme en las redes sociales.

 

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3 Responses to Tangencias: los 3+1 “SIEMPRES” y los 8 casos

  1. Eduardo November 28, 2015 at 12:07 pm #

    Buenas!
    Estoy en 1º Bach y este post me ha ayudado mucho.
    Tengo un ejercicio en el que me dan tres circunferencias, sin ningún punto de tangencia y no se como resolverlo, tengo que encontrar todas las posibles circunferencias tangentes a las otras tres ya dadas
    Ayuda!

  2. Javi January 4, 2016 at 9:39 pm #

    Estoy en 1º Bach y en un ejercicio me pide dibujar lass circunferencias que tienen el mismo eje radical que las que tienen por centro A y B y tangentes a la recta r. Apareció en Selectividad por si alguien encuentra el exame. El eje redical de las dos circunferencias dadas es facil èro como se haria. Tambien he hallado la linea de los centros pero no se dibujar lo que pide

  3. ARPITA June 2, 2016 at 10:29 am #

    disculpen esta pagina de tangencias en la referida a problemas de apolonio_
    Muchas gracias, excelente pagina

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