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Secciones en Sistema Diédrico: poliedros y cuerpos de revolución

Feata

Tengo ahora mismo una agradable sensación de satisfacción.

Hace unos minutos he terminado el artículo que tienes ante ti y me parece que no me equivoco si digo que es el más extenso hasta el momento. Más de 7.000 palabras y más de 40 dibujos. Ha sido mucho trabajo, muchísimo, pero sé que merece la pena y tengo la impresión de que será un artículo MUY ÚTIL PARA MUCHA GENTE. Y esto me hace sentir muy bien. Quiero que cada uno de vosotros, cada uno de los que sigue mi blog sea capaz de sacar un 10 en dibujo.

Selectividad está a la vuelta de la esquina y vamos a dar lo mejor de nosotros mismos.

¡A por ello!

Pero antes de nada, te voy a poner la canción que más me ha acompañado durante la elaboración y que me trae muy buenos recuerdos: “Girl you are amazing, just they way you are”… que viene a ser algo así como “chica eres impresionante, sencillamente como eres”. Quizá te guste a ti también… o quizá no 🙂

Secciones en sistema diédrico

El tema de las secciones es en mi opinión uno de los más apasionantes del sistema diédrico. En primer lugar me parece muy divertido poder modificar un objeto volumétrico a mi antojo; elijo el plano que quiero y corto una pirámide, un cono o un prisma. En segundo lugar las secciones son algo muy tangible, muy intuitivo; es fácil imaginarse un corte en un trozo de queso, en una longaniza o en una naranja. Todo esto son cuerpos reales a los que les podemos hacer cortes reales. Dejamos atrás abstracciones como los puntos o las rectas con sus puntos traza para pasar a objetos físicos de nuestro entorno.

Es muy conveniente que aprendas las secciones bien, especialmente si te vas a dedicar a una carrera técnica, porque es algo que te acompañará siempre. Dependiendo de qué carrera elijas, tendrás que hacer secciones en edificios para ver cómo funcionan por dentro, en terrenos para ver qué desniveles tienen, en piezas mecánicas para ver cómo se fabrican… Por eso voy a intentar explicarlos de la manera más completa, sencilla y precisa posible.

Seccion Proyecto Fin de Carrera

¿Qué nos piden cuando tenemos que hacer una sección?

Cuando nos piden dibujar una sección normalmente nos dan un cuerpo de caras planas (poliedros: pirámide, cubo, prisma…) o de revolución (cono, cilindro, esfera) y nos dan también un plano por el que tenemos que cortar ese cuerpo.

01_Secciones sistema diedrico.Enunciados tipo

El objetivo es que dibujes el corte que realizaría el plano en ese poliedro. Dicho de otra manera, se trata de que encuentres los puntos que tienen en común el plano y el cuerpo. Esto lo podemos conectar directamente con temas de los que ya hemos hablado como intersecciones de planos o de rectas con planos, en los que igualmente se trataba de encontrar los puntos que eran comunes a ambos elementos. Así que utilizaremos razonamientos similares.

Una vez que encuentras las dos proyecciones de la sección es muy probable que te pidan que encuentres su verdadera magnitud. Puesto que se trata de una sección plana (realizada por un plano) podrás encontrar la verdadera magnitud por abatimiento de ese plano.

En algunos de los ejercicios que explicaré dejaré solo indicada la sección con sus proyecciones y en otros encontraré la verdadera magnitud. En tu caso, lee con detenimiento el enunciado para ver exactamente qué te piden.

1. Secciones de poliedros

En primer lugar estudiaremos los poliedros (cuerpos facetados, es decir, con caras planas) y luego pasaremos a los cuerpos de revolución. Vamos con el tipo de plano más sencillo.

1.1. Sección por plano de perfil

La sección por un plano de perfil siempre produce dos proyecciones en sistema diédrico que son rectas coincidentes con las trazas del plano que empiezan y acaban junto con el contorno aparente de la pieza.

Como sabes por este artículo de planos, cualquier elemento contenido en un plano de perfil tiene sus proyecciones sobre las trazas, así que el único objetivo es encontrar la verdadera magnitud.

Pirámide recta

La sección en proyecciones diédricas la puedes ver en el dibujo como dos rectas perpendiculares a la línea de tierra y esas son las que tenemos que abatir. Como ves, los extremos de las líneas rojas (sección) coinciden con el contorno aparente de la pirámide.

02_Seccion plano perfil piramide

CONSEJO

Para abatir correctamente esta sección te recomiendo que pongas nombres a los vértices y que, de manera ordenada vayas llevando el corte de cada arista al abatimiento.

Por ejemplo: Puedes ver en proyección horizontal que la traza P está cortando a la arista a-b en el punto que he denominado 1. La proyección vertical de este punto 1 se encuentra en la arista a’-b’ que es una arista sin altura, es decir, situada en la línea de tierra. Por tanto, llevaré el punto 1 al plano de perfil (abatimiento) utilizando el punto O como centro del arco de circunferencia y lo dejaré en la línea de tierra porque su cota=0.

Así iremos haciendo sucesivamente con el resto de los 4 puntos de la sección.

El punto 2 en proyección horizontal corta a la arista b-v así que, como puedes ver en proyección vertical, este punto sí tiene altura. Fíjate en que la arista b-v es parte del contorno aparente de la pirámide en proyección vertical. Llévalo al perfil usando el mismo camino que antes hasta encontrar el punto (2)

03_Seccion plano perfil piramide

El punto 3 contenido en la arista C-V tiene altura y se hace igual que el 2, mientras que el punto 4 se hace igual que el 1 porque no tiene ninguna altura. Con los 4 puntos abatidos y unidos en el orden correcto tienes la ¡¡sección de la pirámide por el plano de perfil!!

Este es uno de los ejercicios más sencillos pero he querido explicarlo con todo detalle porque si entiendes este tenemos mucho camino recorrido. Es la esencia de las secciones. Básicamente se trata de encontrar el punto de intersección de las aristas con el plano. Repasa el ejercicio hasta que estés seguro de que lo has comprendido.

Vamos con otro.

Pero ya el último, que hay muchas secciones que ver 🙂

Un tetraedro apoyado sobre una arista

Aquí tenemos un caso singular. Como ves en la proyección horizontal, existen 3 puntos en los que la traza horizontal corta al tetraedro. No obstante, si te das cuenta, el punto central está cortando 2 aristas simultáneamente. ESO ES LO QUE NOS INTERESA: las aristas cortadas.

El punto 1 en proyección horizontal pertenece a la arista c-d y se encuentra a una altura media en proyección vertical. Del punto 3 tampoco hay dudas: en proyección horizontal pertenece a la arista a-b y en proyección vertical esta arista a-b es inclinada. En proyección vertical, los puntos 1’ y 3’ casi son coincidentes.

04_Seccion plano perfil tetraedro

Como puedes comprobar, por el momento solo hemos definido los puntos 1’ y 3’ y estos se corresponden con puntos centrales de la sección en proyección vertical. Para que la sección se complete necesitamos dos puntos más, uno arriba que es el 2’(corte con la arista d’-b’) y otro abajo que es el 4’ (corte con la arista a’-c’). Ahora tenemos que encontrar la proyección horizontal de estos puntos y vemos las aristas b-d y a-c se cortan en un punto que coincide con la traza.

De esta manera hay que llevar los puntos 2 y 4 al abatimiento por el método general y ya tendremos la sección en verdadera magnitud.

05_Seccion plano perfil tetraedro

1.2. Sección por plano horizontal o frontal

Estos son probablemente los más sencillos y directos, incluso más que los de perfil, ya que obtenemos la verdadera magnitud directamente. Como podrás comprobar, el método a utilizar es el mismo: ver cuáles son los puntos de corte de las aristas con el plano de sección y nuevamente el CONSEJO es el mismo: nombra los vértices y lleva cada punto de manera ordenada.

Veamos el caso más fácil que se me ocurre.

Cortamos esta pirámide por un plano horizontal en primer lugar y por un plano frontal en el segundo.

En el primer caso, el plano horizontal P corta a la arista a’-v’ en el punto 1’. Este baja hasta encontrar su proyección horizontal en la arista a-v. Siguiente punto de corte, el punto 2’ que está en la arista b’-v’ baja hasta la arista v-b y obtenemos su proyección 2. De igual manera la traza P’ del plano corta a la arista c’-v’ en el punto 3’ que tiene su proyección horizontal 3 en la arista c-v.

Nada más sencillo, ¿no?

Encuentras los puntos donde el plano corta a las aristas y hallas su proyección horizontal.

06_Seccion piramide plano paralelo

En el caso del plano frontal es exactamente lo mismo. La traza del plano P corta a la pirámide en los puntos 1, 2, 3 y 4. El punto 1 pertenece a la arista a-b por lo que su proyección vertical estará en la arista a’-b’. De igual manera se obtienen el resto de puntos y la sección definitiva.

Prisma con bases paralelas a un plano de proyección

Ahora vamos a ver el caso de este prisma de base rectangular con las bases paralelas al plano vertical de proyección.

Como ves, el plano horizontal P corta al prisma en las aristas a’-b’ y b’-c’. Estos dos puntos de corte ya los podemos llevar a su posición en proyección horizontal. Puesto que se trata de un prisma, tiene dos bases y estas se ven superpuestas en proyección vertical. Los dos puntos de corte van en proyección horizontal a las aristas a-b y b-c, pero también a la otra cara a1-b1 y b1-c1.

06.2_Seccion prisma  plano horizontal

Así obtenemos el rectángulo de la sección.

Pirámide con arista de perfil

Aparentemente esta pirámide es tan sencilla como los ejercicios anteriores pero esconde un punto de dificultad que ahora veremos. Como siempre, ponemos nombre a los vértices, desde el A hasta el F y el vértice V. Está claro que el plano corta a la pirámide en 1’, 2’, 3’, 4’, 5’. Los puntos 2 y 4 se encuentran directamente en las aristas a-v y c-v.

Por su parte, el punto 1’ se encuentra en la arista a’-f’ que como puedes comprobar es de punta, es decir que cualquier punto de la recta tendrá su proyección horizontal en un único punto, donde están a y f. Lo mismo le pasa al punto 5.

07_Seccion piramide plano horizontal

El punto complicado es el 3, porque al bajar con una recta perpendicular a la línea de tierra no corta a la arista b-c. En estos casos tenemos 2 formas de resolver el ejercicio:

a) Por cambio de plano (plano de perfil)

Colocaremos la arista B-V paralela al plano de proyección mediante un plano de perfil. He dibujado el cambio de plano completamente con la arista E-V porque quizá te resulta más fácil de entender, aunque como ves no sería necesario. Cuando llevas la arista y el plano P al perfil obtienes directamente la posición del punto 3’’ en el perfil y así tienes su posición en altura. Ahora solo tienes que llevarlo a la proyección horizontal.

b) Por giro

Gira 90º la arista B-V alrededor de un eje de punta que pasa por V. Esto la situará en paralelo a la línea de tierra. Gira asimismo el punto de intersección 3’. El giro del punto B produce en proyección horizontal un desplazamiento horizontal hasta hacerlo coincidir con la vertical desde 3’. Sobre esta arista girada b1-V sí puedes llevar el punto 3 girado hasta su posición 3’’. Solo falta llevarlo a la proyección horizontal 3.

08_Seccion piramide plano horizontal

Al igual que con los planos de perfil prefiero explicar este tipo de movimientos con todo el detalle posible para que posteriormente no tengas dudas en ejercicios más complejos. Si no has entendido algo, vuelve a leerlo y mirar los dibujos hasta que te quede claro, porque merece la pena. Si aun así hay algo que no está claro, siempre puedes preguntarme.

1.3. Sección por plano proyectante

Poco a poco vamos entrando en el meollo de las secciones. Como ves, es un tema amplio. Si necesitas, ve a tomarte un respiro porque aún nos queda un tironcillo 🙂

Los planos proyectantes siguen siendo parte de los casos sencillos de secciones ya que una de las proyecciones se ve como una recta y es directa.

La siguiente sección de pirámide la resolveremos de dos maneras diferentes.

Método 1: Por aristas

Es el que hemos usado antes y es el más común que verás explicado en libros. Buscamos los puntos en los que la traza vertical del plano corta a las aristas de la pirámide. Así tenemos los puntos del 1’ al 5’ que tienen sus proyecciones horizontales bajando directamente en vertical hasta las aristas a-v para el punto 1, b-v para el punto 2 y así sucesivamente.

09_Seccion piramide plano proyectante

Método 2: Por homología

Encontramos un punto de la sección, por ejemplo el punto 1 en proyección horizontal y a partir de ahí vamos deduciendo el resto de puntos por homología. Veamos cómo:

En esta homología, los puntos 1 y a son homólogos, la traza horizontal P del plano es el eje y el punto v es el centro de homología.

Una vez que tienes la proyección horizontal de 1, para conseguir el siguiente punto de la sección podemos buscar la recta homóloga de a-e, así que la prolongamos hasta el eje (traza P) y lo unimos con el punto 1. Esto nos dará el punto de corte 2 en la arista b-e e incluso la recta de corte en la superficie.

Para el punto 3 solo tienes que prolongar a-b hasta la traza P y unirlo con 1.

Los puntos 4 y 5 se conseguirían lo mismo, siempre partiendo de puntos conocidos de la sección. Este segundo método que te he contado no es muy usual pero realmente es cómo en determinadas circunstancias.

Veamos otro ejemplo

En esta pirámide es fácil encontrar cuatro de sus puntos de corte, todos menos el 5 porque se encuentra en una arista de perfil. Podemos utilizar los dos métodos descritos anteriormente para solucionarlo (plano de perfil o giro) pero también podemos usar la homología como acabamos de ver.

10_Seccion piramide plano proyectante

Sinceramente esto es bastante más sencillo que el giro y el cambio de plano y, además, más preciso, porque te da directamente la inclinación de la recta de corte.

Bueno, pues, ejemplos de secciones por planos proyectantes hay tantos como te puedas imaginar pero todos se resuelven con los métodos descritos hasta ahora.

1.4. Sección por plano paralelo a la línea de tierra

El método sencillo, directo, rápido e inmediato es, en este caso, llevar todo al plano de perfil, evidentemente 🙂

Llega aquí el primer caso curioso. Aparentemente este plano no corta a la pieza ya que ninguna de las trazas corta a las proyecciones del prisma. En cambio, si dibujamos el plano de perfil… voila! Ahí lo tenemos. El plano corta completamente a la pieza.

11_Seccion prisma plano paralelo a linea de tierra

Una vez que tanto el plano como la pieza están en el perfil (acuérdate de poner nombre a los vértices para no equivocarte) es fácil hacer el corte como si fuera un proyectante. Cada punto de la sección tiene que ir a su correspondiente posición en las proyecciones horizontal y frontal.

Empecemos con la proyección vertical: Los puntos extremos de la sección en proyección vertical los determinan 1’’ y 4’’. El plano corta a la arista B que está en la parte superior. Esto quiere decir que en la proyección vertical se verá ese punto como cortado. Lo mismo ocurre con las aristas A y C con los puntos de corte 2’’ y 3’’. Por último, el límite por abajo lo define 4’’ y como puedes ver el plano está cortando la base delantera del prisma, es decir, la cara a2-b2-c2-d2. Por tanto, cortará a las dos aristas que pasan por D, que son A-D y D-C (casi como el grupo de rock) en una línea horizontal.

Para la proyección horizontal nos llevamos los puntos 1’’, 2’’ y 3’’ desde el perfil hasta su arista correspondiente B, A y C respectivamente. El punto 4 que, como hemos visto, son en realidad dos puntos, se situará en la cara delantera. Para definir su posición en anchura la puedes bajar desde la proyección vertical.

Y así queda resuelta la figura.

12_Seccion prisma plano paralelo a linea de tierra

Retomamos de nuevo el tetraedro del principio para ver otro ejemplo.

Lo primero que hay que hacer es llevar tanto el plano como el tetraedro al perfil. Si eso lo haces bien, tienes el 70% del ejercicio resuelto. Sé cuidadoso.

13_Seccion tetraedro plano paralelo a linea de tierra

Con esto hecho, solo tienes que marcar los puntos de corte con aristas en el plano de perfil, que son 1”, 2” y 3” y llevarlos a las proyecciones. El 1” se va en paralelo a la línea de tierra hasta la arista a’-b’ y luego baja en perpendicular para obtener su proyección horizontal, ahora sobre a-b. El punto 2 hace el mismo recorrido hasta la arista A-D.

Puesto que el 3 está sobre el suelo y no puede cortar a su arista A-C lo llevaremos por la proyección horizontal primero. Ahí sí corta a la arista a-c en 3 y lo subimos hasta la línea de tierra en el punto 3’.

14_Seccion tetraedro plano paralelo a linea de tierra

Como te había dicho, una vez que estaba hecho el plano de perfil correctamente esto era de lo más sencillo.

1.5. Sección por plano oblicuo

Esto ya son palabras mayores 🙂

En realidad, si has seguido el artículo completo y tienes los conocimientos básicos que he ido poniendo en 10endibujo verás que no te cuesta tanto como puede parecer. ¡Vamos!

Para hacer la sección de un sólido por un plano oblicuo te voy a dar 3 métodos que funcionan perfectamente en todos los casos y además te voy a dar 2 trucos de regalo.

Método #1 para seccionar un poliedro: Por cambio de plano

El cambio de plano es el método estrella para hacer una sección por plano oblicuo, funciona siempre y es muy sencillo.

Esto es tan sencillo como poner las cosas a nuestro favor. Si me dan un plano oblicuo y, la verdad, no me da mucha información, cambio mi punto de vista y me pongo a mirar el plano en una posición más favorable.

Con un plano oblicuo, el mejor cambio de plano posible es aquel en el que el plano se ve como proyectante.

Para conseguir esto podemos hacer un cambio de plano horizontal o vertical. Veamos el caso más sencillo de una pirámide. Tú ya sabes cómo se hace un cambio de plano, ¿verdad?

Cambio de plano de la pirámide

Por si no lo recuerdas, para poner un plano como proyectante tenemos que poner la nueva línea de tierra perpendicular a una de las trazas del plano. En este caso, yo la pongo perpendicular a la traza horizontal P del plano. Para cambiar de plano la pirámide tengo que llevar cada punto en proyección horizontal (a, b, c, d, e, V) hacia la nueva línea de tierra en perpendicular a esta. Por último tengo que colocar la altura de cada punto en la nueva línea de tierra para obtener las nuevas proyecciones (a”, b”, c”, d”, e”, V”). En nuestro caso, todos los puntos tienen cota cero (por lo que su nueva proyección vertical estar en la línea de tierra) salvo el punto V, que tiene una altura que he definido como “Hv” y es la que ponemos en la nueva línea de tierra.

15_Seccion piramide plano oblicuo

Cambio de plano del plano

Para cambiar de punto de vista el plano solo tengo que tomar un punto de la traza vertical M(m’-m) y encontrar su nueva proyección m” gracias a la cota “Hm”. Una vez obtenido m” puedes unirlo con el punto de intersección de P con la nueva línea de tierra y obtienes P”, es decir, la nueva traza vertical del plano.

Una vez que tenemos el plano P como proyectante vertical y la pirámide también en el cambio de plano, podemos hacer la sección como hemos visto en el apartado anterior 1.4. Vemos cada punto de corte de la traza vertical P” con las aristas y los llevamos a la proyección horizontal.

16_Seccion piramide plano oblicuo

Tenemos nuevamente el inconveniente de una arista de perfil, la B-V. Como hemos visto, la manera más rápida e inmediata de resolverlo es por homología, así que lo hago de esta manera, apoyándome en la arista A-B.

El último paso será encontrar la proyección vertical de la sección.

17_Seccion piramide plano oblicuo

Quizá a ti te pidan encontrar la verdadera magnitud de la sección, así que te tocaría hacerla ahora, pero a mí no, porque yo mismo he definido el enunciado 🙂 Solo tendrías que hacer el abatimiento del plano oblicuo, como siempre. En ocasiones también te pueden pedir que rellenes la sección con un rayado.

Por si no ves claramente la pieza seccionada, aquí te la dejo limpia de líneas auxiliares y con la sección rayada.

18_Seccion piramide plano oblicuo rayada

Como te decía, el método del cambio de plano funciona siempre, así que, si quieres, puedes dejar de leer esta Sección 1 de poliedros y pasar a los cuerpos de revolución. De todas formas no te lo recomiendo, porque en ocasiones no será necesario hacer un cambio de plano y puedes ahorrarte mucho tiempo.

¡Ah! Y lo mismo que hemos hecho con un cambio de plano vertical puedes hacerlo con uno horizontal. Estúdiate bien el tema de cambios de plano porque es una estrategia muy útil.

Método #2 para seccionar un poliedro: Por aristas contenidas en planos

Este método está basado en las intersecciones de rectas con planos. En este caso, la arista es la recta y el plano de sección el plano dado.

Lo que tienes que hacer es contener una arista en un plano cuya intersección con el plano dado sea fácil.

Tomamos el mismo ejemplo de la pirámide.

Si nosotros contenemos la arista C-V en un plano proyectante Q, podemos hacer fácilmente la intersección de este plano Q con el plano P que nos dan. La intersección de dos planos es una recta, en nuestro caso, la recta I(i’-i) de intersección. La intersección de esta recta I(i’-i) con nuestra arista C-V será la intersección del plano P con la arista C-V y, por tanto, uno de los vértices de nuestra sección.

Veámoslo gráficamente.

19_Seccion piramide plano oblicuo

He introducido la recta C-V en un plano proyectante vertical Q: traza vertical perpendicular a la línea de tierra y traza horizontal oblicua, coincidente con la proyección horizontal de la arista c-v. A continuación he encontrado la intersección de los planos P, Q. El punto en que la proyección vertical de i’ corta a c’-v’ es un punto de la sección que podemos bajar a su proyección horizontal en la arista c-v.

Sencillo, ¿no?

Ahora podemos repetir el ejercicio con las otras 4 aristas de la pirámide o utilizar el método de homología en proyección horizontal para encontrar la sección. Puesto que este apartado está dedicado a los planos que contienen rectas, seguiré usando el mismo método.

  • El plano U contiene a la arista B-V y la recta de intersección J es la intersección de U,P.
  • El plano W contiene a la recta D-V y la recta de intersección K es la intersección de W,P.

20_Seccion piramide plano oblicuo

  • El plano X contiene a la arista E-V.
  • Con la arista A-V tenemos un pequeño inconveniente y es que la intersección con el plano P sale muy lejos del dibujo. Podemos utilizar un método alternativo para encontrar la sección mediante un plano auxiliar, podemos hacer el cambio de plano solo para esa arista o podemos facilitarnos la vida utilizando la homología. Me decido por esta última opción 🙂

21_Seccion piramide plano oblicuo

Con esto queda hecha la sección y puedes comprobar que sale exactamente igual que con el primer método de cambio de plano.

Método #3 para seccionar un poliedro: Por planos que contienen caras

Este método funciona perfectamente igual que los anteriores, pero tiene el inconveniente de que puede ser complicado contener una cara en un plano. Por eso este método está especialmente indicado cuando las caras sean perpendiculares a los planos de proyección. En estos casos, podremos contener la cara completa en un plano proyectante y el ejercicio será sencillo.

En el caso de pirámides, por ejemplo, las caras no suelen estar paralelas a los planos de proyección. Por tanto habría que contener las caras en planos oblicuos y el tiempo y la cantidad de líneas que supone hacer esto no merecen la pena.

Veamos un caso en el que es recomendable aplicar este método:

Los prismas

Si en el siguiente prisma de base pentagonal contengo la cara vertical que pasa por los puntos A, E en un plano proyectante horizontal Q y hago la intersección de P, Q, estaré obteniendo la recta completa de intersección I(i’-i) de dichos planos. Solo me tengo que quedar con el tramo correspondiente a la cara del prisma (remarcada en rojo)

22_Seccion prisma plano oblicuo

  • El plano U contiene a la cara E-D y su intersección J con el plano P da la intersección en esa cara.
  • El plano V contiene a la cara C-D y su intersección K es parte de la sección del prisma.

23_Seccion prisma plano oblicuo

¿Te das cuenta cómo van coincidiendo las rectas de sección de cada cara unas con otras? Se va formando lógicamente una sección continua.

Hasta ahora hemos hecho la intersección de 3 caras con el plano P. Podríamos seguir con las otras dos pero quiero mostrarte una alternativa. De hecho, si hiciéramos contener las caras A-B y B-C en dos planos proyectantes, ambas intersecciones con el plano P quedarían lejos del dibujo. Para estos casos puedes utilizar el método 2 explicado anteriormente, que es contener una arista en un plano.

Puesto que ya conocemos los puntos de corte del plano P con las aristas A, C, D y E, solo nos faltaría conocer la intersección con la arista B. Pasamos entonces un plano W frontal (porque es el más sencillo) por la arista B y encontramos su intersección con el plano P.

La intersección de un plano oblicuo con un plano frontal es una recta frontal, que podemos dibujar a partir del punto de corte de sus trazas horizontales.

¡Aquí has de tener mucho cuidado!

No te quedes con toda la recta. Hemos contenido la arista vertical en un plano, por tanto la recta de intersección que obtenemos nos da un punto.

24_Seccion prisma plano oblicuo

Puesto que el plano P corta a todas las aristas verticales, la proyección horizontal de la sección coincide con el contorno del prisma. En el siguiente apartado te explicaré los trucos que te había prometido y comprobarás que hay casos en los que la sección no coincide con la proyección horizontal completamente.

Te dejo el plano P y la sección que le hace al prisma, sin líneas auxiliares. He quitado la parte superior.

25_Seccion prisma plano oblicuo

Truco nº1 para secciones de poliedros: la cara superior

En numerosas ocasiones tendrás que hacer la sección de un prisma o cualquier otro poliedro que esté limitado superiormente por una cara plana horizontal. Por ejemplo el caso del prisma anterior o de los que te indico a continuación.

Un buen punto de partida es encontrar la intersección de dicho plano horizontal con el plano P que nos dan. Si la recta de intersección corta la proyección horizontal de esa cara, ya tenemos 2 puntos de la sección. Si queda fuera de la cara, sabemos que la sección quedará cerrada más abajo.

Aunque pueda parecer confuso es útil para empezar. Veamos dos ejemplos, uno en el que corta a la cara superior y otro en que no.

En este primer ejemplo, el plano P corta a la cara superior. Hacemos contener esa cara en un plano Q horizontal, obtenemos la intersección de P con Q, que es la recta horizontal h. Esta corta a la cara superior del prisma en proyección horizontal en los puntos 1 y 2. Sube estos puntos a la proyección vertical porque son definitivos de la sección.

26_Seccion prisma plano oblicuo Truco

Ahora solo quedaría encontrar la intersección de la cara C-D (mediante plano proyectante U) con el plano P y tendríamos los puntos 3 y 4. Al unirlos con 1 y 2 obtenemos la sección definitiva.

Vamos con el segundo ejemplo.

En este caso, al seguir el mismo proceso anterior de contener la cara superior en un plano Q vemos que la recta de intersección h queda fuera de la proyección horizontal del prisma. Esto significa que el plano no corta la cara superior del prisma y simplemente tendremos que proceder según alguno de los métodos anteriores. Yo tomo el tercero, porque es más adecuado para prismas. Contengo dos caras verticales del prisma en sendos planos proyectantes y hago la intersección de estos planos con el plano P.

27_Seccion prisma plano oblicuo Truco

Truco nº2 para secciones de poliedros: caras apoyadas en los planos de proyección

Cuando tengas una cara completa de un poliedro sobre uno de los planos de proyección puedes estar seguro de que la sección que produce el plano pasará exactamente por la traza del plano.

En este caso, la base del prisma está apoyada en el plano horizontal y la traza horizontal P atraviesa la base, así que los puntos 1 y 2 pertenecen directamente a la sección. Para terminar de resolver el ejercicio meto las dos aristas verticales en planos frontales, lo cual da una recta de intersección frontal con el plano P.

28_Seccion prisma plano oblicuo Truco

Si en lugar de una cara es una arista, la sección pasará por el punto en que la traza toca a la arista. En el siguiente ejemplo, la arista A-C está contenida en el plano horizontal de proyección y la traza P la corta, así que el punto 1 de corte entre P y A-C es un punto de la sección.

¿Cuál sería el mejor método para resolver esta sección?

29_Seccion tetraedro plano oblicuo Truco

Bueno, ahora sí, una cocacola, ¡¡por favor!! 🙂

Tómate un respiro y sal a correr con tu pulsometro porque vamos con la Sección 2.

2. Secciones de cuerpos de revolución

2.1. El cono

Hablaremos en este artículo del cono recto, ya que es el más común a nivel de bachillerato. Aunque hay diferentes tipos de conos, daré aquí un método que servirá para resolver cualquiera.

En primer lugar vamos a definir las formas de las secciones que podemos tener en un cono:

  • Circunferencia: cuando el plano de sección es perpendicular al eje del cono.
  • Elipse: cuando el plano de sección es oblicuo al eje y no es paralelo a ninguna generatriz.
  • Parábola: cuando el plano de sección es paralelo a una única generatriz del cono
  • Hipérbola: cuando el plano de sección es paralelo a 2 generatrices del cono.

Este último caso se da cuando consideramos las dos ramas de un cono. Es decir, puesto que las generatrices son infinitas y se cortan en un punto (vértice del cono) existirá una rama del cono a cada lado del vértice. Nosotros en general solo tendremos conos de una rama, por lo que no es necesario que tengamos en cuenta este caso.

Existe un último caso de sección que es cuando el plano contiene al eje. En este caso la sección es un triángulo.

Veamos los casos más sencillos de secciones por planos paralelos a los de proyección.

Sección del cono con planos paralelos a los de proyección

30_Seccion cono plano paralelo

En el primer caso tenemos un plano horizontal, que es perpendicular al eje del cono. La sección que produce es una circunferencia. Para saber el diámetro debes entender que el contorno del cono en proyección vertical viene definido por las generatrices paralelas a la línea de tierra, es decir, la recta paralela a la línea de tierra que pasa por el vértice.

Si bajas los puntos de corte 1’, 2’ del plano P con el contorno del cono en proyección vertical hasta esas generatrices conseguirás el radio. Lógicamente la circunferencia de la sección es concéntrica a la base del cono.

En el segundo caso tenemos un plano frontal que es paralelo al eje del cono. La traza del plano corta directamente a la base en los puntos 1 y 5 que podemos llevar a la proyección vertical directamente sobre la línea de tierra.

Para encontrar sucesivos puntos tomaremos diferentes generatrices del cono. En este caso he dibujado únicamente 3 porque ya son suficientes, formando 45 y 90º con la línea de tierra. Hagamos por ejemplo la generatriz A. Dibújala en proyección horizontal, es decir, une V con a. Seguidamente encuentra la proyección vertical del punto A que está en la línea de tierra a’ y únelo con V’. La recta a’-V’ es una generatriz del cono. Ahora observa que el plano P corta a la generatriz a-V en el punto 2. Lleva ese punto a la proyección vertical y obtendrás 2’, exactamente sobre la proyección vertical de la generatriz a’-V’.

Haz lo mismo para obtener el punto 4’.

Para el punto 3, puesto que se encuentra en una generatriz que está de perfil, utilizaremos un giro de 90º. Llévalo con el compás en proyección horizontal hasta la generatriz paralela a la línea de tierra y súbelo hasta el contorno de la proyección vertical. Desde ahí, desplázalo en horizontal hasta su generatriz y obtendrás 3’.

Estas secciones, una vez que has obtenido suficientes puntos, deberás dibujarlas a mano. Aquí entran en juego tus fantásticas habilidades 🙂

Bueno, pues, mucho más difíciles no van a ser los ejercicios.

Sección del cono con planos proyectantes

El caso de un plano proyectante paralelo al eje es muy similar al segundo ejercicio de los que hemos visto anteriormente, simplemente que con un plano girado. Veamos cómo se resuelve.

En este caso es importante remarcar algunos puntos concretos:

  1. Los puntos de la base: los puntos de corte de la traza horizontal con la circunferencia de la base. Son por así decirlo el arranque de la sección. (Puntos 1 y 2 en el dibujo)
  2. El punto más alto de la sección: es el situado en la perpendicular al plano que pasa por V. (Punto 3) Para encontrar este punto necesitamos la generatriz perpendicular a la traza P del plano, la generatriz A-V.
  3. El punto de tangencia: el punto donde la sección es tangente al contorno del cono. Este punto lo obtendrás en la generatriz paralela a la línea de tierra que, como hemos dicho antes, es la que define el contorno. (Punto 4)

31_Seccion cono plano proyectante

Para terminar de completar el ejercicio, busco la sección con la generatriz B-V para tener un punto adicional, el punto 5’. Lo he resuelto igualmente por giro, como en el caso anterior.

En muchas ocasiones es posible que te pidan la verdadera magnitud con lo que simplemente tendrás que abatir el plano proyectante y cada uno de los puntos que has conseguido.

Vamos con el plano proyectante vertical

El caso genérico es el que tenemos más abajo. Para resolver esta sección que será una elipse tenemos dos métodos.

Método 1: por generatrices

Divide la circunferencia de la base en 8 partes iguales (a 45º cada división), dibuja la proyección vertical de cada una de esas 8 generatrices y encuentra los puntos en proyección vertical en que el plano corta a las generatrices. Encuentra su proyección horizontal y ¡listo!

Método 2: por ejes de la elipse

Este método es más preciso. La traza vertical P’ produce una sección en línea recta con extremos 1’, 2’. Estos puntos llevados a la proyección horizontal (recuerda que es en las generatrices paralelas a la línea de tierra que son las que definen el contorno) nos dan los extremos del eje mayor de la elipse.

El eje menor se encuentra en 3’-4’ como recta de punta en el punto medio del segmento 1’-2’. Podemos encontrar su longitud mediante un giro.

32_Seccion cono plano proyectante

Sección del cono con planos oblicuos

Mi mejor recomendación para hacer la sección de un cono por plano oblicuo es hacer un cambio de plano para colocar el plano como proyectante y a partir de ahí seguir el proceso explicado anteriormente. Es la mejor manera porque así puedes encontrar los ejes de la elipse.

Como sabes, tienes que dibujar una nueva línea de tierra perpendicular a la traza horizontal P del plano. Hay que cambiar de plano la traza vertical P’ y para ello tomamos un punto de la misma y lo proyectamos hacia la nueva línea de tierra. Coloca la misma altura “cota” y obtendrás P”. Lleva también el cono a la nueva proyección vertical con su altura “H”.

Una vez que tienes la nueva proyección del cono y el plano como proyectante ya puedes hacer el proceso del apartado anterior.

Pero, ¿cómo encontrar en este caso los ejes de la elipse, cuando la elipse está cortada?

Muy sencillo. Tienes que dibujar el cono como si fuera continuo hasta que el plano lo corte en el otro extremo 2”. Así obtienes el eje mayor de la elipse. El eje menor, como en el ejercicio anterior.

33_Seccion cono plano oblicuo

Para llevar los puntos a la proyección vertical habría que utilizar los diámetros conjugados de la elipse 1’-2’ y 3’-4’. Para encontrarlos hay que utilizar las generatrices que pasan por dichos puntos. Encuentra también el punto de tangencia de la curva con el contorno del cono, que está en la generatriz paralela a la línea de tierra.

34_Seccion cono plano oblicuo

La alternativa al método del cambio de plano sería dividir el cono en 8 generatrices y hacer la intersección de cada generatriz con el plano de sección P. Para ello, como recordarás del apartado de poliedros tenías que pasar un plano proyectante que contuviera cada generatriz. Es un método válido aunque no tan precios como el que he explicado.

2.2. El cilindro

El cilindro es aún más sencillo que el cono.

Si consideramos un cilindro apoyado por una de sus bases en el plano horizontal de proyección:

  • Un plano paralelo al plano horizontal produce una sección circular del mismo diámetro que las bases.
  • Un plano paralelo al frontal produce una sección rectangular vista en verdadera magnitud.

35_Seccion cilindro plano paralelo

  • Un plano proyectante horizontal produce una sección rectangular en proyección, que habrá que abatir o cambiar de plano para ver en verdadera magnitud.

36_Seccion cilindro plano proyectante

  • Un plano proyectante vertical produce una sección en forma de elipse, cuyo eje menor tiene siempre la misma dimensión que el diámetro de las bases. La longitud del eje mayor depende de la inclinación del plano.

37_Seccion cilindro plano proyectante

  • Un plano oblicuo se puede simplificar mediante cambio de plano a uno proyectante.

Esta es la receta típica y clara para las secciones de cilindros.

La alternativa para hacer la sección por un plano oblicuo que no sea mediante cambio de plano es utilizar planos proyectantes (o frontales) que contengan generatrices completas del cilindro y encontrar la intersección de estos planos con el plano dado. Veámoslo con un ejemplo

En primer lugar podemos utilizar el truco que te enseñé para los poliedros, por el que utilizamos un plano horizontal Q que contenga a la base superior del cilindro y hacemos su intersección con el plano P. La intersección es una recta horizontal que en nuestro caso sí corta al cilindro, por lo que ya tenemos dos puntos de la sección 1 y 2.

Como ves, el plano no cortará a la base inferior porque la traza no lo toca.

38_Seccion cilindro plano oblicuo

Ahora dividimos la circunferencia de la base en 8 partes iguales y hacemos pasar por esas generatrices planos frontales. Encontramos a continuación la intersección de esos planos frontales con el plano P.

Por ejemplo, el plano frontal U contiene a la generatriz de base A. La intersección de los planos P, U es la recta frontal J, la cual corta a la generatriz de base A en el punto 3’. Este punto 3’ pertenece a la sección.

Por el resto de generatrices aplicamos el mismo método:

39_Seccion cilindro plano oblicuo

Como ves, todas las generatrices dan puntos de corte, del 3 al 8. Las dos únicas que no dan puntos de corte son las generatrices que he denominado a y b. Estas tendrían sus puntos de corte por fuera del cilindro (más arriba) y por tanto quedan fuera de la sección real. La sección termina en los puntos 1 y 2.

Con esto queda terminado el cilindro, en lo más básico.

2.3. La esfera

Vamos allá con la esfera, la última pieza de revolución y el último volumen que estudiaremos en este artículo. Espero que sigas ahí 🙂

La sección de una esfera por un plano es SIEMPRE una circunferencia.

Fácil, ¿no? La única dificultad en este caso es dibujarla correctamente, en su posición y con su diámetro adecuados.

Sección de la esfera por planos paralelos a los de proyección

Cuando la sección de una esfera viene dada por un plano frontal o uno horizontal, la sección siempre se ve en verdadera magnitud. El diámetro de la sección lo dan los extremos 1 y 2 de la sección, en la proyección en que se ve como una recta. Tendremos que llevar esos puntos 1 y 2 sobre el diámetro paralelo a la línea de tierra en la otra proyección.

Recuerda que el contorno aparente de la circunferencia en una proyección viene determinado por el diámetro paralelo a la línea de tierra en la otra proyección.

40_Seccion esfera plano paralelo

Sección de la esfera por planos proyectantes

En este caso nuevamente la sección es una circunferencia pero ahora no se verá en verdadera magnitud, sino como una elipse en una proyección y como una recta en la otra.

Los puntos 1, 2 en que la traza horizontal corta al perímetro de la esfera en proyección horizontal tienen su proyección vertical 1’, 2’ en el diámetro paralelo a la línea de tierra. Ahí tenemos los extremos del eje menor de la elipse.

41_Seccion esfera plano proyectante

Para encontrar el eje mayor de la elipse tomamos el punto medio del segmento 1-2 (puedes hacerlo con una perpendicular desde O). En este punto medio están 3 y 4, los extremos del eje mayor de la elipse. Para encontrar su posición en proyección vertical tenemos que hacer una sección por un plano frontal que contenga a estos puntos.

Esa sección la hemos visto antes y es simplemente una circunferencia con un radio hasta el punto a’. En esa circunferencia se encuentran las proyecciones verticales 3’ y 4’.

Por último encontramos los puntos de tangencia de la elipse que se pueden ver en el diámetro paralelo a la línea de tierra en proyección horizontal. Es el punto T que tiene como proyecciones verticales los puntos T1 y T2.

Así que la sección y su abatimiento quedarían así:

42_Seccion esfera plano proyectante

La sección de la esfera por un plano oblicuo se realiza como siempre por cambio de plano, colocando el plano de sección P como proyectante.

– THE END –

Bueno, aquí se acaba el artículo por hoy. No recuerdo un artículo tan extenso como este. Al principio no pensé que fuera tan extenso el tema de secciones pero se ha llevado muchas horas.

Solo espero que te haya quedado claro. Si tienes cualquier duda estaré encantado de contestarte en los comentarios de más abajo.

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9 Responses to Secciones en Sistema Diédrico: poliedros y cuerpos de revolución

  1. peter April 21, 2015 at 7:31 pm #

    Increíbles apuntes, muchas gracias por este trabajo porque me ha servido muchísimo

  2. Plácido May 27, 2015 at 5:35 pm #

    Muchas gracias por esto apuntes, son de gran utilidad, claros y muy bien desarrollados.

  3. RIGTHER June 19, 2015 at 6:06 pm #

    WOW! increíble trabajo, ha sido de mucha ayuda! pero aun me quedo una duda, para sacar la tercera proyección de la figura intersección de un cono con un plano proyectante vertical que tendria que hacer?

    • Pablo Domingo June 21, 2015 at 3:06 pm #

      Hola Rigther
      Para sacar una tercera proyección necesitas hacer simplemente un cambio de plano. Solo te tienes que ir llevando la figura punto por punto a la nueva vista. Consulta ese artículo y si tienes más dudas me comentas.
      Un saludo

  4. Pedro February 21, 2016 at 9:42 pm #

    Excelente trabajo, son muy útiles tus apuntes. Tengo una pequeña duda y me sería muy útil si pudieras aclarármela: en la intersección entre un plano proyectante vertical y un cono, en caso de que el eje del cono estuviera inclinado se podría seguir el mismo método? Y de ser así, a la hora de hacer el giro para hallar el eje menor de la elipse, se tomaría la medida hasta la arista que determina el contorno del cono de forma paralela a la línea de tierra o perpendicular al eje del cono?

  5. julia May 18, 2016 at 6:54 pm #

    Muchas gracias por este artículo, muy útil. Aún así, tengo una duda por lo que a la secciones cuando encontramos que el plano no toca a la figura ni en el alzado ni en la planta. La solución que propones es hacer el perfil de la figura pero no acabo de entender cómo es posible que el plano cruce la figura si, supuestamente, al yo hacer a figuraa, se me sigue viendo como una recta que queda a un lado de la figura. Gracias de antemano.

  6. dovala June 8, 2016 at 12:11 am #

    Sublime. Gracias a estos apuntes me siento muy preparado para PAU. Debe de ser enorme el esfuerzo que haces por mantener la web.

  7. OSCAR MARTINEZ FLORES November 25, 2016 at 1:48 pm #

    Buenas, podrías darme alguna indicación de como hacer la sección producidda por dos planos en vez de por uno solo?

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