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Poliedros regulares al detalle: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro

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Hoy tenemos uno de los temas más bonitos que hay en dibujo técnico. Y es que, ahora que estamos acabando el sistema diédrico, todo luce más. El arduo trabajo abstracto de los temas anteriores empieza a mostrar ahora sus frutos más hermosos, con piezas geométricas regulares que estoy seguro que podrás ver fácilmente de manera espacial. Los poliedros son cuerpos limitados por polígonos planos que se llaman caras. Cada cara está limitada por aristas y las aristas confluyen en vértices. Son poliedros regulares aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares, que tienen todas las aristas iguales y a cuyos vértices concurren idéntico número de caras.

Cuáles son los poliedros regulares

Únicamente existen 5 poliedros regulares:

  1. Tetraedro: que tiene 4 caras en forma de triángulos equiláteros
  2. Hexaedro o cubo: que tiene 6 caras en forma de cuadrados.
  3. Octaedro: que tiene 8 caras en forma de triángulos equiláteros
  4. Dodecaedro: que tiene 12 caras en forma de pentágonos regulares
  5. Icosaedro: que tiene 20 caras en forma de triángulos equiláteros.

El resto de poliedros son irregulares y, si no se te ocurre ninguno, en general todas las pirámides y los prismas son poliedros irregulares.

Sección principal

La sección principal de un poliedro regular es una sección por un plano de simetría que nos ofrece la información fundamental sobre el poliedro: dimensión de la arista, de la altura de cara, de la diagonal de cara, de la diagonal del poliedro, de la distancia entre caras paralelas. Veremos la sección principal en cada poliedro. Es fundamental que las aprendas bien porque te pueden resultar muy útiles en cualquier examen. Aunque el examen no vaya de poliedros, siempre pueden aparecer. Verás que, si llegas a entender lo que significan, no te será difícil recordarlas.

Tetraedro

El tetraedro es un poliedro regular limitado por 4 caras en forma de triángulos equiláteros. Una de las cosas que me parecen más fascinantes de los poliedros regulares es poder dibujarlos a partir de un lado. Por ejemplo, dado el lado L de un tetraedro es posible dibujarlo entero. Veamos cómo. Lo dibujaremos en primer lugar apoyado sobre una cara:

  1. Dibuja en proyección horizontal un triángulo equilátero ABC, que será la base del tetraedro. Coloca uno de los lados perpendicular a la línea de tierra para facilitarnos la tarea.
  2. Encuentra el circuncentro del triángulo equilátero, con la intersección de las mediatrices de sus lados. Es el mismo que el incentro, o intersección de las bisectrices de los ángulos. Une ese centro V con los tres vértices del triángulo y ¡ya tienes la proyección horizontal!
  3. Para encontrar la altura abatiremos una de las caras del tetraedro. Sabemos que la cara ABV es en realidad un triángulo equilátero, así que si dibujas un triángulo equilátero cuyo lado sea a-b obtendrás (V) abatido. Esto se hace dibujando dos arcos de circunferencia, ambos con un radio a-b y con centros uno en a y otro en b.
  4. La distancia 1-(V) es la altura de la cara, que es la que veremos de perfil en la proyección vertical. Dibuja un arco de circunferencia con centro en a’=b’ y radio 1-(V) que cortará a la perpendicular desde v en v’. ¡Ya tienes la altura del tetraedro!
  5. Une v’ con a’ y con c’ y tendrás el dibujo del tetraedro.

01_Tetraedro regular Precisamente en esta posición del tetraedro es fácil leer su sección principal. En la sección principal vemos la altura de cara H en la base, la altura de cara H en un lado de la sección y el lado o longitud de la arista L en el otro. 02_Tetraedro regular - seccion principal Así que a partir de ahora, cuando conozcas el lado de un tetraedro puedes dibujar su sección principal inmediatamente de la siguiente manera. 03_Tetraedro regular - seccion principal Ahora vamos a ver algunas posiciones especiales del tetraedro. Puesto que ya sabemos hacer giros, eso es lo que haremos. El primero será un giro alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice superior V hasta colocar una de las aristas de perfil. Para ello tendrás que girar el vértice a hasta alinearlo con el v y a partir de él dibujar nuevamente el triángulo. Como sabes, el vértice V no se mueve porque pertenece al eje de giro y los otros 3 vértices A, B y C se desplazan en proyección horizontal en paralelo a la línea de tierra. 04_Tetraedro regular - posiciones Volvamos a la posición original y hagamos ahora un giro con una recta de punta que pasa por la arista A-B hasta situar la arista C-V como recta horizontal y paralela a ambos planos de proyección. Obtenemos una posición en la que el tetraedro tiene dos aristas horizontales, una apoyada en el plano horizontal y la otra elevada y perpendicular a la anterior. 05_Tetraedro regular - posiciones Otra posición interesante es aplicando a la anterior un giro de 45º alrededor de un eje vertical que pasa justo por el centro del tetraedro, o, lo que es lo mismo, por el centro del cuadrado en proyección horizontal. Se consigue así una vista en la que el tetraedro queda inscrito en un cubo y las dos proyecciones tienen el contorno perfectamente cuadrado. 06_Tetraedro regular - posiciones Se podría decir mucho más del tetraedro pero con esto es suficiente para nivel de bachillerato. Lo más importante es que conozcas cómo construirlo si lo único que conoces es un lado o la sección principal y que conozcas las posiciones características para reconocerlo y poder trabajar fácilmente con ellas.

Octaedro regular

El octaedro regular tiene 8 caras que son todas triángulos equiláteros. Dibujar un octaedro a partir de un lado es algo de lo más sencillo. Una de las posiciones más comunes y sencillas del octaedro es colocarlo apoyado en un vértice, poner una de sus diagonales vertical y 4 aristas paralelas al plano horizontal. Estas 4 aristas se ven como un cuadrado cuyo lado es el lado del octaedro. 07_Octaedro regular - construccion

Sección principal del octaedro

Al igual que nos pasó con el tetraedro, también es en esta posición como se ve directamente la sección principal del octaedro regular. La sección principal es un rombo, cuyos 4 lados tienen la dimensión de la altura de cara y cuya diagonal menor es el lado del octaedro. La diagonal mayor es la diagonal del octaedro. 08_Octaedro regular - seccion principal Si conocemos el lado del octaedro es fácil construir su sección principal. Solo hay que poner un segmento con la dimensión del lado y dibujar dos triángulos, uno a cada lado de este segmento, cuyos lados sean de la dimensión H (altura de cara) 09_Octaedro regular - seccion principal

Posiciones características del octaedro

Vamos a encontrar algunas posiciones singulares mediante giros del octaedro. Por ejemplo, si a la posición original que teníamos le hacemos un giro de 45º alrededor de un eje vertical que pasa por los vértices superior F e inferior E obtenemos una posición en la que las dos proyecciones se ven como cuadrados con sus diagonales dibujadas. Esta posición es fácil de dibujar porque el lado de cada cuadrado es el lado del octaedro. 10_Octaedro regular - posiciones Desde la posición original hacemos un giro alrededor de un eje horizontal y de punta que pasa por el vértice E, de tal manera que una de las caras queda apoyada en el plano horizontal y otra queda paralela al plano horizontal. En esta posición vemos la proyección horizontal del octaedro con un contorno en forma de hexágono regular que tiene en su interior dibujados dos triángulos equiláteros que son las caras del octaedro en verdadera magnitud, uno como una cara vista (la superior) y otro como una cara oculta (línea discontinua, la cara inferior). 11_Octaedro regular - posiciones Daremos aún un último giro al octaedro, en este caso alrededor de un eje vertical que puede pasar por cualquier punto, por ejemplo tomo el centro del hexágono. Hacemos un giro de tal manera que dos lados del hexágono queden perpendiculares a la línea de tierra. Así, en proyección horizontal seguimos viendo un hexágono con dos triángulos equiláteros inscritos y, en proyección vertical tenemos un contorno de forma rectangular cuya altura es exactamente la distancia entre caras. 12_Octaedro regular - posiciones

Hexaedro regular o cubo

De entre todos los poliedros, el más conocido y utilizado es sin duda el hexaedro regular o cubo. Tiene 6 caras que son cuadrados y en cada vértice confluyen 3 caras perpendiculares entre sí. Construirlo dado un lado es de lo más sencillo, puesto que solo tenemos que dibujar el cuadrado con ese lado, dibujar perpendiculares desde cada vértice, poner sobre cada una la dimensión del lado y unirlas. Aquí tienes en primer lugar la posición en que el cubo se ve como dos proyecciones cuadradas. Y en la segunda imagen le he aplicado un giro de 45º alrededor de un eje vertical, de manera que en la proyección vertical las caras se ven oblicuas. 13_Cubo construccion

Sección principal

La sección principal del cubo es aquella en que este se corta por un plano perpendicular a dos caras que pasa por la diagonal del cubo. En la segunda vista que teníamos en el dibujo anterior podemos ver la sección principal directamente. Esta sección principal es un rectángulo con dos lados opuestos iguales que son dos lados L del cubo y los otros dos lados opuestos que son diagonales d de cara. La diagonal de la sección principal es la diagonal D del cubo. Así que, esta sección contiene toda la información importante del cubo. 14_Cubo seccion principal Construir la sección principal a partir del lado del cuadrado es muy fácil. Dibuja el cuadrado completo con un lado de dimensión L. Dibuja una diagonal d del cuadrado. Esta diagonal será el lado de la sección principal, así que lleva esta dimensión con el compás hasta el lado inferior y desde ahí dibuja el rectángulo. Es más fácil de entender con un dibujo. 15_Cubo seccion principal Una de las posiciones más peculiares que tiene el cubo es apoyado sobre un vértice y con la diagonal del cubo en posición vertical. Esto lo podemos conseguir a partir de la posición definida anteriormente. Solo tenemos que aplicar un giro alrededor de un eje de punta que pasa por el vértice inferior B hasta que la diagonal D queda como recta vertical. En esa posición, el punto H se superpone al B. Es característico de esta posición que la proyección horizontal tiene contorno de hexágono regular. La proyección vertical tiene las alturas divididas en 3 tercios y también se puede inscribir en una circunferencia. 16_Cubo - posicionesl

Dodecaedro

El dodecaedro es un poliedro regular compuesto por 12 caras que son pentágonos regulares. Este empieza a ser más complejo que los poliedros anteriores, pero te enseñaré cómo dibujarlo de una manera sencilla. Consideraremos para nuestra comodidad que el dodecaedro está apoyado en una cara. Dibuja un pentágono regular ABCDE con lado igual al lado del dodecaedro, de manera que este pentágono sea la cara del dodecaedro apoyada en el plano horizontal. Para mayor facilidad dibuja uno de los lados AB perpendicular a la línea de tierra. Para dibujar las caras adyacentes utilizaremos el desabatimiento: dibujaremos las caras abatidas sobre el plano horizontal de proyección y en el movimiento de desabatimiento de ambas encontraremos la posición de un nuevo vértice. Las caras que comparten lado con AB y AE tienen un vértice común, que es el vértice (F) abatido. Si desplazamos este vértice en perpendicular a su correspondiente charnela AB y AE encontraremos la posición del vértice f en proyección horizontal 17_Dodecaedro - construccion Para encontrar su proyección vertical tendremos que hacer un giro de la arista A-F hasta ponerla como frontal de plano a-f1 (recta a-f en posición girada). Con un arco de circunferencia de radio L con centro en a’ obtendremos la posición de f1’. El giro se deshace en proyección vertical con una recta paralela a la línea de tierra. 18_Dodecaedro - construccion Tendremos otros 4 vértices G, H, I, J del dodecaedro a esta misma altura que f’. En proyección horizontal se encuentran en una circunferencia con centro en O y radio O-f y los puedes encontrar uniendo el centro O con los vértices b, c, d y e. El nivel superior de vértices lo podemos deducir a partir del desabatimiento de la cara ABFGK. Esta cara se encuentra en un plano proyectante, así podemos encontrar la posición de k’ como prolongación de la arista a’-f’ y trazando el arco de circunferencia del desabatimiento. 19_Dodecaedro - construccion Para encontrar el punto L de este segundo nivel superior solo tienes que prolongar la recta O-e y l se encuentra en su intersección con la circunferencia de radio O-f.  El punto m se encuentra en la prolongación de la recta O-a y así sucesivamente. Todos estos puntos l, m, n, p tienen su proyección vertical en una recta paralela a la línea de tierra a la altura de k’. 20_Dodecaedro - construccion Por último solo queda dibujar los vértices de la cara superior, que es también paralela al plano horizontal de proyección. Se trata de un pentágono simétrico al dibujado originalmente, que tiene sus vértices en la circunferencia de radio O-a y en las rectas que pasan por el punto medio de cada lado de ABCDE. Por ejemplo el punto q se encuentra en la mediatriz del lado a-b, o lo que es lo mismo, en la prolongación de la recta O-d. En cuanto a la proyección vertical, la distancia H desde la base inferior hasta la primera altura de vértices (F, G, H, I, J) es la misma que desde la base superior hasta la segunda altura de vértices (K, L, M, N, P). ¿Cómo dibujar el dodecaedro? Puedes empezar dibujando el contorno en proyección horizontal, que es todo visto: f-k-g-l-h-m-i-n-j-p. Seguidamente puedes dibujar la cara superior formada por los vértices q-r-s-t-u, ya que sabemos que será vista. Por último puedes unir cada uno de estos vértices con el que se encuentra en la prolongación de su radio: q-k, r-l, s-m, t-n, u-p. El resto serán aristas ocultas. En proyección vertical, tendremos muchas aristas que se superponen, gracias a que hemos colocado una de las caras como plano proyectante vertical. Todas las aristas ocultas quedan tapadas por las vistas, así que, aparte del contorno existen pocas líneas en el interior que haya que remarcar. Ve siguiendo con detenimiento la sucesión de puntos en las caras de la proyección horizontal para unirlas en proyección vertical. Y así queda terminado el dodecaedro. Es cierto que la elaboración es tediosa, pero en realidad el concepto es sencillo. Fíjate que en proyección horizontal se trata solo de dos circunferencias divididas en 10 partes. La interior contiene dos pentágonos simétricos inscritos y la exterior un decágono regular.

Sección principal

En la posición que hemos dibujado el dodecaedro se puede ver la sección principal en verdadera magnitud. La sección principal pasa por dos aristas opuestas y corta 4 caras por el punto medio, así que la sección es un hexágono irregular formado por 2 alturas de cara a, 1 lado L y nuevamente 2 alturas de cara a y un lado L. 21_Dodecaedro - seccion principal Se puede ver también la distancia H entre caras paralelas y las distancias h entre los diferentes niveles de vértices.

Icosaedro regular

Vamos con el último de los poliedros regulares. El icosaedro es un poliedro regular formado por 20 caras que son todas triángulos equiláteros. En cada uno de sus vértices concurren 5 aristas y 5 caras. El conjunto forma un total de 30 aristas y 12 vértices. Para construir el icosaedro a partir de la dimensión de una arista lo consideraremos apoyado en uno de sus vértices, con la diagonal que sale desde ese vértice en diagonal. Visto en esta posición, el icosaedro se puede entender como una parte una pirámide superior de base un pentágono regular, una franja intermedia formada por 10 caras y otra pirámide inferior pentagonal. La proyección horizontal es sencilla de conseguir: dibuja un pentágono regular cuyo lado sea la dimensión L de la arista y une cada uno de sus vértices con el centro. Esta será la pirámide superior. Ahora dibuja otro pentágono inscrito en la misma circunferencia (es decir, de las mismas dimensiones y con el mismo centro) cuyos vértices estén en las mediatrices de los lados del primer pentágono. Esta será la pirámide inferior y, por tanto, tendrás que dibujarla en discontinua. La proyección horizontal se completa uniendo los vértices de ambos pentágonos, de manera que el contorno es un decágono. 22_Icosaedro - construccion Como puedes ver, la altura H1 de la primera línea de vértices (los vértices situados en la base de la pirámide inferior) se encuentra trazando un arco de radio L desde el vértice inferior 1. Para ello es necesario que una de las aristas (la arista 1-2 en este caso) esté en posición frontal, es decir, con la proyección horizontal paralela a la línea de tierra. Para encontrar la segunda altura H2 utilizaremos nuevamente una recta frontal de plano, en este caso la arista 3-4. Traza desde el vértice 3’ un arco de circunferencia de radio L que cortará a la recta de proyección del punto 4 en 4’. 23_Icosaedro - construccion La altura de la pirámide superior es igual a la de la inferior con lo que ya puedes completar el icosaedro. 24_Icosaedro - construccion En esta posición del icosaedro se reconoce directamente la sección principal. La altura a del triángulo equilátero la puedes obtener abatiendo una de sus caras. Para mayor facilidad, toma como charnela para el abatimiento una recta horizontal. 25_Icosaedro - seccion principal Quizá la posición en que hemos dibujado el icosaedro no sea muy reconocible porque tiene las aristas posteriores ocultas por las que se encuentran delante. Si aplicamos un pequeño giro alrededor de un eje vertical de manera que una arista de la pirámide superior quede como de perfil obtendremos una imagen que posiblemente te resulte más familiar. 26_Icosaedro - posiciones

Poliedros conjugados

Para terminar debes conocer esta propiedad de los poliedros regulares: se dice que dos poliedros son conjugados cuando los vértices de uno de ellos coincide con los centros de las caras del otro. Así:

  • El tetraedro es conjugado de sí mismo
  • El cubo es conjugado del octaedro y a la inversa
  • El dodecaedro es conjugado del icosaedro y a la inversa.

27_ Poliedros conjugados En principio esto es todo lo que debes saber de poliedros regulares. Este ha sido un artículo largo, pero en realidad es sencillo de entender porque todo es muy lógico, basta con que lo razones para llegar a entenderlo. Como te decía al principio, este tema es muy importante porque puede salir en cualquier examen, aunque no lo esperes. No es necesario tener un examen de poliedros regulares para tener que resolver un problema de poliedros regulares. Espero que te haya servido el artículo. Si es así, compártelo en Facebook o en Twitter y me estarás ayudando a que mantenga vivo el blog.

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One Response to Poliedros regulares al detalle: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro

  1. andriuka March 27, 2016 at 3:00 am #

    hola como comienzo el abatimiento en un octaedro … es que lo hice pero me quedo extra;o

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