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Polar, centro y eje radical

Polar -F

Este es el primero de una serie de 3 artículos que publicaré durante los próximos jueves y que espero que te permitan entender y ser capaz de resolver todos los problemas de tangencias que se te pongan por delante.

Las tangencias es un campo extensísimo y apasionante que resulta más fácil tratar en diferentes artículos organizados por temas, tanto para mí al explicarlos como para ti al recibirlos.

  1. Polar, eje y centro radical
  2. Tangencias y su teoría
  3. Aplicaciones prácticas de las tangencia

Las tangencias son un tema que me apasiona por su precisión y belleza.

El tema de hoy es en realidad una preparación imprescindible para el artículo de la próxima semana, en el que te soltaré toda la artillería. Sin estos conocimientos, tendría que andar haciendo anotaciones y remitiéndote a otras fuentes. De esta manera, empezamos mucho más organizados, desde el principio.

No voy a profundizar en el significado de estos conceptos ni en su utilidad, siempre puedes consultar otras fuentes. Mi intención es darte el material práctico que te sea útil para las Pruebas de Acceso a la Universidad.

Cálculo de la polar de un punto respecto a una circunferencia

Dada una circunferencia de centro O y un punto A, la polar es la recta que contiene todos los conjugados armónicos separados de A por los de intersección con las distintas secantes trazadas por A.

Aparte de la definición, que de poco te va a ayudar en las PAU, lo interesante es cómo se obtiene la polar.

Hay que trazar las 2 rectas tangentes a la circunferencia que pasan por el punto A. La recta que une esos 2 puntos de tangencia es la polar. Para dibujar las 2 rectas tangentes tienes que:

  1. Unir el centro O con el punto A.
  2. Obtener el punto medio M del segmento O-A mediante el trazado de su mediatriz.
  3. Trazar una circunferencia con centro en M y radio M-O.

La intersección de dicha circunferencia con la circunferencia original determina los puntos de tangencia T1 y T2 y, por tanto, la polar.

Al punto A se le llama polo.

En el caso de que el polo pertenezca a la circunferencia, la polar es la tangente a la circunferencia dada por ese punto.

01_polar circunferencia punto

 

Eje radical de 2 circunferencias

Es el lugar geométrico de los puntos cuya potencia respecto a las dos circunferencias es la misma. Se pueden dar 2 casos:

  • Que las circunferencias se corten. El eje radical es la recta que une los puntos de corte.
  • Que las circunferencias no se corten. Entonces hay que dibujar las rectas tangentes exteriores a las 2 circunferencias. Considerando los segmentos delimitados por los puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4, el eje radical sería la recta que pasa por el punto medio de ambos segmentos M1 y M2. Dejo el dibujo indicado y en el artículo de la próxima semana explico en detalle cómo dibujar las rectas tangentes exteriores a 2 circunferencias.

02_eje radical circunferencias

Eje radical de circunferencia y recta

Es el punto cuya potencia respecto a la circunferencia y a la recta es la misma. Coincide siempre con la propia recta

Centro radical

El centro radical de 3 circunferencias es el punto cuya potencia respecto a las tres circunferencias es la misma.

Para obtenerlo se halla en primer lugar el eje radical de 2 circunferencias y luego el eje radical de otras 2. El punto de corte de ambos ejes es el Centro Radical. Como comprobación se puede hallar el tercer eje radical de las 2 circunferencias restantes y debe pasar por el mismo centro radical obtenido.

Simplifico un poco el dibujo, elimino las líneas de trazado de mediatrices, para facilitar la comprensión del mensaje. He hecho el Eje Radical 1 de las circunferencias con centro en O1 y O3. Seguidamente he hecho el Eje Radical 2 de las circunferencias con centro en O2 y O3. El punto de intersección da el Centro Radical. La comprobación se podría hacer obteniendo el Eje Radical de las circunferencias con centro en O1 y O2.

03_centro radical

El centro radical de 2 circunferencias y una recta se obtiene de manera similar. Primero se obtiene el eje radical de 1 circunferencia con la recta, que se encuentra en la propia recta y luego se obtiene el eje radical de las 2 circunferencias. La intersección de ambos ejes da como resultado el Centro Radical.

04_centro radical

Lo dicho, un artículo breve pero necesario. Ya entenderás por qué.

Me gusta dejar el camino preparado para que la próxima semana sólo haya que caminarlo. Eso sí, prepárate bien para lo que viene =)

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One Response to Polar, centro y eje radical

  1. Agente Tangente October 26, 2016 at 11:53 pm #

    ¡Buenas!
    Para empezar me gustaría agradecerte este trabajo tan maravilloso que estás haciendo y que, desde luego, funciona. Tengo un pequeño truco, que seguro que casi todos conocen, (si no, ahora te lo explico) para hallar el eje radical de dos circunferencias exteriores.

    – Unimos los centros de ambas circunferencias.
    – Trazamos una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas.
    – Uniendo los puntos de corte obtenidos, hallamos el eje radical de la auxiliar con cada una de las circunferencias dadas.
    – Prolongamos los ejes radicales hasta que corten.
    – Trazamos una perpendicular a la recta O1-O2 que pase por dicho punto.
    – La recta resultante es el eje radical de las dos circunferencias dadas.

    ¡Gracias por leer esto! Me parece más sencillo y rápido que trazar las tangentes exteriores.

    Saludos 😀

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