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El plano en Sistema Diédrico

el plano en diedrico-Kroller Mueller-M

Hoy te traigo un tema superemocionante y básico en el dibujo técnico: el plano en Sistema Diédrico. Es la continuación directa de los artículos sobre el punto en diédrico y la recta en diédrico.

En la imagen puedes ver uno de los pabellones de entrada al museo Kroller Müller en medio de un parque natural en Holanda. Es un museo muy recomendable, con espacios de exposición tanto interiores como exteriores. Los arquitectos holandeses MVRDV han jugado con el volumen y los planos de este pequeño edificio. ¿Quieres saber qué tipos de planos han usado y cómo los podrías dibujar tú? Cuando leas este artículo podrás descifrarlo.

No pierdas detalle, porque hoy aprenderás todo lo que necesitas saber sobre definición de planos, sus tipos y sus rectas.

Vamos con ello.

Representación del plano en Sistema Diédrico

Un plano se define en Sistema Diédrico por sus trazas. Las trazas de un plano son las líneas de intersección del plano con los Planos de Proyección. Por tanto, los planos tendrán por lo general dos trazas:

  • la traza con el Plano de Proyección Horizontal (PH) o Traza Horizontal del Plano. Se suele denominar con las letras mayúsculas P, Q, R…
  • la traza con el Plano de Proyección Vertical (PV) o Traza Vertical del Plano. Se suele denominar con las letras mayúsculas con prima P’, Q’, R’…

Pertenencia de recta y punto

Aunque este apartado es breve, resulta FUNDAMENTAL y te lo repetiré varias veces en este artículo.

Una recta pertenece a un plano cuando sus Puntos Traza están contenidos en las trazas del plano.

Un punto pertenece a un plano cuando está contenido en una recta que pertenece al plano.

Definición de un plano

Un plano se puede definir de 4 maneras diferentes. Memorízalas porque te servirán para siempre:

  • 3 puntos no alineados
  • 2 rectas que se cortan
  • 2 rectas paralelas
  • 1 recta y 1 punto que no pertenezca a ella

Vamos caso por caso viéndolo gráficamente.

1.  Plano definido por 3 puntos no alineados

Cuando tenemos en el espacio 3 puntos (a’-a, b’-b, c’-c) que no se encuentran en una única línea, estos puntos definen un plano.

01_plano en diedrico - 3 puntos

Para obtener las trazas del plano (P’-P) definidas por 3 puntos no alineados se procede de la siguiente manera:

  1. Dibujar una recta (r´-r) con sus proyecciones horizontal y vertical que por 2 de los puntos, por ejemplo por a’-a y b’-b.
  2. Obtener los Puntos Traza de dicha recta r’-r. Si no te acuerdas de cómo se hacía, aquí puedes recordarlo.
  3. Dibujar otra recta (s’-s) que pase por nuevamente por 2 de los tres puntos, por ejemplo por b’-b y c’-c.
  4. Obtener los Puntos Traza de la recta s’-s
  5. Unir los Puntos Traza horizontales de ambas rectas hr, hs y los Puntos Traza verticales v’r, v’s. Estas líneas son las Trazas del Plano P’-P que contiene a los 3 puntos.
  6. Comprobar que las trazas del Plano P’-P se cortan en la Línea de Tierra.

02_plano en diedrico - 3 puntos trazas

Fíjate que con esta definición del plano y el dibujo que he acompañado queda explicado el segundo apartado de este artículo:

Una recta pertenece a un plano cuando sus Puntos Traza están contenidos en las trazas del plano.

Un punto pertenece a un plano cuando está contenido en una recta que pertenece al plano.

Las rectas R y S pertenecen al plano P porque sus trazas están contenidas en las Trazas del Plano. Asimismo, cualquiera de los tres puntos A, B y C pertenecen al plano P porque están contenidos en una recta (R o S) que está contenida en el plano.

¡Atención! 4 puntos no alineados en el espacio no tienen por qué definir sólo un plano. Los 4 puntos pueden ser coplanarios (pertenecer al mismo plano) o no.

2.  Plano definido por 2 rectas que se cortan

Dos rectas se cortan cuando contienen un punto en común. Eso quiere decir en diédrico que el punto donde se cortan las proyecciones verticales coincide verticalmente con el punto donde se cortan las proyecciones horizontales.

En el siguiente ejemplo puedes comprobar que las proyecciones verticales de las rectas r’ y s’ se cortan en el punto a’. Sabemos que estas rectas se cortan en el espacio porque las proyecciones horizontales r y s se cortan también en el punto a, que coincide en la vertical con a’.

03_plano en diedrico - 2 rectas cortan

En caso de que no coincidieran, las rectas simplemente se cruzan en el espacio y, en ese caso, no definen un plano.

El procedimiento es el siguiente:

  1. Obtener los Puntos Traza Verticales v’ y horizontales h de cada una de las rectas.
  2. Unir los Puntos Traza Verticales v’ para obtener la Traza Vertical del Plano P’.
  3. Unir los Puntos Traza Horizontales h para obtener la Traza Horizontal del Plano P.
  4. Comprobar que la Traza Horizontal P y la Traza Vertical P’ se cortan en la LT.

04_plano en diedrico - 2 rectas cortan plano

3.  Plano definido por 2 rectas paralelas

Dos rectas paralelas definen siempre un plano. Aunque el paralelismo es un tema que veremos más adelante, aquí te basta con saber que 2 rectas son paralelas cuando sus proyecciones horizontales son paralelas y sus proyecciones verticales también son paralelas.

05_plano en diedrico - 2 rectas paralelas

Observa que r’ es paralela a s’ y que r es paralela a s. En ese caso, el procedimiento para obtener el plano que definen ambas rectas es el mismo que antes:

  1. Obtener los Puntos Traza Verticales v’ y horizontales h de cada una de las rectas.
  2. Unir los Puntos Traza Verticales v’ para obtener la Traza Vertical del Plano P’.
  3. Unir los Puntos Traza Horizontales h para obtener la Traza Horizontal del Plano P.
  4. Comprobar que la Traza Horizontal P y la Traza Vertical P’ se cortan en la LT.

06_plano en diedrico - 2 rectas paralelas plano

4.  Plano definido por 1 recta y 1 punto no perteneciente a ella

El último caso es en realidad muy similar al 1º y 2º.

07_plano en diedrico - recta y punto

El proceso es el siguiente:

  1. Obtener los Puntos Traza de la recta r’-r
  2. Tomar un punto b’-b perteneciente a la recta r’-r y unirlo con el punto dado a’-a. Llamar a esta recta s’-s
  3. Obtener los Puntos Traza de la recta s’-s
  4. Unir los Puntos Traza Horizontales h para obtener la Traza Horizontal del Plano P.
  5. En este caso que he puesto, las trazas del plano son paralelas a la LT, por lo que se cortan en el infinito. Veremos este tipo de planos más adelante.

08_plano en diedrico - recta y punto - plano

Rectas notables del plano

Los planos tienen como norma general 4 rectas notables. Las dibujo con el ejemplo más sencillo de un plano oblicuo:

Recta Horizontal de Plano: tiene su proyección vertical paralela a la Línea de Tierra y su proyección horizontal es paralela a la Traza Horizontal del Plano. Por ser una recta horizontal (paralela al PH), carece de Punto Traza Horizontal.

09_plano en diedrico - recta horizontal

Recta Frontal de Plano: tiene su proyección horizontal paralela a la Línea de Tierra y su proyección vertical paralela a la Traza vertical del Plano. Por ser una recta frontal (paralela al PV) carece de Punto Traza Vertical.

10_plano en diedrico - recta frontal

Recta de Máxima Pendiente: su proyección horizontal es perpendicular a la Traza Horizontal del plano. Esta recta tiene la dirección que tomaría el agua para bajar por el plano.

11_plano en diedrico -recta max pdte

Recta de Máxima Inclinación: su proyección vertical es perpendicular a la Traza vertical del Plano.

12_plano en diedrico -recta max inclinacion

Intento hacer la explicación lo más clara posible. Espero que te esté resultando sencillo hasta el momento. En realidad esto es lo más esencial del sistema diédrico. Si consigues entender esta parte, el resto vendrá rodado, confía en mí.

Si has leído hasta aquí sin parar, tómate un respiro, porque ha habido mucha materia, y aún queda una parte densa.

 

8 Tipos de planos

Los planos tienen diferentes nombres en función de su posición con respecto a los planos de proyección. Te dejo a continuación los distintos tipos e incluyo un punto y una recta del plano, para que te vayas familiarizando con ellos.

Date cuenta de que utilizo indistintamente rectas horizontales de plano, rectas frontales u otras cualesquiera. Lo importante es que cumplan lo que hemos dicho en el segundo apartado de este artículo, que te repito de nuevo:

Una recta pertenece a un plano cuando sus Puntos Traza están contenidos en las trazas del plano.

Un punto pertenece a un plano cuando está contenido en una recta que pertenece al plano.

Plano oblicuo

Este es el plano oblicuo genérico. Ambas trazas (P y P’) forman un ángulo cualquiera con la Línea de Tierra.

Te dejo indicados 2 tipos que, aunque a todos los efectos funcionan lo mismo, es cierto que aparentemente son distintos.

13_plano en diedrico -plano oblicuo

Plano proyectante horizontal

Tiene la Traza Vertical perpendicular a la Línea de Tierra. La Traza Horizontal forma un ángulo cualquiera con la Línea de Tierra. La proyección horizontal de todo punto o recta contenidos en el plano se encontrará en la Traza Horizontal del Plano.

El Plano Proyectante Horizontal es perpendicular al Plano de Proyección Horizontal (PH).

14_plano en diedrico -plano proyectante H

Plano proyectante vertical

Tiene la Traza Horizontal perpendicular a la Línea de Tierra. La Traza Vertical forma un ángulo cualquiera con la Línea de Tierra. Cualquier punto o recta contenido en el plano tendrá su proyección vertical contenida en la Traza Vertical del Plano.

El Plano Proyectante Vertical es perpendicular al Plano de Proyección Vertical (PV)

15_plano en diedrico -plano proyectante V

Plano de perfil

Tiene ambas Trazas perpendiculares a la Línea de Tierra. Cualquier punto o recta contenidos en el plano tendrán sus proyección contenidas en las Trazas del Plano. Este plano es perpendicular a ambos Planos de Proyección.

Para poder trabajar con puntos o rectas contenidos en este plano haremos uso de una tercera vista de perfil. Ahí veremos los elementos contenidos en el plano en verdadera magnitud.

Para ver por ejemplo un punto a’-a en el plano de perfil nos llevaremos su alejamiento hasta la Línea de Tierra, pinchando con el compás en la intersección de las Trazas con la Línea de Tierra. Desde ahí llevaremos una perpendicular a la Línea de Tierra. Desde la proyección vertical a’ del punto trazaremos una recta horizontal que cortará con la anterior y nos definirá la tercera vista a’’ del punto A.

16_plano en diedrico -plano perfil

Plano horizontal

Es paralelo al Plano de Proyección Horizontal (PH). Por tanto, tiene sólo Traza Vertical y esta es paralela a la Línea de Tierra. Los elementos contenidos en este plano tienen su proyección vertical contenida en la Traza del Plano y su proyección horizontal se ve en Verdadera Magnitud.

17_plano en diedrico -plano horizontal

Plano frontal

Es paralelo al Plano de Proyección Vertical (PV). Sólo tiene traza Horizontal y esta es paralela a la Línea de Tierra. Cualquier punto o recta contenido en este plano tendrá su proyección horizontal contenida en la Traza del Plano y se verá en Verdadera Magnitud en proyección vertical.

18_plano en diedrico -plano frontal

Plano paralelo a la Línea de Tierra

Tiene tanto Traza Horizontal como Vertical. Ambas son paralelas a la Línea de Tierra, por lo que no se cortan (o se cortan en el infinito). La distancia de las Trazas a la Línea de Tierra define la inclinación y posición del Plano. Para ver la inclinación del plano en Verdadera Magnitud se utiliza una vista de perfil, como en el caso del Plano de Perfil, mencionado 3 apartados más arriba.

El procedimiento gráfico es similar. Se traza una recta perpendicular a la Línea de Tierra que representa el plano auxiliar. Con centro en la intersección de dicha recta con la LT se traza un arco cuyo radio es la distancia hasta la Traza Horizontal del Plano. Se une el punto hallado sobre la LT con el punto donde la Traza Vertical del Plano corta al plano auxiliar. Igual que en el caso anterior, podemos llevar el punto a la vista de perfil.

19_plano en diedrico -plano paralelo a LT

Plano que pasa por la Línea de Tierra

Como caso particular de los planos paralelos a la Línea de Tierra se encuentran aquellos que contienen a la Línea de Tierra. Este tipo de planos tienen sólo una traza superpuesta a la LT (también se puede considerar que tienen dos trazas superpuestas). Para poder ser definidos completamente es necesario dar al menos un punto perteneciente al plano. De esta manera se puede utilizar una vista auxiliar de perfil para entender completamente el plano y ver su inclinación en Verdadera Magnitud.

Sin más información que la trazas, este plano queda indefinido.

20_plano en diedrico -plano contiene LT

Y hasta aquí uno de mis artículos más largos. Me pasa a menudo que los artículos se alargan, pero prefiero darte toda la información junta, para que no tengas que andar de aquí para allá buscando algo que pudiera faltar.

La verdad es que aquí te he contado todo lo relativo a planos:

– La representación de un plano

– La pertenencia de rectas y puntos en los planos

– La definición de un plano de las 4 formas posible

  • A partir de 3 puntos no alineados
  • A partir de 2 rectas que se cortan
  • A partir de 2 rectas paralelas
  • A partir de 1 recta y 1 punto no contenido en ella.

–  Las 4 rectas notables del plano

  • Recta horizontal de plano
  • Recta frontal de plano
  • Recta de máxima pendiente
  • Recta de máxima inclinación

– Y por último los 8 tipos de planos que hay

  • Plano oblicuo
  • Plano proyectante horizontal
  • Plano proyectante vertical
  • Plano de perfil
  • Plano horizontal
  • Plano frontal
  • Plano paralelo a la Línea de Tierra
  • Plano que contiene la Línea de Tierra

Pronto veremos los abatimientos y otros mecanismos para trabajar con los planos. No puedo esperar a publicar toda la información, estoy impaciente por dártelo todo.

Espero que este artículo te sea de utilidad y que, en ese caso, lo compartas.

¡Muchas gracias! Hasta la próxima

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3 Responses to El plano en Sistema Diédrico

  1. Ramón August 31, 2015 at 11:08 pm #

    Muchas Gracias!

    Haces que parezca sencillo, eres muy claro y muy generoso. Tu entusiasmo y animosidad a la hora de explicar se contagia .

    Sin duda alguna tus virtudes son de gran ayuda.

  2. Ángel May 31, 2016 at 6:53 pm #

    echo en falta los perpendiculares y pararelos al primer y segundo bisector, y los bisectores. Lo demás perfecto 🙂

  3. Carlos Cabezas Moreno October 16, 2016 at 11:58 am #

    Gracias, Pablo! Gracias por compartir de forma altruista, es algo que se echa en falta en estos tiempos de globalización.

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Pablo Domingo Montesinos participa en el Programa de Afiliados de Amazon EU, un programa de publicidad para afiliados diseñado para ofrecer a sitios web un modo de obtener comisiones por publicidad, publicitando e incluyendo enlaces a Amazon.es y Amazon.de.

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