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El ejercicio más completo de Sistema Diédrico: paralelismo, perpendicularidad, distancias, abatimientos…

El ejercicio mas completo de Sistema Diedrico- Dibujo tecnico

El Sistema Diédrico es una de las áreas más importantes del Dibujo Técnico.

Hoy te traigo uno de los ejercicios más completos que he encontrado. En él tendremos que trabajar con paralelismo, perpendicularidad, distancias, abatimientos, desabatimientos… y además nos encontraremos con las limitaciones del tamaño del papel, que harán que optemos por las soluciones más ingeniosas para resolver cada apartado.

Te lo recomiendo de principio a fin. ¡Ahí va!

También puedes ver el vídeo en Youtube

ENUNCIADO

Definir la proyección diédrica de una piramide regular recta de base Hexagonal (A,B,C,D,E,F) y de 120mms de altura sabiendo que

  • La arista principal (A-V) esta contenida en la recta (r)
  • El eje es paralelo a la recta (P)

Datos: [r: A(74,07,60), X(120,113,91)]
[P:1(86,103,00), 2(17,00,-70)

Explico el proceso que tendremos que seguir paso a paso:

1. Dibuja los 4 puntos que te dan como datos.

  • Como siempre, medimos la primera dimensión correspondiente al eje de las X según la Línea de Tierra, positiva hacia la derecha.
  • La segunda dimensión corresponde al eje de la Y y se mide en perpendicular a la Línea de Tierra, siendo las positivas hacia abajo.
  • La tercera coordenada corresponde al eje Z o eje de la altura, y se mide en perpendicular a la Línea de Tierra con las positivas hacia arriba; este nos dará la proyección vertical del punto, a’.

Puedes ver otros ejemplos similares en los que explico este paso con más detalle en este ejercicio de un cuadrado en Sistema Diédrico.

01_Puntos

2. Dibuja un plano Q perpendicular a la recta P que pase por el punto A

El punto A (a’,a) pertenece a la base y la recta R (r’-r) es la dirección del eje, así que un plano perpendicular a P por el punto A será el plano que contenga la base de la pirámide.Para tener una referencia de cómo hacer esto puedes ver el artículo sobre perpendicularidad. En el apartado 3 está explicado cómo dibujar un plano perpendicular a una recta por un punto.

Yo utilizaré una recta horizontal S(s’-s) que pase por el punto A y sea perpendicular a la recta P. La perpendicularidad se verá en la proyección horizontal. Encuentro seguidamente su punto traza y por él hago pasar un plano Q(Q’-Q) perpendicular a la recta P por lo que sus dos trazas serán perpendiculares a las proyecciones de la recta.

02_Plano perpendicular al eje por A

3. Dibujar una recta T paralela a P por A y abatir las rectas R y T

Ahora tenemos que encontrar la posición del vértice V sabiendo que está en la recta R y a una distancia de 120 mm del plano Q. Para este paso he tenido que probar muchas estrategias hasta que he conseguido dar con la acertada.

  • He probado a dibujar un plano paralelo al Q a la distancia de 120 mm mediante cambio de plano y mediante una recta perpendicular al plano Q, pero en ambos casos se salía de los márgenes del dibujo.
  • He probado a dibujar la recta paralela a la recta P que pasa por A y a abatir el plano formado por ambas rectas, pero igualmente se salía del papel.

Finalmente he dado con la solución y es la siguiente:

Dibuja por el punto A una recta T(t’-t) paralela a P, que es la dirección del eje de la pirámide. Las rectas R y T se cortan en el punto A y por tanto forman un plano, que es el mismo que forma el eje de la pirámide con la arista A-V. Si abatimos estas dos rectas para verlas en Verdadera Magnitud, podremos medir sobre T los 120mm y con una recta perpendicular a T encontraremos la posición del vértice V.

Puedes entenderlo claramente en este esquema.

Esquema

 

Como ves, si dibujamos una recta T paralela a P también lo será al eje O-V. El plano formado por las rectas R y T también contiene al eje O-V. Así que, abatiremos las rectas R y T, mediremos sobre T 120mm en Verdadera Magnitud, dibujaremos una recta perpendicular a T por ese punto y esta recta nos cortará a R en el vértice (V) abatido. Posteriormente desabatiremos (V)

Fácil, ¿no?…

Sé que no, que es un poco complicadillo, pero este es el tipo de visión espacial que tienes que desarrollar. Ser capaz de imaginarte la relación espacial que hay entre los objetos para poder resolver los problemas.

Para hacer esto y que no se salga ninguna línea del papel, he dibujado un plano horizontal auxiliar sobre el cual abatiremos las rectas T y R. Abatiré las rectas y su punto de intersección , es decir, el punto A, por el método directo, esto es: coloco la diferencia de altura n del punto A con respecto al plano auxiliar en la proyección horizontal de una recta horizontal del plano formado por ambas rectas. Dibujo por a una recta perpendicular a dicha proyección horizontal y esto me dará el triángulo del abatimiento. Mediante el compás trazo el abatimiento de A. Puedes ver el método explicado por separado en este vídeo.

Une el punto A con los puntos de intersección de t y r con la proyección horizontal de la recta y tendrás las rectas (T) y (R) abatidas.

Sobre (T) abatida, como habíamos dicho, ya puedes medir 120 mm y dibujar la perpendicular a T por este punto y obtienes (V1)

 

03_abatir plano de la seccion

4. Desabate V1 y encuentra su simétrico V

Al desabatir V1 sobre la proyección horizontal r de la recta R nos damos cuenta de que aparece al otro lado del plano Q, es decir, estaríamos dibujando la pirámide por debajo del plano. Puesto que la queremos apoyada encima podemos dibujar el punto simétrico de V1 con respecto al vértice A, y este sería el vértice de la pirámide.

Así que, teniendo la proyección horizontal de V es fácil encontrar su proyección vertical V’ sobre la proyección vertical r’ de la recta R.

 

04_Desabatir V

5. Dibuja el eje, encuentra el centro de la base y abátelo

Teniendo el vértice V de la pirámide puedes dibujar el eje de la misma, que será una recta paralela a P. El siguiente paso será encontrar la intersección de esta recta U(u’-u) con el plano Q(Q’-Q). Para ver una intersección de este tipo de manera aislada puedes ver este vídeo. Se trata de contener la recta U en un plano proyectante vertical y hacer la intersección de este con el plano Q. La recta de intersección que obtenemos nos cortará a la proyección vertical u’ de U en el punto de intersección, en nuestro caso, el centro O(O’-O) de la base.

Seguidamente tendrás que abatir el plano Q para poder dibujar la base en verdadera magnitud. En lugar de abatir las trazas, simplemente abatiré el punto O, puesto que de él conozco su altura.

05_Centro de la base y abatimiento

 

6. Dibujar el hexágono, desabatirlo y proyección horizontal de la pirámide

Abatir A por Afinidad: Una vez obtenido (O) abatido, por afinidad puedo abatir el punto A y dibujar el hexágono en abatimiento. Para abatir y desabatir por afinidad puedes ver el apartado 7 del artículo de abatimientos. Básicamente se trata de tomar la traza horizontal Q como Eje de Afinidad y la perpendicular como Dirección de Afinidad. Puesto que ya tenemos O y su abatido (O), tomaremos estos puntos como par de puntos afines.

Une a con O y prolóngalo hasta Q. Desde ahí une con (O) y prolóngalo hasta la recta perpendicular a Q que pasa por a. ¡Y listo!

Con el centro de la base (O) abatido y el punto (A) también abatido podemos dibujar el hexágono en Verdadera Magnitud. Lo desabatiremos igualmente por Afinidad, tomando como referencias los dos pares de puntos dobles (A)-a y (O)-O. Una vez que has obtenido la proyección horizontal completa de la base con sus vértices a, b, c, d, e, f llega el momento de unir cada uno con el vértice.

Para discernir qué partes son vistas y ocultas puedes ver el ejercicio 2 de la opción A de las PAU de Cataluña (incluye vídeo). Cuando cojas un poco de soltura lo verás de manera intuitiva. En este caso te diré que el vértice A es el punto con más cota de los de la base y, por tanto, será visto en la proyección horizontal, porque está por encima de los otros vértices. Esto quiere decir que los vértices opuestos c y d serán ocultos.

 

06_Desabatir hexagono

7. Dibujar la proyección vertical de la pirámide

Para obtener la proyección vertical de los puntos de la base puedes utilizar el método que prefieras. Yo utilizaré las rectas que contienen los lados del hexágono, porque así de cada recta que obtengo su proyección horizontal encontraré 2 vértices.

Como sabes basta con prolongar estas rectas hasta que corten a la Línea de Tierra por un lado y a la traza horizontal del plano por otro. Desde estos dos puntos subimos en vertical hasta la traza vertical Q’ del plano y hasta la Línea de Tierra respectivamente. Así obtenemos la proyección vertical de la recta.

Hago de esta manera las rectas B-C y E-F. El único punto restante es el D, que puedo obtener por paralelas. La paralela a a’-b’ por el punto e’ cortará a la paralela a a’-f’ por el punto c’. Así sale directamente.

Cerramos la pirámide uniendo cáda vértice de la base con V’. Puesto que el vértice A es el que menos alejamiento tiene (está más cerca del Plano Vertical de Proyección) será oculto en proyección vertical. Esto significa que los vértices opuestos c’ y d’ serán vistos.

07_Proyeccion vertical de la piramide

 

Y bueno, esto ha sido todo por hoy. No ha estado mal, ¿eh? Un ejercicio muy completo y complejo. La verdad es que al máximo nivel de Sistema Diédrico. Si te ha gustado, dale a Me gusta en Facebook o compártelo a través de Twitter con los botones de más abaja, me harías un gran favor.

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One Response to El ejercicio más completo de Sistema Diédrico: paralelismo, perpendicularidad, distancias, abatimientos…

  1. Dioselena February 21, 2016 at 3:11 pm #

    hola Arq. Pablo, este ejercicio realmente tiene de todo jejejeje
    Me surge una duda con respecto a el, porq cuando tu buscas el verdadero tamaño de la recta R y la recta T haces uso de otro plano auxiliar horizontal? no se puede hacer el triangulo de rebatimiento sin necesidad de ese plano, no comprendo porq usarlo , espero me puedas responder y mil gracias

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