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PAU de Madrid: Examen modelo de Dibujo Técnico resuelto y explicado

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Estos últimos días han tenido lugar las PAU. Aprovecho esta ocasión para presentar un examen completo con sus 2 opciones, explicado al detalle. Corresponde a las Pruebas de Acceso a la Universidad de la Comunidad de Madrid.

Espero que te sea de utilidad este artículo.

A1. Hallar el inverso del triángulo ABC conocido el centro de inversión I y que el inverso de A es C.

A1_PAU Madrid Inversion

Para obtener la figura inversa del triángulo, buscaremos en primer lugar los puntos inversos de sus vértices.

  • El inverso de A está sobre C, según el enunciado, es decir A’=C.
  • El inverso de C, por tanto, estará sobre A, es decir C’=A. Esto se debe a la propiedad de la inversión por la que IAxIA’=ICxIC’. Si IA es igual a IC’, entonces IA’ debe ser igual, necesariamente a IC.
  • Para obtener el punto inverso de B, tenemos que hallar la circunferencia respecto a la cual las potencias de los puntos A, A’, B y B’ es constante. Para ello, dibuja la circunferencia que pasa por los puntos A, A’ y B (centro O1 de la circunferencia en la intersección de las mediatrices). Seguidamente une el punto B con el centro de inversión I y en la intersección con la circunferencia se encontrará B’.

A2_PAU Madrid Inversion

Ahora tenemos que encontrar la figura inversa de cada lado del triángulo.

  • La figura inversa de una recta que pasa por el centro de inversión es otra recta. Por tanto, la inversa del lado AC es la recta A’C’.
  • La figura inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión será una circunferencia que sí pasa por el centro de inversión.

Por tanto, para hallar la circunferencia inversa de BC, tendremos que encontrar la circunferencia que pasa por B’, C’ y por el centro de inversión I. Dibuja las mediatrices de los segmentos B’I y C’I. En su intersección estará el centro O2 de la circunferencia.

De igual manera deberás proceder para obtener la circunferencia inversa de la recta AB. Encuentra la mediatriz de A’B’. La mediatriz de B’I ya la has dibujado anteriormente. Dibuja la circunferencia que tiene como centro la intersección O3 de estas dos mediatrices y radio O3-A’.

Lógicamente de las circunferencias halladas sólo tenemos que quedarnos con los arcos situados entre los vértices A’, B’ y C’.

A3_PAU Madrid Inversion

A2.- Hallar todos los puntos de intersección de la recta r con el prisma dado en perspectiva caballera, indicando la visibilidad de la recta.

A4_PAU Madrid Interseccion caballera

Para obtener la intersección de la recta utilizaré un plano vertical auxiliar que contenga a la recta. Dibujaré la sección producida por este plano sobre el prisma (que podemos llamar escalera, ¿no crees?) y los puntos buscados se encontrarán en la intersección de esta sección con la recta.

  1. Plano vertical auxiliar P que contenga a la recta. Su traza horizontal coincide con la proyección horizontal r1 de la recta. Sus trazas en los otros dos planos serán verticales.
  2. Sección de P sobre la escalera. En los planos verticales serán rectas paralelas al eje Z. En los planos horizontales serán rectas paralelas a la traza horizontal P.

A5_PAU Madrid Interseccion caballera

  1. A partir de aquí sólo hay que encontrar la intersección de la recta r con la sección dibujada.
  2. Las partes ocultas están dentro de los escalones y están representadas con línea discontinua. Las partes vistas están entre escalón y escalón, al igual que por fuera de la escalera.

A6_PAU Madrid Interseccion caballera

A3.- Dibujar el corte A-A.

A7_PAU Madrid Corte

Tomo como base el alzado, puesto que el corte A-A’ está en un plano paralelo y será muy similar.

En la parte izquierda puedes observar que la línea de corte no secciona la pieza hasta el punto 1, por lo que hacia la izquierda de ese punto será visto y a partir de ahí empezará la parte seccionada y por tanto rayada.

Date cuenta en planta de que hay unos arcos paralelos que representan unos escalones cuya altura se puede ver en el perfil. Estas asociaciones las puedes hacer mediante rectas auxiliares que conecten planta, alzado y perfil, como te indico línea gris discontinua sobre las vistas. Estas líneas de referencia pueden ser a 45º o arcos de circunferencia.

A8_PAU Madrid Corte

En el cuerpo central, es importante remarcar que no se dibuja el nervio como seccionado en piezas mecánicas.

Y en cuanto al cuerpo lateral derecho, todo es igual salvo el orificio que podemos ver en planta, con forma circular y que atraviesa toda la pieza.

B1.- Construir un trapecio isósceles de 35 mm de altura que tenga tres lados iguales y cuya base mayor sea doble que la menor.

Un trapecio isósceles tiene los dos lados no paralelos iguales. En este caso, por el enunciado serán tres lados iguales, es decir, los dos no paralelos y uno de los paralelos. Para que sea un triángulo isósceles, además, los ángulos deben ser iguales dos a dos.

Para este ejercicio utilizaré el método de proporcionalidad.

Dibujaré en primer lugar un trapecio de tamaño menor al que nos piden, pero con las características de que 3 de sus lados sean iguales y que la base inferior sea doble de la superior. Posteriormente aplicaré la proporcionalidad hasta conseguir que la altura entre lados paralelos sea de 35 mm.

En este ejercicio habrá 2 soluciones: una en la que los dos lados no paralelos son iguales a la base superior y la otra en la que son iguales a la base inferior.

Solución 1

Dibujaré en primer lugar 2 rectas paralelas a 35 mm de distancia y el eje de simetría del trapecio.

B1_PAU Madrid Proporcionalidad

Dibujo a continuación una base superior AB de dimensión aleatoria (yo tomaré 10 mm a cada lado del eje, es decir, 20 mm de lado) y dos rectas paralelas al eje que se encuentren a una distancia doble de la anterior, esto es, a 20 mm del eje, donde se encontrarán los vértices C, D de la base inferior del trapecio. Así nos aseguramos de que la base inferior sea doble que la superior.

Puesto que los tres lados superiores del trapecio van a ser iguales, dibujaré dos circunferencias con centros en A y en B y con radio el lado, es decir, 20 mm.

En la intersección de las rectas paralelas situadas a 20 mm del eje y las circunferencias dibujadas se encontrarán los vértices C y D.

B2_PAU Madrid Proporcionalidad

Ahora sólo tenemos que aplicar proporcionalidad. Yo la dibujaré a partir del punto medio M de la base superior.

  • Une M con C y con D y prolonga las rectas hasta que corten a la recta de la base inferior en 3 y 4.
  • Para hacer dos figuras proporcionales sabemos que sus lados tienen que ser paralelos. Por tanto, sólo te queda dibujar las paralelas a BC y AD que pasan por los puntos 3 y 4, para obtener los puntos 1 y 2.

B3_PAU Madrid Proporcionalidad

Solución 2

Haremos el mismo proceso, pero en este caso empezando desde la base inferior.

  • Dibuja una base inferior de 20 mm a cada lado del eje, con paralelas al eje a 10 mm. Desde los puntos C y D dibuja dos circunferencias de radio 20 mm que determinarán los puntos A y B.

B4_PAU Madrid Proporcionalidad

  • Utiliza la proporcionalidad desde el punto M de la base inferior para obtener el trapecio deseado de vértices 1, 2, 3 y 4.

B5_PAU Madrid Proporcionalidad

B2.- Hallar los puntos de intersección de la recta r que pasa por los puntos O y P, con la esfera de proyecciones dadas. Indicar las partes vistas y ocultas de la recta.

B6_PAU Madrid Interseccion

Utilizaré para resolver este ejercicio un plano de perfil, ya que la recta que nos dan está de canto.

En un plano de perfil, dibuja la tercera proyección de la esfera, que será una circunferencia con el mismo radio y centro en O3. Este punto O3 se encuentra a la misma altura y sólo hay que buscar la posición respecto al plano de perfil mediante el compás o ángulo de 45º.

Dibuja también la recta de perfil, que pasa por la Línea de Tierra (punto P) y por el centro de la esfera.

B7_PAU Madrid Interseccion

Puesto que la recta pasa por el centro de la esfera, el plano vertical que la contenga producirá una sección sobre la esfera con forma circular y con el mismo radio que la esfera. Es decir, la corta por la mitad.

Los puntos de intersección A, B de la recta se ven directamente en el perfil sobre el contorno de la esfera. Ahora sólo tienes que llevar las proyecciones a su posición original.

B8_PAU Madrid Interseccion

Partes vistas y ocultas

¿Qué partes de la recta están ocultas por la esfera y cuáles no?

Dentro de la esfera la recta siempre estará oculta. Por tanto, entre A y B siempre será discontinua.

El punto B se encuentra en la mitad inferior y posterior de la esfera, por lo que tanto en proyección horizontal como en vertical, el tramo desde el punto B hasta el contorno de la esfera estará también oculto.

El punto A se sitúa en la mitad superior y anterior de la esfera. Tanto en proyección horizontal como en vertical será visto.

B3.- Representar en perspectiva caballera la pieza dada por sus vistas normalizadas, indicando partes vistas y ocultas. Aplicar Cy=1.

B09_PAU Madrid Caballera

En este último ejercicio no tenemos que aplicar coeficientes de reducción ni escalas, por lo que el ejercicio se simplifica bastante. Sólo tenemos que entender la pieza, que ya no es poco.

¡Vamos con ello!

Puedes ver que la figura es bastante uniforme ya que en planta no tiene muchas variaciones. Lo más sencillo será dibujar en el plano XZ la figura dada y proyectarla hacia el frente. Después le haremos el corte que tiene.

En primer lugar, dibuja el prisma que contiene todo, tomando las dimensiones máximas en cada eje.

Es fácil dibujar la figura sobre el plano XZ porque las circunferencias se ven en verdadera magnitud. Simplemente tienes que redibujarlo. Es extremadamente sencillo, ¿no crees?

B10_PAU Madrid Caballera

Si observas la planta verás que la pieza tiene dos partes diferenciadas a lo largo del eje Y, una delantera y otra trasera. Dibuja el plano intermedio en la perspectiva.

Las líneas horizontales que se ven en el alzado indican la altura hasta la que llega la pieza en la parte delantera. En la parte posterior, la pieza es completa.

Por tanto, dibuja en el plano delantero sólo hasta las rectas horizontales y en el plano intermedio el alzado completo.

B11_PAU Madrid Caballera

Al unir los distintos planos mediante rectas paralelas al eje Y obtendrás la figura definitiva.

B12_PAU Madrid Caballera

A modo de conclusión

Hoy te he explicado íntegramente y con todo el detalle posible un examen de Dibujo Técnico de las PAU de Madrid . El examen ha sido como siempre bastante completo y ha comprendido los siguientes aspectos:

  • Intersección en perspectiva caballera
  • Corte de una pieza
  • Geometría
  • Trazados geométricos: proporcionalidad
  • Pieza en perspectiva caballera

Inversión

Espero que te haya resultado de utilidad 😉

Aquí te dejo el enlace hacia la página web donde podrás encontrar los exámenes.

Si crees que puede servirle a algún amigo, compártelo, a mí también me harías un favor. Muchas gracias

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3 Responses to PAU de Madrid: Examen modelo de Dibujo Técnico resuelto y explicado

  1. Adrian April 15, 2015 at 8:31 pm #

    hola pablo, soy un alumno de 2o buscando ejercicios sobre inversion me tope con tu web por casualidad y me ha enganchado jeje se me ha ocurrido otra forma, a mi parecer más simple del B1 y consiste en lo siguiente:

    te construyes un triangulo equilatero de 35mm de altura con la base en una recta y el vertice superior en otra recta (paralelas), en la recta superior colocas la medida de la base pegada al vertice asi obtienes la base menor, vuelves a colocar la misma medida o bien desde otro vertice del triangulo o desde el final de la base menor y sacas el ultimo vertice, asi, serian iguales tanto la base menor como los dos lados.

    • Pablo Domingo April 16, 2015 at 4:57 pm #

      Hola Adrián,
      Si he interpretado correctamente lo que quieres decir, salen 3 triángulos equiláteros dentro del trapecio, cada uno con una altura de 35 mm y unidos dos a dos por un lado, ¿correcto? Esa sería efectivamente como la primera solución que yo planteo.
      ¡Estupendo!
      Un saludo

  2. kevi May 7, 2015 at 10:40 pm #

    Me sirven se mucho tus explicacions, estoy en 2º y mi profesora explica como si estuviera en 3º carrera pero dice que le da igual, compartire esto con mis compañeros dibujantes que están tambien de los pelos, muchas gracias por tu ayuda, de verdad

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