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PAU Castilla y León, junio de 2014: el examen de Dibujo Técnico resuelto y explicado (con vídeo de los 6 ejercicios)

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Aprovechando las fechas de las PAU (Pruebas de Acceso a la Universidad/Selectividad) deseo toda la suerte a mis lectores que tienen que hacer el Examen de Dibujo Técnico.

Aquí dejo una nueva ayudita: el examen completo de Castilla y León de junio de 2014, con todos los ejercicios explicados en vídeo. Los 6 ejercicios correspondientes a las 2 opciones son los siguientes:

Opción A

  • Geometría Métrica: dibujar un pentágono
  • Sistema Diédrico: plano paralelo a la Línea de Tierra,
  • Normalización: Dibujar una pieza en Isométrica a partir de sus vistas

Opción B

PAU Castilla y León. Opción A

Puedes ver el vídeo explicativo de los 3 ejercicios de la Opción A en Youtube

Parte I: Geometría Métrica

Representar un pentágono regular de 40 mm de lado, de manera que su lado AB pertenezca a la recta r dada y su vértice D opuesto al AB se encuentre sobre la recta s.

01_Pentagono

Puesto que conocemos que el lado del pentágono es de 40 mm podemos dibujarlo completamente. Desconocemos su posición precisa, pero sabemos que está apoyado sobre la recta r.

Por tanto, dibujaremos el pentágono a partir del lado AB en una posición aleatoria sobre la recta r y posteriormente lo desplazaremos en paralelo a esta recta hasta conseguir que el vértice D esté contenido en la recta s. Será sencillo, simplemente mediante una recta paralela.

Empezaremos dibujando el pentágono.

¡Ah! Quizá esta es la parte más complicada del ejercicio: dibujar un pentágono a partir del lado. Los polígonos regulares siempre pueden caer en el examen, así que debes conocer su construcción irremediablemente y tenerla fresca el día del examen. No lo olvides, es muy importante.

Dibuja el pentágono

  1. Toma un punto aleatorio 2 de la recta r (yo he tomado justo el extremo de la recta r dada) y mediante un arco con radio 40 m obtén el punto 1, también sobre la recta r. Los puntos del 1 y 2 del pentágono que dibujaremos a continuación corresponderán a los puntos del A y B en el pentágono final desplazado.
  2. Mediatriz del segmento 1-2 y recta paralela a la mediatriz (es decir, perpendicular a r) por el punto 2. Un arco con centro en 2 y radio 1-2 define el punto P. Un arco con centro en M y radio M-P determina Q en la prolongación de la recta r. La distancia 1-Q es la diagonal del pentágono, por lo que trazando un arco con centro en 1 y radio 1-Q obtendrás el punto 3 en la prolongación del arco 1-P y el punto 4 en la mediatriz de 1-2.
  3. El punto 5 lo puedes obtener con dos arcos de radio 1-2 (el lado del pentágono) y centros en 1 y 4. Estos arcos se cortan en 5.

02_Pentagono

Traslada el pentágono

Puesto que el lado AB debe pertenecer a la recta r, el desplazamiento del pentágono debes hacerlo en la dirección de esta recta. Será el punto 4 el que pertenezca a la recta s. Por tanto, dibuja una recta paralela a r por el punto 4 y en la intersección con la recta s obtendrás el punto D, que será vértice del pentágono definitivo.

Para trasladar el pentágono completo sólo tienes que dibujar rectas paralelas a los lados del pentágono que se encontrarán con rectas paralelas a la recta r desde cada vértice.

Dibuja una recta paralela a r por el punto 3. Dibuja sendas rectas paralelas a 4-3 y a 4-5 por el vértice D y obtendrás sobre la recta anterior los puntos C y E. Con una recta paralela a 2-3 por C obtendrás B sobre la recta r. Con una recta paralela a 1-5 por E obtendrás el vértice A, también sobre r.

Remarca el resultado y ya está resuelto el ejercicio. 3 puntos fáciles, ¿no crees?

03_Pentagono

Parte II: Sistema Diédrico

Representar las proyecciones de la circunferencia de radio R, situada en el plano definido por el rectángulo MNPQ, determinar además, los ejes de las elipses. Los centros del rectángulo y de la circunferencia son coincidentes.

04_Diedrico plano perfil

Se trata en este caso de un plano paralelo a la Línea de Tierra, porque 2 de sus rectas P-N y M-Q tienen ambas proyecciones paralelas a la LT. Para poder dibujar la circunferencia en Verdadera Magnitud tendremos que abatir el plano, pero primero debemos ponerlo de perfil.

Plano de perfil

Utiliza la recta M-N perpendicular a la LT como plano de perfil. Con centro en M’’ y radio M’’-M’ lleva un arco hasta la LT que definirá la proyección en el perfil del punto M, es decir M’’’.

Con centro en M’’ y radio M’’-N’ dibuja un arco hasta la LT. Desde ahí dibuja una recta perpendicular a LT. Por el punto N’’ dibuja una recta paralela a LT y obtendrás N’’’. Al unir N’’’ con M’’’ tienes la inclinación real del plano del rectángulo.

Abatimiento

Mira este vídeo para saber qué significa abatir un plano.

No podemos abatir el plano hacia la derecha porque se saldría del dibujo y no es conveniente que lo abatas hacia la izquierda porque se superpondría con las demás líneas. Pero sí conocemos la traza horizontal del plano, que es la recta M-Q y sabemos que la longitud del rectángulo es la distancia D vista en el perfil entre los puntos M’’’ y N’’’. Por tanto, podemos llevar esta distancia D (que está en Verdadera Magnitud) por debajo de la recta M’-Q’ (la traza horizontal), de manera que el rectángulo queda perfectamente abatido.

Dibuja las diagonales del rectángulo tanto en abatimiento como en las proyecciones y encontrarás en su intersección la posición del centro O de la circunferencia.

Con centro en (O) y radio R ¡ya puedes dibujar la circunferencia en abatimiento!

05_Diedrico plano perfil

Desabatimiento

Desabatiremos la circunferencia mediante 8 puntos. Los ejes de las elipses serán las rectas paralela y perpendicular a las trazas del plano. Por ello, las dibujamos en el abatimiento y numeramos los puntos del 1 al 8.

La proyección horizontal se obtiene de manera muy sencilla desabatiendo por Homología Afín. El Eje de Afinidad es la traza horizontal (recta M’-Q’) y la dirección es la perpendicular.

Los puntos 2, 4, 6, 8 tendrán sus proyecciones sobre las diagonales. Por tanto, sólo tienes que dibujar la recta perpendicular a la LT que pasa por (2) y (4) para obtener las proyecciones horizontales 2’, 4’, 6’, 8’ y las verticales 2’’, 4’’, 6’’, 8’’.

En las rectas paralelas a LT que pasan por O’ y O’’ se encontrarán las proyecciones de los puntos 1 y 5. Dibuja dos rectas perpendiculares a LT por 1 y por 5 para obtener 1’, 1’’, 5’ y 5’’.

Para encontrar la proyección horizontal de los puntos 3 y 7 utilizaremos la Afinidad, tomando como base puntos de los que ya conocemos sus afines. Prolonga la recta (5)-(3) hasta la traza M’-Q’ y desde ahí únelo con 5’ para obtener 3’. Prolonga asimismo la recta (7)-(1) hasta la traza y desde ahí únelo con 1’ para obtener 7’.

Hay diferentes maneras de encontrar las proyecciones verticales de 3 y 7. Yo he tomado el radio R y lo he situado en O’’’, que es la proyección en el perfil del centro de la circunferencia. Esto determinará la posición de los puntos 3’’’ y 7’’’ que, mediante rectas paralelas a LT definirán las proyecciones verticales 3’’ y 7’’.

El eje mayor de la elipse sería el 1-5 y el eje menor sería el 3-7 para ambos casos, tanto para la proyección vertical como para la horizontal.

06_Diedrico plano perfil

PARTE III: REPRESENT. DE PERSPECTIVAS Y NORMALIZACIÓN (4 puntos)

Ajustándose a los ejes del Sistema que se facilitan, representar a escala 1/1 el Dibujo Isométrico (sin coeficiente de reducción) de la pieza dada por sus proyecciones.

Tomar las medidas de las vistas. Dibujar líneas ocultas.

Colocar la Perspectiva según la orientación de los ejes y del punto de origen (O) que se indica.

07_Isometrica

Puesto que no hay que preocuparse de coeficiente de reducción ni escala, basta con tomar las medidas en las vistas y llevarlas al dibujo de manera ordenada. Empezaremos dibujando el prisma completo que envuelve la pieza.

Prisma envolvente

En el eje X mide 6.42 cm, que son los que tendrás que llevarte al eje X. Asimismo con los 3.98 cm del eje Y y los 3.17 cm del eje Z, es decir, de la altura. Una vez tomadas en la perspectiva sólo tendrás que dibujar paralelas a los 3 ejes para dibujar el prisma completo.

Comprueba ahora que los ejes están correctamente colocados, es decir, que el perfil lateral derecho (que es el que nos dan, puesto que está situado a la izquierda) se quedará en la perspectiva en la parte derecha, y que planta y alzado se corresponderán en la isométrica.

Bocados evidentes

Esta es la típica pieza que quedará casi resuelta una vez que empecemos a darle los bocados evidentes. Por bocados evidentes me refiero a aquellas partes de las vistas que no tienen pieza y que, por tanto, podemos extraer en la perspectiva. Los más evidentes en esta pieza son dos: por un lado, los bocados inclinados a modo de tejado que se ven en alzado y, por otro lado, el rectángulo grande que se ve en la parte trasera de la planta. Como ves, puesto que no existe pieza, podemos quitarla en la perspectiva.

Dibuja en la perspectiva el bocado en forma de tejado del alzado y verás cómo la pieza va adquiriendo rápido su forma. Define para ello la altura de los extremos y la posición del vértice superior. Dale profundidad hasta la parte posterior de la pieza.

Para el segundo bocado, toma las medidas sobre el eje X que determinan los lados del rectángulo. Mide la profundidad en la planta en el eje Y. Mediante verticales desde estos puntos encontrarás la altura correspondiente al bocado en el tejado de la pieza. Recuerda que las aristas que corten al tejado deberán ser paralelas a este.

08_Isometrica

Parte delantera izquierda

Como puedes comprobar, gran parte de la pieza está resuelta. Muchas de las líneas que aparecen en las vistas quedan resueltas directamente gracias a los bocados que hemos dado, incluso aunque esas líneas aún no las hayamos tenido en cuenta. Es ahora el momento de comprobar cuáles de las líneas están ya representadas y cuáles faltan por dibujar.

Si observas, sólo queda por resolver la esquina delantera izquierda. En planta puedes ver que existe un nuevo bocado en el tejado, estrecho y alargado. Lleva la posición de este bocado midiendo sobre el eje X y dale su pequeña profundidad midiendo en el eje Y. Mediante verticales y paralelas a las aristas del tejado encontrarás la forma definitiva de dicho tejado.

La única parte restante es un prisma situado en la parte delantera, que se percibe como dos rectángulos en planta y alzado. En el perfil no existe ninguna línea adicional, por lo que descartamos de la posibilidad de que sea una rampa o cilindro.

Remarca el resultado y no te olvides de las líneas ocultas que se verán en discontinua.

09_Isometrica

PAU Castilla y León. Opción B

Puedes ver el vídeo explicativo con los 3 ejercicios de la Opción B en Youtube

PARTE I: GEOMETRÍA MÉTRICA (3 puntos)

Dibujar la figura afín de la circunferencia dada conociendo el eje de afinidad y una pareja de puntos afines O y O1. Resaltar los ejes de la cónica resultante.

10_Afinidad circunferencia

El método para encontrar los ejes de la elipse afín a la circunferencia es mecánico y te lo explico a continuación:

  1. Dibuja la mediatriz del segmento O-O1, que cortará al Eje de Afinidad en el punto M.
  2. Traza una circunferencia con centro en M y radio M-O, que pasará por O y por O1. Esta circunferencia corta al Eje de Afinidad en los puntos 1 y 2. Une O y O1 con 1 y 2. Puesto que 1 es un punto doble (ya que pertenece al Eje de Afinidad) y O1 es el punto afín de O, la recta O-1 es afín a la recta O1-1. De igual manera, la recta O1-2 es afín a la recta O-2. Las rectas O1-1 y O1-2 son perpendiculares entre sí y serán los ejes de la elipse.
  3. Prolonga las rectas O-1 y O-2 para conseguir los puntos A, B, C y D. Sus afines serán los extremos de los ejes de la elipse.
  4. La recta afín de O-1 es O1-1 y contendrá por tanto los afines de A y C. Dibuja por estos dos puntos sendas rectas paralelas a O-O1, que es la Dirección de Afinidad y ¡ya tienes A1 y C1!
  5. La recta afín de O-2 es O1-2 y contendrá los puntos afines de B y D. Dibuja rectas paralelas a O-O1 por B y por D y en su intersección con la recta O1-2 se encuentran los afines B1 y D1, extremos del eje mayor de la elipse. Observa que B1 está al otro lado del Eje de Afinidad. Esto no es ningún problema.
  6. Dibuja la elipse. Si necesitas más puntos puedes tomar aleatoriamente puntos de la circunferencia y encontrar sus afines o bien (como he hecho yo) encontrar los focos de la elipse f y f’ e ir encontrando puntos adicionales. Te lo explico a continuación.

11_Afinidad circunferencia

Dibujar la elipse a partir de sus ejes

Para encontrar los focos de la elipse, traza un arco con centro en C1 (extremo del eje menor) y radio B1-O1 (semieje mayor). Los puntos de corte de este arco con el eje mayor son los focos.

Haz tantas divisiones en el segmento f-O1 como puntos de la elipse quieras definir. Yo sólo he tomado una división, coincidente con el punto 2. Con centro en B1 y en D1 y radio f-2 dibuja dos arcos de circunferencia. Con centro nuevamente en B1 y en D1 pero ahora con radio f’-2 dibuja otros dos arcos de circunferencia que cortarán a los anteriores y determinan 4 puntos de la elipse.

12_Afinidad circunferencia

PARTE II: SISTEMA DIÉDRICO (3 puntos)

Dado el segmento AB y la recta r, hallar el punto Q de r que equidiste de A y B.

Nota explicativa: Se define plano mediador o plano mediatriz de un segmento AB como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los extremos de dicho segmento. Se halla como el plano perpendicular al segmento AB por su punto medio.

13_Diedrico distancias

Imagínate un segmento en el espacio. Todos los puntos que equidistan (están a la misma distancia) de sus extremos se encuentran en un plano perpendicular a dicho segmento que pasa por el punto medio del segmento. Es como una mediatriz en el espacio. De todos esos puntos tenemos que tomar el que pertenezca a la recta r.

Por tanto, el proceso es sencillo.

14_Diedrico distancias

  1. Encuentra el punto medio M del segmento AB. Su proyección horizontal está en la mediatriz de la proyección horizontal A’-B’.
  2. Haz pasar por M un plano perpendicular a la recta AB. Dibuja para ello una recta horizontal de plano que pase por M y sea perpendicular a AB. Eso quiere decir que su proyección vertical será paralela a la Línea de Tierra y su proyección horizontal perpendicular a A’-B’ (es decir, es la mediatriz que habías dibujado antes). Por el punto traza v’’ de esta recta deberás dibujar las trazas del plano P’-P’’, que serán ambas perpendiculares a las proyecciones de AB.
  3. Encuentra la intersección del plano P’-P’’ con la recta r’-r’’. Para ello utiliza un plano auxiliar X’-X’’ que sea proyectante (yo utilizo proyectante vertical) y contenga a la recta r’-r’’. Es decir, su traza vertical coincide con la proyección vertical r’’ y su traza horizontal es perpendicular a la LT. La intersección de los planos P y X es la recta i-j. Encuentra la proyección horizontal de i’’ sobre la LT mediante una recta perpendicular a esta. Une I’ con j’ y obtendrás sobre r’ la proyección horizontal Q’ del punto que buscamos. Encuentra su proyección vertical Q’’ en la proyección vertical r’’.

¡Puedes estar seguro de que el punto que has encontrado Q’-Q’’ pertenece a r’-r’’ y equidista de A y B!

¡Resuelto! 🙂

15_Diedrico distancias

PARTE III: REPRESENT. DE PERSPECTIVAS Y NORMALIZACIÓN (4 puntos)

Dibujar y acotar a escala 1:2 y sin líneas ocultas, las vistas y/o cortes convenientes que definan completamente la pieza adjunta, representada en perspectiva isométrica y acotada en milímetros. Las dimensiones no acotadas serán deducidas de la perspectiva

16_Vistas pieza

Puesto que las medidas son muy sencillas y para aplicar la escala 1:2 sólo hay que dividir las cotas dadas por 2 no dibujaré en este caso una escala gráfica. No obstante, si la necesitas, lo tienes explicado en el artículo de escalas y aplicado en el problema de la Opción B de las PAU de Andalucía, de junio de 2014.

Al ser un cálculo tan sencillo, bastará que mantengas la concentración en la primera parte del ejercicio en la que tomaremos las medidas generales y si posteriormente se te olvida aplicar la escala en algún paso, te darás cuenta inmediatamente.

Las vistas que dibujaremos serán: planta, sección por el plano de simetría y perfil.

Dimensiones generales

Dibuja en primer lugar los 3 rectángulos envolventes, es decir, con las medidas generales. La planta es un cuadrado de 120×120 mm, que dibujaremos como un cuadrado de 60×60 mm ya que debemos aplicarle la escala 1:2. Es sencillo, ¿no?

La sección quedaré justo por encima de la planta, por lo que los contornos laterales coinciden. La altura total de la pieza es de 80 mm, que quedará de 40 mm al aplicarle la escala. Por tanto, la sección queda como un rectángulo de 60×40 mm.

Por último, el perfil es un rectángulo igual que la sección, puesto que la pieza es simétrica respecto a dos ejes. Sitúalo a cualquiera de los dos lados de la sección.

Planta

Dibuja en primer lugar los empalmes del contorno. Estos tienen un radio de 30 mm (15 mm a escala). Para ello, dibuja rectas paralelas a los contornos por el interior del cuadrado, a una distancia de 15 mm. Los puntos de intersección son los centros de los arcos de circunferencia. Los puntos de tangencia están en la perpendicular a los lados que pasa por el centro.

El cilindro moldeado que se ve en la pieza se representará como 3 circunferencias concéntricas, con centro justo en el punto medio de la pieza. Dibuja las diagonales del cuadrado o simplemente dibuja rectas paralelas a los lados por el punto medio para encontrar el centro. Dibuja ahora las 3 circunferencias con los siguientes radios:

  • Radio 20 mm, correspondiente a la circunferencia de diámetro 80 mm, que a escala tendría un diámetro 40 mm, lo que supone un radio de 20 mm.
  • Radio 15 mm, para la circunferencia de diámetro 60 mm
  • Radio 10 mm, para la circunferencia de diámetro 40 mm.

Así quedaría la planta resuelta.

17_Vistas pieza

Sección

Daremos la sección justo por el centro de la pieza. Dibuja es línea horizontal de sección en la planta y lleva en vertical cada punto que sea cortado.

La base de la pieza será un rectángulo con una altura de 20 mm (10 mm a escala 1:2).  El cilindro tiene como contorno la circunferencia mayor, que llega hasta la parte superior de la pieza. El diente interior está dado con la circunferencia intermedio y tiene una profundidad de 20 mm (nuevamente 10 mm a escala) y conecta en horizontal con el hueco interior del cubo, representado por la circunferencia interior.

Así puedes ya dibujar el borde seccionado, simétrico a ambos lados de la pieza. Dibuja los ejes del cilindro y de los empalmes de la base y, por último, no te olvides del sombreado.

Perfil

El perfil es la vista más sencilla. Procura colocarlo para que te sea fácil llevar las medidas a 45º o con el compás. Sólo tendrás que dibujar la base y un rectángulo que corresponde al cilindro.

En el enunciado piden que no se dibuje ninguna línea oculta, así que ¡ya está terminado!

***

¿Qué te ha parecido el examen de las PAU de Castilla León? Deja tu comentario más abajo.

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2 Responses to PAU Castilla y León, junio de 2014: el examen de Dibujo Técnico resuelto y explicado (con vídeo de los 6 ejercicios)

  1. monica June 1, 2016 at 2:19 am #

    En el ejercicio “Dado el segmento AB y la recta r, hallar el punto Q de r que equidiste de A y B”. Se debería realizar previamente la verdadera magnitud del segmento AB (bien por un giro o por un cambio de plano), y sobre esa verdadera magnitud trazar la mediatriz del segmento, esta coincidirá con la solución expuesta pero considero erróneo realizar un ejercicio de mediatriz en verdadera magnitud sobre un segmento oblicuo a los dos planos de proyección.

  2. Jose A. June 1, 2016 at 3:01 pm #

    Hola Pablo! en el ejercicio tres de la opción b ¿se podría coger el alzado desde otro lado: por ejemplo, de forma que solo se vea una parte de la sección rayada, es decir, desde la izquierda de la pieza?

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