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La circunferencia en Homología 2: la Parábola

La curva cónica homóloga de una circunferencia es una parábola cuando la circunferencia es tangente a la Recta Límite RL’

Puedes ver también el vídeo en Youtube

En esta serie de 3 artículos aprenderás a dibujar la figura homóloga de la circunferencia determinando sus ejes y elementos principales.

Como te expliqué en los anteriores artículos de Homología y la Elipse en Homología la figura homóloga de una circunferencia puede ser una elipse, una parábola y una hipérbola. Estudiamos aquí el segundo caso, para que seas capaz de dibujar la parábola a partir de su Eje, Directriz y Foco.

La parábola como homóloga de la circunferencia

Dada una homología definida por el Centro, el Eje y su Recta Límite RL’, se pide dibujar la figura homóloga de una circunferencia tangente a la RL’.

05_Homologia parabola

 

El punto de tangencia T tiene su homólogo en el infinito y sería el punto que cerraría la parábola al cortarse con su eje. Por tanto, la recta O-T indicará la dirección del eje de la Parábola. En primer lugar hallaremos la Dirección de la Parábola, que es perpendicular al Eje.

Traza una perpendicular a O-T por O y desde el punto de corte 1 con la RL’ traza la tangente a la circunferencia. Esto se hace, como sabes por el artículo de Tangencias dibujando la mediatriz del arco 1-C y desde el punto medio, dibujando un arco que corta a la circunferencia en dos puntos. Estos puntos son los de tangencia. T ya lo conocíamos y V nos determina el vértice de la parábola.

 

07_Homologia parabola

Eje y Dirección de la Parábola

La Dirección de la Parábola vendrá dada por la recta homóloga de 1-2, ya que es una recta tangente a la circunferencia por el Vértice de la Parábola. Al unir el Centro de Homología O con V obtendremos el homólogo V’.

¡V’ es el vértice de la parábola!

El Eje se puede obtener de 2 maneras distintas:

  • Dibujando una recta perpendicular a la Dirección hallada por V’.
  • Encontrando la recta homóloga de V-T, que es paralela a la recta O-T.

 

07_Homologia parabola

El Foco de la parábola

Para obtener el Foco de la parábola utilizaremos la siguiente propiedad de las parábolas: la proyección ortogonal del foco sobre cualquier recta tangente a la parábola se encuentra sobre la recta tangente por el vértice de la misma.

Por tanto, haremos uso de una recta tangente por un punto cualquiera T2 de la circunferencia. Prolonga dicha recta tangente hasta que corte a la anterior recta tangente 1-V en el punto 3. Esta es la proyección de la que habla la propiedad mencionada.

El punto de corte 4 de la recta con la RL’ lo tienes que unir con el centro de homología O. Por el punto O, traza una recta perpendicular a O-4 que corta a la RL’ en 5. La recta 5-3 determinará la posición del Foco sobre V-T. Sólo tenemos que encontrar su homólogo. Esto se consigue fácilmente pasando una recta paralela a O-5 por el punto 6. Así determinamos la posición del foco de la parábola F’.

 

08_Homologia parabola

¡A partir de aquí es extremadamente sencillo! ¿No crees?

Dibuja la parábola

Dadas el vértice V’ y el Foco F de una parábola es muy fácil dibujarla.

Sabemos que el Vértice es el punto medio entre el Foco y la Directriz. Traza una circunferencia con centro en V’ y radio V’-F’ y dibuja la recta tangente a esta, paralela a la Dirección de la Parábola.

Seguidamente, para obtener puntos de la parábola, toma diversas rectas perpendiculares al eje de la parábola a distancias arbitrarias.

Por definición, la parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de la Directriz y del Foco.

Por tanto, la distancia de dichas rectas (a, b, c, d) a la Directriz es igual a la distancia del Foco a un punto de la parábola. Tomo con el compás la distancia del punto a a la Directriz y con esa medida trazo un arco de circunferencia con centro en F’ que corta a la recta perpendicular al eje por a. Esto definirá dos puntos de la parábola.

De manera análoga puedo obtener los puntos que necesite.

09_Homologia parabola

¿Qué piensas del método? Es preciso, ¿eh? La próxima semana te traeré el último artículo de esta serie: la Hipérbola en Homología.

¡Hasta la próxima!

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4 Responses to La circunferencia en Homología 2: la Parábola

  1. Miguel August 3, 2014 at 2:39 pm #

    ¡Muy bien explicado!
    En el caso de que tengamos sólo la recta límite, el eje homología, el vértice y foco de la parábola ¿Habría alguna posibilidad de hallar la circunferencia homóloga?

    • Pablo August 3, 2014 at 4:21 pm #

      Hola Miguel,
      Muchas gracias por tu comentario. En el caso que planteas, la homología no está definida completamente, faltarían datos, como por ejemplo el Centro de Homología o un par de puntos homólogos. En el artículo de homología (http://www.10endibujo.com/homologia/) en el apartado de “Determinación de una homología” puedes ver los datos necesarios para definir una homología. Tener una recta límite equivale a conocer un par de rectas homólogas.
      Espero haber aclarado tu duda.
      Un saludo, Pablo

  2. Miguel August 10, 2014 at 1:00 pm #

    Muchas Gracias Pablo y perdona por la tardanza; creo que no me llegó ningún aviso al correo y pensaba que estaba sin contestar aún.

    Eso mismo pensaba yo. El problema fue plantado como que se podía resolver por medios indirectos pero yo no he dado con ello.

    Otra observación: ¿la recta límite no debería ser RL (sin prima) ya que pertenece a puntos del mismo “lado” a transformar, como T, V, F, T2, 3, etc? no se si me explico bien.
    Un saludo

    • Pablo Domingo January 18, 2015 at 7:29 pm #

      Hola Miguel, perdona que haya tardado tanto en contestar pero no me había dado cuenta del comentario. Tienes razón, la recta límite en este caso debería llamarse RL.
      Muchas gracias por tu aportación

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