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La circunferencia en Homología 3: la hipérbola

La curva cónica homóloga de una circunferencia es una hipérbola cuando la circunferencia es secante a la Recta Límite RL’

Puedes ver también el vídeo en Youtube.

Este es el último de una serie de 3 artículos con los que puedes aprender a dibujar la curva cónica homóloga de la circunferencia determinando sus elementos principales.

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Como te expliqué en los anteriores artículos la figura homóloga de una circunferencia puede ser una elipse, una parábola y una hipérbola. Estudiamos aquí el tercer caso, para que seas capaz de dibujar la hipérbola a partir de sus asíntotas, focos y vértices.

Asíntotas de la Hipérbola

Dada una homología definida por el Centro, el Eje y su Recta Límite RL’, se pide dibujar la figura homóloga de una circunferencia secante a la RL’.

10_Homologia hiperbola

Los dos puntos de corte de la circunferencia con RL’ tienen sus homólogos en el infinito y representan los puntos en los que la hipérbola tocará a las asíntotas. Por tanto, nos definirán las asíntotas mismas.

En primer lugar, dibuja las 2 rectas tangentes a la circunferencia por los puntos de corte con la RL’. Su intersección definirá el punto P o polo.

Las asíntotas serán las rectas homólogas de las dos tangentes dibujadas y el homólogo del polo será la intersección de ellas. Para dibujarlas, deberás trazar por los puntos dobles pertenecientes al Eje de ambas tangentes (puntos 1 y 2) una recta paralela a O-T1 y O-T2 respectivamente. Esto dará las rectas homólogas r’ y s’, así como el homólogo P’ del polo.

 

11_Homologia hiperbola

Eje de la Hipérbola

La bisectriz del ángulo formado por las asíntotas determinará el eje de la hipérbola. Para poder discernir de cuál de los ángulos tenemos que dibujar la bisectriz, tomaremos un punto aleatorio 3 de la circunferencia y obtendremos su homólogo 3’.

 

12_Homologia hiperbola

Vértices de la Hipérbola

Una vez dibujada la bisectriz, que es el Eje de la Hipérbola, podemos encontrar los vértices de la misma. Estos se encuentran en la intersección de la hipérbola con el eje. Por tanto, dibuja la recta homóloga del eje de la hipérbola. Para ello puedes unir el punto doble 4 (perteneciente al Eje de Homología y al Eje de la Hipérbola) con el punto P, homólogo de P’.

Los dos puntos de corte A y B con la circunferencia determinan los vértices de la hipérbola. Para obtener sus homólogos simplemente une A y B con el Centro de Homología O y obtendrás A’ y B’.

13_Homologia hiperbola

 

Dibuja la hipérbola

A partir de aquí es relativamente sencillo.

Traza una recta perpendicular al Eje de la Hipérbola por los puntos A’ y B’. Estas rectas serán tangentes a la hipérbola. Determinan además el punto 5 sobre la asíntota. Dibuja una circunferencia con centro en P’ y radio P’-5 que te dará los focos F1 y F2 de la hipérbola.

A partir de aquí utilizaré el método tradicional de trazado de la hipérbola.

La hipérbola es el Lugar Geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es igual a la distancia entre los vértices.

Para dibujarla, toma varias medidas aleatorias (a, b, c) sobre el eje de la hipérbola. Con centro en los focos F1 y F2 y radio A’-a y B’-a dibuja las circunferencias que determinarán dos puntos de cada rama de la hipérbola. Puedes conseguir todos los puntos que quieras. Cuantos más puntos, más precisa será.

14_Homologia hiperbola

 

***

Con este artículo concluye la serie sobre la circunferencia en Homología.

¿Te ha quedado alguna duda? Déjamela en los comentarios y te contestaré lo más rápido posible. Si no tienes ninguna duda, comparte el artículo en Facebook o Twitter 😉

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Muchas gracias y hasta la próxima

Pablo

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