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La circunferencia en Homología 1: la elipse

En esta serie de 3 artículos aprenderás a dibujar la figura homóloga de la circunferencia determinando sus ejes y elementos principales.

Puedes ver el vídeo explicativo en Youtube

En el artículo anterior sobre Homología te indicaba que la figura homóloga de una circunferencia es siempre una curva cónica pero que existen 3 casos, en función de la posición relativa entre la circunferencia y la Recta Límite RL’.

  • Si la circunferencia es exterior a la RL’, la figura homóloga será una elipse.
  • Si la circunferencia es tangente a la RL’, la figura homóloga es una parábola.
  • Si la circunferencia es secante a la RL’, la figura homóloga es una hipérbola.

Si la circunferencia y la curva cónica homóloga son secantes, la cuerda común a ambas estará contenida en el Eje de Homología.

En dicho artículo te presenté el método general para encontrar la figura homóloga de una circunferencia. Se trataba de dividir la circunferencia en 8 partes iguales, con uno de los diámetros preferentemente paralelo al Eje de Homología. Este método es genérico y funciona en todos los casos pero quiero presentarte métodos más precisos, con los que podrás obtener los ejes, vértices, focos, etc. de las diferentes curvas cónicas.

Permanece atento a los siguientes artículos para la hipérbola y la parábola

La elipse como figura homóloga de la circunferencia

La curva cónica homóloga de una circunferencia es una elipse cuando la circunferencia es exterior a la Recta Límite RL’

Dada una homología por su Centro, Eje y su Recta Límite RL’, se pide dibujar la elipse homóloga de la circunferencia, obteniendo sus ejes.

 

01_Homologia elipse

Toma un punto 1 cualquiera de la Recta Límite RL’

Debes hallar los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la circunferencia que pasan por el punto 1. Esto es fácil según el método que vimos en el artículo de tangencias. Dibuja sencillamente la mediatriz del segmento O-1 y desde el punto medio M traza un arco de circunferencia que pase por O y por 1. Cortará a la circunferencia en los puntos A y B, que son los puntos de tangencia que buscamos.

 

02_Homologia elipse

Une ahora los puntos A y B hasta que corten a la RL’ en el punto 2. Desde el punto 2, repite el procedimiento anterior para encontrar los puntos de tangencia. Esto te dará los puntos C y D. Si unes C con D, te darás cuenta de que están alineados con 1.

Diámetros conjugados de la elipse

Las rectas A-B y C-D determinarán dos diámetros de la elipse y su punto de corte M, el centro de la misma.

Para conseguir la recta homóloga de C-D sólo tendrás que trazar una paralela a V-1 por el punto 3, que es el punto de corte con el Eje. De manera análoga tendrás que proceder para obtener la recta homóloga de A-B.

03_Homologia elipse

 

Obtén ahora los puntos homólogos A’, B’, C’ y D’ simplemente uniendo el Centro de Homología V con cada punto A, B, C y D.

Esto nos da unos diámetros conjugados de la elipse, con lo cual ya puedes dibujarla por alguno de los métodos conocidos.

 

04_Homologia elipse

Yo dibujaré la circunferencia cuyo diámetro es C’-D’ y dibujaré el diámetro perpendicular a este que pasa por el centro M’. Uno los extremos de este diámetro con los extremos del diámetro conjugado A’ y B’. Tomo varias divisiones del diámetro mayor y mediante paralelas desde los puntos de corte con la circunferencia conseguiré los puntos de la elipse.

 

05_Homologia elipse

Me parece muy bonito poder dibujar la figura homóloga de una circunferencia a partir de sus elementos principales y no simplemente a partir de puntos aleatorios.

Es sin duda más laborioso pero mucho más preciso.

Espero que lo hayas disfrutado tanto como yo. ¿Me harías el favor de compartirlo a través de Facebook o Twitter? ¡Muchas gracias!

¡No te pierdas los artículos sobre parábola e hipérbola! Quizá te interesen también los artículos de Homología u Homología afín.

Caso concreto: Centro de Homología coincidente con Centro de la Circunferencia

(Añadido del 12 de Agosto de 2014)

A raíz de la consulta de un lector he elaborado un vídeo para explicar el caso concreto de cómo dibujar la elipse homóloga de la circunferencia cuando el Centro de la Circunferencia coincide con el Centro de Homología.

Como puedes ver, el método es exactamente el mismo. Espero que te sea de utilidad. Siempre me alegra que mis lectores se pongan en contacto conmigo para que les pueda echar una mano con sus dudas. Así, ¡anímate!

También puedes ver el vídeo en Youtube

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