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El giro más difícil que te puedas encontrar. Simetrías y traslaciones.

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Las transformaciones geométricas planas pueden resultar aparentemente sencillas, pero siempre puede haber una determinada que nunca te habías encontrado. Como por ejemplo un giro que te explicaré más abajo: si nunca lo has visto, lo más probable es que te quedes en blanco en el examen.

Como no quiero que eso te ocurra, voy a dedicar este artículo a desgranar la simetría, la traslación y el giro y ponerte todos los casos posibles para que vayas con total seguridad a tu examen.

Simetría

La simetría es una transformación geométrica en la que a cada punto se le hace corresponder otro que está al otro lado y a la misma distancia de un eje o de otro centro. Existen por tanto dos tipos de simetría:

  • Simetría respecto a un eje o simetría axial
  • Simetría respecto a un punto o simetría central

Simetría axial

Los puntos simétricos se encuentran a distintos lados del eje y tienen la misma distancia respecto a este.

Dados una figura y un eje de simetría, el proceso para dibujar la figura simétrica sería el siguiente:

  1. Dibujar una recta perpendicular al eje que pase por un punto de la figura.
  2. Colocar la misma distancia a un lado y al otro del eje sobre dicha perpendicular. Esto se hace con el compás, pinchando en el punto de corte del eje de simetría con la recta perpendicular trazada. Tomar la medida hasta el punto y colocarla en el otro lado del eje.
  3. Repetir el proceso para cada punto de la figura.

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A simple vista es muy sencillo, en realidad lo es. Pero podemos ir complicándolo un poquito, mediante circunferencias y eje de simetría no vertical.

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Pero no tienes por qué asustarte.

  • Sigue el proceso exactamente igual que en el ejercicio anterior. Sé metódico, llévate punto a punto y ponle nombre a cada uno. Verás como no hay ningún problema.
  • Las circunferencias mantienen el radio en la figura simétrica. Llévate el centro O y el principio y fin del arco, en este caso los puntos de tangencia B y C. Toma el radio en la figura original y utiliza ese mismo radio en la simétrica.

03_simetria axial

Por último, y para que veas que las “sencillas transformaciones geométricas se pueden complicar tanto como queramos, te dejo el siguiente ejercicio que te dejaré resuelto al final del artículo. Prueba a resolverlo por ti mismo.

Haz clic en la imagen para verla a tamaño original.

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Simetría central

En la simetría central, los puntos simétricos mantienen la distancia respecto a un punto central y se encuentran a ambos lados de este.

Dados una figura y un centro de simetría, el proceso sería el siguiente:

  1. Dibujar la recta que une un punto de la figura con el centro de simetría.
  2. Colocar la misma distancia a un lado y al otro del centro sobre dicha recta. Al igual que en la simetría axial, esto se hace mediante el compás pinchando en el Centro de Simetría.
  3. Repetir el proceso para cada punto de la figura.

 

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Es sencillo ¿no? Como en el caso de la simetría axial, se puede complicar enormemente. Te dejo otro ejercicio para que lo hagas tú.

06_simetria central

Traslación

La traslación es el desplazamiento de una figura plana una determinada distancia según una dirección y sentido indicados.

Dada una figura, una dirección y sentido y una distancia, el proceso es el siguiente:

  1. Dibujar una recta según la dirección indicada que pase por un punto de la figura
  2. Tomar la medida dada y colocarla según el sentido. La medida se toma con el compás. Pinchar en el punto que hay que desplazar y marcar la medida.
  3. Repetir el proceso para cada punto.

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Podemos desplazar la figura hacia donde queramos. Igual que en la simetría, el radio de las circunferencias se mantiene, en caso de que tuvieras que hacerlo.08_traslacion

Giro

El giro es el desplazamiento de los puntos un determinado ángulo en un sentido concreto con respecto a un punto central.

Dados por tanto una figura, un centro de giro O, un ángulo “a” y su sentido, el proceso sería el siguiente.

  1. Trazar un arco pinchando con el compás en el centro O con radio O-A.
  2. Unir el punto a girar A con el centro de giro O mediante una recta.
  3. Transportar el ángulo de giro “a”. Para ello, en el ángulo dado, trazar un arco de circunferencia con un radio aleatorio “X”. Dibujar un arco con ese mismo radio en el centro de giro O.
  4. Con el compás, tomar la dimensión “Y” que resulta del arco anterior en el ángulo dado. Transportar esta dimensión al arco en el punto a girar.
  5. Unir el centro con el punto “1” obtenido. En la intersección con el arco trazado en el 1er paso se encuentra A’.

Lo aclaro mejor con un dibujo.

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Si utilizas para cada punto el mismo radio “X”, la dimensión Y también será igual, con lo que el ejercicio se simplifica mucho.

Te recomiendo nuevamente que seas ordenado y metódico. Yo tengo que serlo. Si no, me pierdo entre las líneas y los arcos.

Aquí tienes el giro de los otros dos puntos.

10_giro

Te he mostrado el caso genérico de un ángulo desconocido y cómo hacerlo con la máxima precisión y de forma gráfica. En caso de que el ángulo sea conocido (30º, 45º, 60º u otro que se pueda conseguir con las reglas) puedes utilizar la escuadra y el cartabón para transportar el ángulo.

Por último, si el ángulo viene dado numéricamente y no es conocido, deberás utilizar el transportador de ángulos. Para los demás casos, no te recomiendo esta herramienta porque es menos precisa que utilizando técnicas gráficas.

El giro más difícil que te puedas encontrar

Por fin llegamos al ejercicio más difícil que se te puede presentar en giros.

Dada una recta A-B y un centro de giro O se pide:

Girar la recta un ángulo determinado para que quede en posición vertical.

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¿Sabrías resolverlo? Por supuesto tiene que ser gráficamente y de manera precisa. Te lo dejo en el siguiente apartado, junto con los otros dos que tenía pendientes.

Resolución de los 3 ejercicios propuestos

Ejercicio de simetría axial

Si sigues los pasos de uno en uno no tendrás ningún problema.

  1. Dibuja una perpendicular al eje por el punto
  2. Lleva la misma distancia con el compás hasta el otro lado del eje.
  3. Para el arco, busca los puntos simétricos del centro, del principio y del fin del arco. Recuerda que el radio es el mismo

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Ejercicio de simetría central

  1. Dibuja la recta que une el punto con el centro de simetría O
  2. Lleva la misma distancia con el compás al otro lado del centro de simetría
  3. Para el arco, busca los puntos simétricos del centro, del principio y del fin del arco. Recuerda que el radio es el mismo

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Ejercicio de giro

En el caso de que venga dada la posición final de la recta y no el ángulo de giro que tenemos que dar, tendremos que utilizar una recta perpendicular auxiliar, que una el Centro de Giro con la recta A-B.

Para que la recta A-B quede como vertical, la recta perpendicular debe quedar horizontal. De esta manera, definimos el ángulo de giro exacto y podemos con él girar por separado A y B.

Hay dos soluciones posibles, una a cada lado del centro O. Las dejo dibujadas por separado para que las entiendas más fácilmente.

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Espero que este artículo te haya resultado interesante y útil. Aunque las transformaciones geométricas planas parecen sencillas, nos las pueden dar muy complicadas.

Si te ha gustado, no te olvides de compartirlo por las redes sociales. Me harías un gran favor 🙂

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