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Calcular los ejes axonométricos según el ángulo que forman con el Plano del Cuadro

Ejes axonometricos F

¡Muy buenas! ¿Qué te pareció el anterior artículo con la entrevista a José María de Lapuerta? Por el momento parece que el balance es positivo y ha gustado bastante, así que intentaré hacer más entrevistas y traer a personas que te puedan resultar interesantes.

Te traigo un artículo bastante completo de Dibujo Técnico en el que resolveremos un problema de perspectiva axonométrica mediante Sistema Diédrico. Como ves, dos de los grandes temas del Dibujo Técnico en Bachillerato. Aunque el ejercicio en sí puede estar más orientado al nivel universitario, me parece interesante que sepas utilizar las de un Sistema para aplicarlas al otro. Lo importante es que tengas los conceptos claros y dispongas de las herramientas para resolver cualquier situación.

Vamos con el enunciado.

Enunciado

Dibujar los ejes axonométricos y calcular sus coeficientes de reducción sabiendo que el Eje X forma un ángulo de 60º con el Plano del Cuadro y que el Eje Y forma un ángulo de 30º con el Plano del Cuadro.

Planteamiento

El ejercicio que se nos plantea en este caso es el explicado en el gráfico siguiente. Sabemos que los ejes X, Y, Z forma ángulos de 90º entre sí y conocemos los ángulos A y B, que en este caso valen 60º y 30º respectivamente. Esto define una única posición posible en el espacio respecto al Plano del Cuadro y es la que tenemos que encontrar.

Haremos el planteamiento en Sistema Diédrico, que nos permite medir en Verdadera Magnitud.

Dibujaremos un eje X aleatorio que forme un ángulo de 60º con el Plano del Cuadro, encontraremos un eje perpendicular a él que forme un ángulo de 30º con el Plano del Cuadro, que será el eje Y y por último buscaremos el eje perpendicular a los dos anteriores, que será el eje Z.

01_Planteamiento espacial ejes axonometricos

 

1. Dibujar el eje X

El eje X lo tomaremos en una posición aleatoria, con la única condición de que forme un ángulo de 60º con el Plano del Cuadro. Definiremos que el Plano del Cuadro será el Plano Horizontal de Proyección (también podríamos hacerlo con el Plano Vertical de Proyección, sería lo mismo).

Si coloco el eje X como recta frontal de plano, veré el ángulo que forma con el Plano Horizontal en Verdadera Magnitud, con lo que estoy haciendo el ejercicio lo más sencillo posible. Sitúo el Centro de Coordenadas O en el Plano Horizontal de Proyección o, lo que es lo mismo, con cota igual a cero.

02_Eje X

2. Dibujar el eje Y

El eje Y tiene que cumplir 2 condiciones:

  • Debe ser perpendicular al eje X
  • Debe formar un ángulo de 30º con el Plano del Cuadro, es decir, en nuestro caso, con el Plano Horizontal de Proyección

Aplicar la primera condición es sencillo. El eje Y estará contenido en un plano perpendicular al X. Como sabemos por perpendicularidad, un plano es perpendicular a una recta cuando sus trazas son perpendiculares a las proyecciones de la recta.

Puesto que el eje X es frontal, el plano P’-P perpendicular será un plano proyectante vertical, con traza horizontal P perpendicular a la Línea de Tierra. Haré pasar el plano por el Centro de Coordenadas O’-O.

03_Plano perpendicular a X

Para aplicar la segunda condición utilizaremos el concepto de lugar geométrico: buscaremos el Lugar Geométrico de las rectas del espacio que, pasando por el punto O’-O forman un ángulo de 30º con el Plano Horizontal de Proyección. Este Lugar Geométrico es un cono cuyo vértice se encuentra en el punto O’-O y forma 30º con el Plano Horizontal.

04_Cono de 30º

El eje Y debe cumplir ambas condiciones. Por tanto debe pertenecer al plano P’-P y al cono. Los puntos que pertenecen a ambos se encuentran en su intersección. En este caso, el plano corta al cono únicamente en una recta, es decir, es tangente al cono. Esta generatriz del cono es la que define el contorno aparente en proyección vertical.

05_Eje Y

3. Dibujar el eje Z

Ahora tenemos que dibujar el eje Z, que sabemos por un lado que pertenece al plano P’-P porque es perpendicular al eje X y además debemos aplicar la condición de que sea también perpendicular al eje Y. Puesto que el eje Y es una recta frontal de plano (igual que el eje X), un plano perpendicular a él será proyectante vertical, con su traza horizontal perpendicular a la Línea de Tierra.

El plano Q’-Q perpendicular al eje Y tendrá su traza vertical coincidente con X’ y su traza horizontal coincidente con P.

¿Estás de acuerdo?

Y la intersección de los planos P’-P y Q’-Q definirá el eje Z. Este será una recta de punta, con la proyección horizontal coincidente con P y con la proyección vertical coincidente con O’.

06_Eje Z

Como puedes ver esto es lógico. Los ejes X e y forman un plano vertical (paralelo al Plano Vertical de Proyección). El eje Z, que es perpendicular a este plano, será una recta horizontal que se verá de punta en proyección vertical.

4. Coeficientes de reducción

Obtener los coeficientes consiste en encontrar la relación entre la Verdadera Magnitud y la proyección sobre el Plano del Cuadro, en nuestro caso, sobre el Plano Horizontal de Proyección.

Para ello sólo tendremos que dibujar 1 unidad en Verdadera Magnitud y la trasladaremos a la proyección horizontal. Como unidad tomaremos 1 centímetro.

  • El eje X es una recta frontal de plano y por tanto vemos la verdadera magnitud directamente en la proyección vertical.
  • Lo mismo ocurre con el eje Y.
  • El eje Z es una recta de punta, cuya verdadera magnitud se ve en proyección horizontal. En este caso, por tanto, el Coeficiente de Reducción es 1, o lo que es lo mismo, no hay que aplicarle coeficiente de reducción.

07_Coeficientes de Reduccion

Los ejes axonométricos que cumplen las condiciones del enunciado son los dibujados en proyección horizontal.

  • El eje X forma 90º con el eje Z, el eje Y también forma 90º con el eje Z y por tanto los ejes X e Y forman un ángulo de 180º entre sí.
  • El coeficiente de reducción del eje Z es 1. El coeficiente de reducción del eje X es 0,5 y el coeficiente de reducción del eje Y es 0,866.

BONUS: Otro ejercicio similar, para que quede bien clarito

En vista de que el caso que he explicado es muy singular y tiene un eje paralelo al plano del cuadro, haré a continuación un ejercicio más genérico para que puedas comprender perfectamente el procedimiento. Sólo cambiarán los ángulos que forman los ejes X e Y con el Plano del Cuadro. Puesto que los razonamientos son los mismos que en el ejercicio anterior, pasaré por este de manera más superficial.

Enunciado

Dibujar los ejes axonométricos y calcular sus coeficientes de reducción sabiendo que el Eje X forma un ángulo de 45º con el Plano del Cuadro y que el Eje Y forma un ángulo de 25º con el Plano del Cuadro.

1. Dibujar el eje X como recta frontal de plano que forma un ángulo de 45º con el plano horizontal (plano del cuadro)

2. Dibujar el plano P’-P perpendicular al eje X que pasa por O’-O y que contendrá los ejes Y y Z. Será un plano proyectante vertical cuya traza vertical forme 90º con X’.

3. Dibujar el cono que forma un ángulo de 25º con el plano horizontal, el cual contendrá al eje Y.

4. La intersección del plano P’-P con el cono será el eje Y. En realidad hay dos rectas de intersección; simplemente toma una de ellas. Yo he optado por la definida por el punto i’-i.

08_Ejes axonometricos

5. Dibujar el plano Q’-Q perpendicular al eje Y que pasa por O’-O.

6. La intersección de los planos P y Q definen el eje Z.

7. Hallar los coeficientes de reducción. El eje X se ve en verdadera magnitud en proyección vertical. Para los ejes Y y Z habrá que hacer sendos cambios de plano para verlos como rectas frontales de plano. Es decir, las nuevas Líneas de Tierra serán paralelas a las proyecciones horizontales de los ejes.

09_Coeficiente de reduccion¿Ha quedado suficientemente claro este último ejercicio?

Espero que te des cuenta de las enormes posibilidades del Sistema Diédrico. Estos dos ejercicios son en definitiva ejercicios de ángulos, aunque vienen expresados como si fueran de axonometría. Básicamente hemos situado un triedro apoyado en el plano horizontal con unos determinados ángulos.

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