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Ángulos en Sistema Diédrico: los 6 casos básicos

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Buenos días,

Hoy es un gran día porque retomamos una de las esencias de 10endibujo: el Sistema Diédrico y en general el dibujo técnico. Vuelvo con más fuerzas que nunca para darte los mejores conocimientos, todos los trucos, todos los casos y explicarlos de la manera más clara posible. Durante las últimas semanas he estado escribiendo mucho sobre arquitectura, maneras de aprender rápidamente e incluso cuestiones personales para que me conozcas mejor.

Las últimas han sido unas semanas de intenso trabajo en mi nuevo libro y ahora vengo con energías renovadas y muchas ganas de retomar el dibujo. Pido disculpas si he tardado en contestar por email más de lo habitual, aunque sé que sois comprensivos y entendéis que he estado muy liado. Muchas gracias por vuestra comprensión, sois geniales. También quiero agradeceros que hayáis empezado a participar más activamente en el blog; así puedo corregir o modificar artículos, completarlos o reorientar las explicaciones en función de lo que necesitéis. Como comprenderéis no puedo hacer todo de manera inmediata, pero todas vuestras propuestas están apuntadas y guardadas en la memoria para retomarlas cuando sea oportuno.

Sin darle más vueltas, volvemos a la teoría pura y dura, aquella que cuando dominas serás invencible en cualquier ejercicio práctico. Quiero empezar una serie de artículos sobre diédrico para ir completando el temario. ¿Te interesa seguir todos? No te pierdas detalle y suscríbete a la lista de correo; allí te informaré cada vez que salga un nuevo artículo.

Vamos con los ángulos.

Ángulos en Sistema Diédrico

En Sistema Diédrico los casos básicos que se nos pueden presentar son los siguientes:

  1. Ángulo que forma una recta con los planos de proyección
  2. Ángulo que forma un plano con los planos de proyección
  3. Ángulo que forman dos rectas que se cortan
  4. Ángulo que forman dos rectas que se cruzan
  5. Ángulo que forman dos planos no paralelos
  6. Ángulo que forman una recta y un plano

Vamos a ver cada uno en detalle y a explicar cómo se resuelven paso a paso.

1. Ángulo que forma una recta con los planos de proyección

Los planos de proyección, como sabes, son el Plano de Proyección Horizontal (PH) y el Plano de Proyección Vertical (PV). Se llaman así porque sobre ellos proyectamos cualquier objeto dado en el espacio. El ángulo que forma una recta cualquiera con los planos de proyección no se ve directamente en verdadera magnitud, ya que, de forma genérica, las rectas serán oblicuas a ellos.

La forma más sencilla de encontrar el ángulo será mediante un cambio de plano.

Ángulo de una recta con el Plano de Proyección Horizontal (PH)

Para encontrar el ángulo que forma una recta con el plano horizontal tienes que hacer un cambio de plano vertical, es decir, debes mantener la proyección horizontal de la recta y encontrar su nueva proyección vertical, de manera que la recta quede en el cambio de plano como frontal. Para ello, la nueva Línea de Tierra debe ser paralela a la proyección horizontal de la recta.

Todo esto que parece muy complejo queda explicado más rápida y claramente con un dibujo. Sitúa una nueva Línea de Tierra paralela a la proyección horizontal r de la recta y encuentra su nueva proyección vertical, llevando la cota de dos puntos desde la nueva Línea de Tierra. Si utilizas como yo el punto traza horizontal, es punto los puedes situar directamente sobre la línea de tierra, ya que su cota es cero.

01-Recta

¡El ángulo que forma una recta frontal con el PH sí está en verdadera magnitud!

Ángulo de una recta con el Plano de Proyección Vertical (PV)

Razonando de la misma manera, ahora necesitamos un cambio de plano horizontal, con una nueva línea de tierra paralela a la proyección vertical de la recta. Obtendremos así una recta cuya proyección vertical es paralela a la nueva línea de tierra, con lo que se trata de una recta horizontal de plano.

¡El ángulo que forma una recta horizontal con los planos de proyección sí está en verdadera magnitud!

02_Angulo de recta con plano proyeccion vertical

En la perspectiva utilizada en el dibujo anterior he situado la línea de tierra justo sobre la proyección vertical de la recta, mientras que en el dibujo diédrico la he situado a una pequeña distancia. Ambos dibujos son correctos. De hecho, la manera más sencilla de encontrar los ángulos sería haciendo coincidir las nuevas líneas de tierra con las proyecciones.

Veámoslo dibujado de la manera más sencilla y rápida:

03_Angulo recta planos de proyeccion

En este dibujo quedan simplificados y resumidos los dos anteriores 🙂

2. Ángulo que forma un plano con los planos de proyección

El ángulo que forma un plano oblicuo con los planos de proyección tampoco se puede ver directamente en verdadera magnitud. Necesitaremos nuevamente hacer un cambio de plano para conseguir ver el plano como proyectante.

Ángulo de un plano con el Plano Horizontal

Necesitamos ver el plano como proyectante vertical, es decir perpendicular al plano vertical. Para ello tenemos que hacer un cambio de plano vertical con la nueva línea de tierra perpendicular a la traza horizontal. Esta quedará fija y tendremos que encontrar simplemente la nueva traza vertical.

04_Plano con plano de proyeccion horizontal

Ángulo de un plano oblicuo con el Plano Vertical

Para poder ver el ángulo que forma un plano oblicuo con el plano vertical necesitamos verlo como plano proyectante horizontal.

Para ello tendremos que hacer un cambio de plano horizontal, en el que mantendremos fija la traza vertical del plano, dibujaremos una nueva línea de tierra perpendicular a esa traza vertical P’ y tendremos que encontrar la nueva traza horizontal.

05_Angulo de plano con plano de proyeccion vertical

3. Ángulo que forman 2 rectas que se cortan

Puesto que dos rectas genéricas en el espacio que se cortan están en posición oblicua a los planos de proyección, el ángulo que forman no se verá en verdadera magnitud.

¿Cuál es la manera más sencilla de encontrar dicho ángulo? El abatimiento.

Este es el caso genérico.

06_Angulo entre dos rectas que se cortan

Podremos abatir las rectas de 3 maneras diferentes:

3.1. Encontrar las trazas del plano que forman y abatir plano y rectas

Esto es sencillo, ¿no?

Encuentras los puntos traza de la recta, dibujas las trazas del plano, lo abates y abates las rectas, ya que están contenidas en ese plano. Todo quedó explicado en este artículo.

07_Angulo dos rectas que se cortan por abatimiento

3.2. Abatir el punto de intersección y las rectas sobre el PH (o el PV si lo prefieres)

Más sencillo que el caso anterior es abatir simplemente el punto de intersección. Así te evitarás tener que encontrar el plano y abatirlo.

Para hacer esto habrá que seguir los siguientes pasos:

  1. Encuentra el punto traza horizontal de cada recta, únelos y utiliza la recta resultante P como charnela (en realidad es la traza horizontal del plano que forman las dos rectas).
  2. Por la proyección horizontal del punto de intersección a dibuja una recta paralela a P y otra perpendicular.
  3. Mide sobre la paralela la cota del punto A (es decir, la distancia desde la línea de tierra a su proyección vertical a’)
  4. Dibuja un arco de circunferencia con centro en el punto de intersección de la perpendicular con P, y radio hasta la medida anterior.

Una vez abatido el punto (A) puedes unirlo con los puntos traza de las rectas y obtendrás el ángulo.

09_Angulo dos rectas que se cortan por abatimiento de punto

3.3. Abatir sobre un plano auxiliar horizontal (o frontal si así lo deseas)

Esta tercera opción es igual que la segunda pero considerando un plano paralelo al de proyección. Encontraremos igualmente los puntos de intersección de las rectas con este plano y abatiremos el punto A sobre dicho plano.

08_Angulo dos rectas que se cortan plano auxiliar

4. Ángulo que forman 2 rectas que se cruzan

Dos rectas en el espacio que se cruzan son aquellas que no se cortan, es decir, que no tienen ningún punto en común.

Para saber si dos rectas en el espacio se cortan o se cruzan basta con mirar los puntos de intersección de sus proyecciones. Si el punto en el que se cortan las proyecciones verticales coincide verticalmente con el punto en el que se cortan las proyecciones horizontales, entonces las rectas se cortan (existe un punto en común). En caso contrario se cruzan.

Para encontrar el ángulo que forman estas rectas simplemente necesitaremos dibujar una recta paralela a una de ellas que corte a la otra y repetir el proceso del apartado 3.

En este caso, dibujaré una recta T(t´t) paralela a S (s’-s) por un punto A cualquiera de R (r’-r) y a partir de ahí solo tienes que encontrar el ángulo de estas dos nuevas rectas que se cortan.

10_Angulo dos rectas que se cortan con plano auxiliares

5. Ángulo que forman dos planos no paralelos

Para hallar el ángulo de dos planos que se cortan debes saber que el ángulo que forman dos planos es el mismo ángulo que forman las rectas perpendiculares a dichos planos.

Así que, dados dos planos P’-P y Q’-Q bastaría con dibujar una recta r’-r perpendicular a P pasando por un punto cualquiera A (a’-a)  y una recta s’-s perpendicular a Q pasando por ese mismo punto A. El ángulo que forman estas dos rectas es el ángulo que forma los planos entre sí.

11_Angulo de dos planos

6. Ángulo que forman una recta y un plano

La forma más sencilla de encontrar el ángulo en verdadera magnitud que forma una recta y un plano es utilizando nuevamente el recurso de la perpendicular. Para ello diremos que el ángulo que forma una recta con un plano es el complementario del ángulo que forma dicha recta con una perpendicular al plano. (El ángulo complementario de uno dado A es igual a 90º-A)

12_Angulo plano recta

 

Dicho de una manera sencilla, dibujaremos una recta perpendicular al plano por un punto cualquiera, hallaremos el ángulo que forman las dos rectas (la perpendicular y la dada) y hallaremos su complementario.

Habría otras maneras de encontrar la solución pero esta es la más sencilla.

13_Angulo recta plano

Como he dicho, puedes utilizar cualquier punto de la recta para pasar una perpendicular S al plano. Yo en este caso he utilizado el punto de intersección de la recta R(r’-r) con el plano P(P’-P). El siguiente es abatir el punto de intersección I de las rectas R y S. Para ello puedes utilizar un plano horizontal auxiliar H, con traza vertical H’. Encuentra la intersección de las rectas R y S con el plano H y obtendrás una recta horizontal de plano con proyección horizontal h. Esta recta será la charnela.

Ahora abate el punto I alrededor de la charnela. Para ello tienes que dibujar una recta paralela y otra perpendicular a la charnela que pasen por la proyección horizontal i del punto. Sobre la paralela coloca la diferencia de COTA entre H’ e i’. En el punto donde la perpendicular corta a la charnela pincha con el compás y traza un arco para conseguir el punto abatido (I).

14_Angulo recta plano

Ya solo queda abatir las rectas R y S:

  1. Une el punto donde la proyección r corta a h con el punto (I) abatido. Esto te dará (R) abatida.
  2. De la misma manera une el punto donde s corta a h con el punto (I) abatido. Esto te dará (S) abatida.

Recuerda que el ángulo A que forman las rectas R y S no es la solución del ejercicio sino que es su complementario 90-A. Para encontrarlo dibuja una recta perpendicular a (R) por el punto (I).

15_Angulo plano recta sistema diedrico

Este último ejercicio ha sido un poquito más trabajoso, pero en realidad el razonamiento es muy sencillo: el ángulo que forma una recta con un plano es el complementario del que forma la recta con la perpendicular al plano. No hay más que ejecutarlo 🙂


Bueno, en realidad esto es todo lo que hay que saber de ángulos. Cualquier ejercicio que te encuentres será como estos, más sencillo o una combinación. Espero que te sea de utilidad y si es así no te olvides de compartirlo por las redes sociales, me ayudarías a seguir con este blog.

¡Muchas gracias y hasta el próximo artículo!

 

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8 Responses to Ángulos en Sistema Diédrico: los 6 casos básicos

  1. Lucia March 12, 2015 at 8:13 pm #

    Muy bien explicado, gracias!!

  2. Jose Luis Coll Davila March 16, 2015 at 11:26 am #

    Buen artículo, solamente algunos comentarios
    1. Ángulo que forma una recta con los planos de proyección
    Yo creo que el cambio de plano que propones requiere una gran visión espacial que no todo el mundo la tiene.

    3.3. Abatir sobre un plano auxiliar horizontal
    Yo creo que es más fácil e intuitivo aplicar el procediemiento 3.2

    6.Ángulo que forman una recta y un plano

    Donde dice:
    Une los puntos de intersección de las proyecciones horizontales r y s con el (I) abatido y obtendrás (R) y (S) abatidas
    Debería decir
    Une los puntos de intersección de las proyecciones horizontales r y s con la recta h, con el (I) abatido y obtendrás (R) y (S) abatidas

    Utilizas un plano auxiliar horizontal si bien seria mas fácil el abatimiento sobre el propio plano horizontal

    Salu2
    Jose Luis Coll

    • Pablo Domingo March 16, 2015 at 12:09 pm #

      Hola José Luis,
      ¡Muchas gracias por tu comentario! Ahora modifico el punto 6.
      Un saludo 🙂

  3. Juan Carlos Carrillo Arriola January 11, 2016 at 12:41 am #

    Gran 7 ¡qué mucho me hace sufrir esta materia!

  4. Daniel June 24, 2016 at 12:08 pm #

    Hola, una duda, en el apartado 3.2, cuando ya tenemos las dos rectas abatidas, cómo podemos saber cual es el ángulo entre los 4 que nos salen?

    Muchas gracias, un saludo.

  5. Carolina August 30, 2016 at 4:34 am #

    Hola Pablo! Muchas gracias por tus explicaciones, son claras! Aunque mi mente no recopila tanta información jaja. Sabes que sería genial??? Que hagas videos explicativos!!! No me mates solo es una idea, se entendería todo mucho mejor! Y sé que lo harías muy bien! Saludos desde Argentina.

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